端点效应(共12张PPT)

解题技巧第三讲

端点效应导数板块若f(x)在区间[a,b]上，f(x)≥0恒成立，端点效应则f(a)≥0或f(b)≥0若x∈[a,b]，f(x)≥0恒成立，且f(a)=0在a附近的极小区间中：x0≥a⇒

f(x0)≥

f(a)=0f(x)↑⇒f'(x)≥0f'(a)≥0端点效应例1

2021•模拟试题若sinx<ax对恒成立，则a的最小值为（）A．1 B．C．D．常规：ax-sinx>0恒成立⇒(ax-sinx)min>0，恒成立，分离参数：设，则g(x)<a恒成立⇒a>g(x)max，令F(x)=ax-sinx>0恒成立，F(0)=a×0-sin0=0⇒F'(x)=a-cosx⇒F'(0)≥0⇒F'(0)=a-1≥0⇒a≥1A若f(x)在区间[a,b]上，f(x)≥0恒成立，端点效应则f(a)≥0或f(b)≥0若x∈[a,b]，f(x)≥0恒成立，且

f(a)=0在a附近的极小区间中：x0≥a⇒

f(x0)≥

f(a)=0f(x)↑⇒f'(x)≥0f'(a)≥0若∀x∈[a,b]，f(x)≥0恒成立，且

f(a)=0，

当f'(a)=0，则f''(a)≥0端点效应若x∈[a,b]，f(x)≥0恒成立，且

f(a)=0f'(a)≥0⇒若∀x∈[a,b]，f(x)≥0恒成立，且f(a)=0，

当f'(a)=0，则f''(a)≥02020•全国Ⅰ卷⇒两次求导2018•全国Ⅲ卷⇒端点效应三次求导(分离参数)①端点效应求解：可能比真实范围大【注意】②恒成立问题，且f(a)=0(用端点效应算的范围比真实范围大)例2

2021•模拟试题【理】已知不等式2xlnx<(1-k)(x2-1)对任意x>1恒成立，求k的取值范围.

法一：当x>1时，x2-1>0恒成立⇒恒成立令⇒1-k>f(x)max三次求导(1-k)(x2-1)-2xlnx>0恒成立，x∈(1,+∞)令f(x)=(1-k)(x2-1)-2xlnx，f(1)=(1-1)(12-1)-2ln1=0⇒f'(1)≥0f'(1)=2(1-k)-2(ln1+1)=2-2k-2≥0⇒k≤0①ex：乘或除②lnx：加或减例2

2021•模拟试题【理】已知不等式2xlnx<(1-k)(x2-1)对任意x>1恒成立，求k的取值范围.

x>1恒成立恒成立令⇒f(x)max<0f(1)=0k≤0当k≤0时，1-k≥1⇒-(1-k)≤-1，令g'(x)≤0，g(x)在(1,+∞)上↓，⇒f(x)≤g(x)=0证明k>0时不成立且g(1)=0例3

已知函数

f(x)=a(x2-x)-lnx(a∈R)．(1)若f(x)在x=1处取得极值，求a的值；(2)若f(x)≥0在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范围.f(1)=a(12-1)-ln1=0⇒f'(1)≥0f'(1)=a(2-1)-1≥0⇒a≥1①a≥1时成立②a<1时不成立例4

2021•4月湖南六校联考模拟试题已知，g(x)=cosx-1+ax2.(1)若g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(2)确定f(x)在(-1,π)内的零点个数.g(0)=1-1+0=0g'(x)=-sinx+2ax⇒g'(0)=0g''(x)=-cosx+2a⇒g''(0)≥0⇒1-2a≥0若f(x)在区间[a,b]上，f(x)≥0恒成立，端点效应则f(a)≥0或f(b)≥0若x∈[a,b]，f(x)≥0恒成立，且

f(a)=0在a附近的极小区间中：x0≥a⇒

f(x0)≥

f(a