阶线性方程[1]

1、 常微分方程 绵阳师范学院阶线性方程最新11.4 一阶一阶线性方程线性方程0)()()( xcyxbdxdyxa一阶线性微分方程的一般形式一阶线性微分方程的一般形式的的区区间间上上可可写写成成在在0)( xa( )( )(1)dyP x yf xdx ( )0(2)dyP x ydx 称称为为一一阶阶齐齐次次线线性性方方程程)2(若若 0fx (1)称为一阶非齐次线性方程称为一阶非齐次线性方程.注意注意(1)(1)与与(2)(2)的的对应关系对应关系, ,从从(2)(2)的解入手找的解入手找(1)(1)的解法的解法 常微分方程 绵阳师范学院阶线性方程最新21.4.1一阶线性微分方程的解法一阶线

2、性微分方程的解法-常数变易法常数变易法解解对对应应的的齐齐次次方方程程01( )dyp x ydx 得得对对应应齐齐次次方方程程解解常常数数变变易易法法求求解解02)1(),(的的解解使使它它为为的的待待定定函函数数变变为为将将常常数数xcxc ( ),p x dxycec 为为任任意意常常数数. .1 1. .3 36 6( )( )(1),p x dxyc x e 令令为为的的解解 则则 常微分方程 绵阳师范学院阶线性方程最新3( )( )( )( ) ( )p x dxp x dxdydc xec x p x edxdx 代入代入(1)得得()( )( )p x dxdc xf x ed

3、x 积分得积分得( )( )( )p x dxc xf x edxc 03(1)故故的的通通解解为为( )( )( )(3)p x dxp x dxyef x edxc 注注 求求(1)的通解可直接用公式的通解可直接用公式(3).( )( )(1*)dyP x yQ xdx ()()( )(3*)p x dxp x dxyeQ x edxc 若把若把(1)写成写成则通解则通解 常微分方程 绵阳师范学院阶线性方程最新4求方程求方程1)1()1( nxxenydxdyx通解通解, ,这里为这里为n n常数常数解解: 将方程改写为将方程改写为nxxeyxndxdy)1(1 1) 1)首先首先, ,求

4、齐次方程求齐次方程yxndxdy1 的通解的通解从从yxndxdy1 分离变量得分离变量得dxxnydy1 11lnlncxny 两边积分得两边积分得例例1 常微分方程 绵阳师范学院阶线性方程最新5故对应齐次方程通解为故对应齐次方程通解为nxcy)1( 其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,代入得代入得为原方程的通解为原方程的通解令令,)1)(nxxcy nxnnnxexxncxxncxdxxdc)1()1)()1)()1()(11 即即xedxxdc )(积分得积分得)(cexcx 故通解为故通解为为为任任意意常常数数),()1(ccexyxn ndx

5、xndxxpxccecey)1(1)( 或直接用或直接用(3) 常微分方程 绵阳师范学院阶线性方程最新6例例2 求方程求方程22yxydxdy 通解通解.解解:，y的的线线性性方方程程原原方方程程不不是是未未知知函函数数但将它改写为但将它改写为yyxdydx22 即即yxydydx 2，yx为为自自变变量量的的线线性性方方程程为为未未知知函函数数它它是是以以,故其通解为故其通解为)()()(cdyeyQexdyypdyyp )(22cdyeyedyydyy 。ccyy为为任任意意常常数数),ln(2 常微分方程 绵阳师范学院阶线性方程最新7例例3 求值问题求值问题1)1(, 1432 yxyx

6、dxdy的解的解.解解:先求原方程的通解先求原方程的通解)()()(cdxexQeydxxpdxxp )14(323cdxexedxxdxx )1)14(323cdxxxx 常微分方程 绵阳师范学院阶线性方程最新8)21ln4(23cxxx 3432lnxcxxx 代入后得代入后得将初始条件将初始条件1)1( y23 c故所给初值问题的通解为故所给初值问题的通解为223ln343xxxxy )1) 14(323cdxxxx 常微分方程 绵阳师范学院阶线性方程最新9()Bernoulli伯伯努努利利方方程程形如形如nyxQyxpdxdy)()( 的方程的方程,称为伯努利方程称为伯努利方程.。xx

7、QxP的的连连续续函函数数为为这这里里)(),(解法解法:方方程程变变为为引引入入变变量量变变换换,110nyz )()1()()1(xQnzxPndxdz 求以上线性方程的通解求以上线性方程的通解02变量还原变量还原031.4.2 常微分方程 绵阳师范学院阶线性方程最新10例例4 求方求方程程yxxydxdy222 的通解的通解.解解:, 1, nBernoulli方方程程这这是是代入方程得代入方程得令令,2yz 21xzxdxdz 解以上线性方程得解以上线性方程得)(121cdxexezdxxdxx 321xcx :2为为代代入入得得所所给给方方程程的的通通解解将将yz 3221xcxy

8、常微分方程 绵阳师范学院阶线性方程最新11例例5 5 R-LR-L串联电路串联电路.,.,由电感由电感L L, ,电阻电阻R R 和电源所和电源所组成的串联电路组成的串联电路, ,如图所示如图所示, ,其中其中电感电感L L, ,电阻电阻R R和和电源的电动势电源的电动势E E均为常数均为常数, ,试求当开关试求当开关K K合上后合上后, ,电电路中电流强度路中电流强度I I与时间与时间t t之间的关系之间的关系. . 二二 线性微分方程的应用举例线性微分方程的应用举例电路的电路的KirchhoffKirchhoff第二定律第二定律: :在闭合回路中在闭合回路中, ,所有支路上所有支路上的电压的代数和为零的电压的代数和为零. . 常微分方程 绵阳师范学院阶线性方程最新12则电流经过电感则电流经过电感L, 电阻电阻R的电压降分别为的电压降分别为 ,RIdtdIL.ERIdtdIL 解线性方程解线性方程:解解:于是由于是由Kirchhoff第二定律第二定律, 得到得到 设当开关设当开关K合上后合上后, 电路中在时刻电路中在时刻t的电流强度为的电流强度为I(t),取开关闭合时的时刻为取开关闭合时的时刻为0,. 0)0( I即即.LEILRdtdI 得通解为得通解为:REcetItLR )( 常微分方程 绵阳师范学院阶线性方程