311空间向量及其加减法

1、如图，一正三角形钢板，如图，一正三角形钢板，三顶点用等长的绳子绑三顶点用等长的绳子绑起，在力起，在力f的作用下静的作用下静止，三绳子的受力情况止，三绳子的受力情况如何？如何？f 通过这个实验，我们发现三角形通过这个实验，我们发现三角形钢板受到的三个钢板受到的三个力的特点力的特点是：是：（1）三个力不共面三个力不共面，（2）三力既）三力既有大小又有方向，但有大小又有方向，但不在同一平不在同一平面面上上。 所以解决这类问题，需要空间知识，而所以解决这类问题，需要空间知识，而这种不在同一平面上的既有大小，又有方向这种不在同一平面上的既有大小，又有方向的量，我们称之为的量，我们称之为“空间向量空间向量

2、”。这就是我。这就是我们今天所研究的内容：们今天所研究的内容：“空间向量及其加减空间向量及其加减运算运算”f向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量ab 向量ab向量abaaba 长度为长度为0的向量，记为的向量，记为 ；01.定义定义2.表示方法表示方法3.模（大小）模（大小）4.其它向量其它向量相等向量：相等向量：相反向量：相反向量：方向方向相同相同或或相反相反的非零向量叫的非零向量叫平行向量平行向量.（共线向量）：（共线向量）： ( (一）平面向量的有关概念一）平面向量的有关概念|aaa表示与 同向的单位向量单位向量：单位向量：零向量：零向量：长度为长度为1的向量的向量.平行

3、向量：平行向量：1.1.向量加法三角形法则向量加法三角形法则: :aabbcba aaabbbocba 特点特点:首尾相接，首尾连首尾相接，首尾连特点特点:共起点共起点b a b ba abaab o特点：特点：共起点，连终点，方向指向被减数共起点，连终点，方向指向被减数2.2.向量加法平行四边形法则向量加法平行四边形法则: :3.3.向量减法三角形法则向量减法三角形法则: :（二）平面向量的加法、减法法则及其几何意义（二）平面向量的加法、减法法则及其几何意义（三）平面向量的加法运算律加法交换律：加法结合律：abba)()(cbacba凡涉及空间两个向量的问题，平凡涉及空间两个向量的问题，平面

4、向量中有关结论是否仍适用？面向量中有关结论是否仍适用？新课讲授 阅读教材阅读教材p p8484-p-p85 85 ，研究空间向量与平面向量研究空间向量与平面向量的关系。回答下面的问题：的关系。回答下面的问题：（1 1） 试说出：空间向量与平面向量有何共同之处？试说出：空间向量与平面向量有何共同之处？（2 2） 空间任意两个向量是否可能异面？为什么？空间任意两个向量是否可能异面？为什么？（3 3）把平面向量的运算推广到空间向量，怎样定义）把平面向量的运算推广到空间向量，怎样定义空间向量的加法，减法运算？满足什么运算律？空间向量的加法，减法运算？满足什么运算律？（5 5） 什么是平行六面体？它与平

5、行四边形有何联什么是平行六面体？它与平行四边形有何联系？它的特征有哪些？系？它的特征有哪些？（4 4）从平面和空间两个角度验证向量加法结合律）从平面和空间两个角度验证向量加法结合律? ?（1 1）空间向量与平面向量有何共同）空间向量与平面向量有何共同之处是：之处是：1、定义：、定义： 在空间，我们把既有大小又有在空间，我们把既有大小又有方向的量叫做方向的量叫做空间向量空间向量。2 2、空间向量的表示法（几何、字母）、空间向量的表示法（几何、字母）与平面向量相同；与平面向量相同；3、空间中零向量、单位向量、相等向、空间中零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念与平面向量中相同；量、相反向量等概

6、念与平面向量中相同；空间中，任意两个向量是否可能异面？空间中，任意两个向量是否可能异面？ abcdabcdmab探究:（2） 空间任意两个向量都可以转化为平面向量。空间任意两个向量都可以转化为平面向量。 由由o、a、b、三点确定一个平面、三点确定一个平面或共线可知，或共线可知，已知空间两个任意向量已知空间两个任意向量、a, b.obb ,oaa 作作oaabbab 空间任意两个向量都空间任意两个向量都 可用同可用同 一平面内的有向线段表示。一平面内的有向线段表示。结论结论1：凡涉及空间两个向量的问题，平凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。面向量中有关结论仍适用于它们。ab

7、baoacb（3）与平面向量运算一样，我们定义）与平面向量运算一样，我们定义空间向量的加法、减法运算如下：空间向量的加法、减法运算如下：,oboaabab ,caoaocab 空间向量加法的推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；nnaaaaaaaa1433221（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.1433221aaaaaaaannaa101a2a3ana1a2a3ana加法交换律：加法结合律：同样，空间向量的加法运算满足如下同样，空间向量的加法运算满足如下运算律：运算律：abba)()(cbacbaabcobcab+abc

8、obcbc+(平面向量平面向量)()(cbacba（4）平面向量加法结合律：）平面向量加法结合律：ab+c+()ab+c+()aaabcoabcab+abcoabcbc+（4）空间向量加法结合律：）空间向量加法结合律：)()(cbacba(空间向量)ab+c+()ab+c+()abcda1b1c1d1a平行六面体平行六面体abcd-a1b1c1d1的六个面都是的六个面都是平行四边形平行四边形。（5）平行六面体）平行六面体定义定义1 1：底面是平行四边形的四棱柱。底面是平行四边形的四棱柱。 定义定义2 2：平行四边形平行四边形abcdabcd按向量按向量 平移到平移到 a a1 1b b1 1c

9、 c1 1d d1 1的轨迹形成的几何体叫做平行六面体的轨迹形成的几何体叫做平行六面体. .a例1：已知平行六面体abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1，化简下列向量表达式 (如图)abcda1b1c1d1bcab) 1 (1)2(ccabdcbcaa111)3(1)4(aaadab1)5(dddcda1)6(bbbcba问题（问题（7 7）：一般地，三个不共面的向量的和与这三）：一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？个向量有什么关系？典例剖析：ac1ab1ac 1ac 1db 1bd f1f2f1=10nf2=15nf3=30nf3结论结论2 2：始点相同的三个不共面的向量之和，等于始点相同的三个不共面的向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的公共始点为始以这三个向量为棱的平行六面体的公共始点为始点的对角线所示向量。点的对角线所示向量。平行六面体法则平行六面体法则思考思考1：在例：在例1中中1ca1cccdcb思考思考2：ab