行列式及其性质

1、行 列 式 与 矩 阵 n阶行列式的概念阶行列式的概念 行列式的性质与计算行列式的性质与计算Cramer法则法则第六章第六章矩阵及其计算矩阵及其计算 逆矩阵与矩阵的秩逆矩阵与矩阵的秩 分块矩阵分块矩阵 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 n 阶行列式 第 一 节学习重点学习重点余子式与代数余子式的概念余子式与代数余子式的概念 n阶行列式的概念阶行列式的概念 行列式的引入行列式的引入引例：用加减消元法求解引例：用加减消元法求解 二元线性方程组二元线性方程组11112 2121122 22a xa xba xa xb1 22 211 11 222 12 21aaxaaabab121 12 121 11

2、22 12 2aaxaaabab当当112212210a aa a时时方程组有唯一解方程组有唯一解122212111221221bab axa aa a211121211221221b abaxa aa a如果规定如果规定111211 2212212122aaa aa aaa则有则有D1DD2DD二阶行列式二阶行列式 determinant定义定义abadbccdabcd例例 根据定义计算行列式的值根据定义计算行列式的值6 ( 3)2 ( 5) 6253cossinsincos22cos( sin) 主对角线元素之积减去副对角线元素之积主对角线元素之积减去副对角线元素之积对角线法则对角线法则8

3、 1三三 阶行列式阶行列式111213212223313233aaaaaaaaa112233a a a对角线法则对角线法则11a12a13a21a22a23a31a32a33a122331a a a132132a a a132231a a a122133a a a112332a a a例例 根据定义计算行列式的值根据定义计算行列式的值5143212025 2 2 对角线法则1 ( 1)( 2) 324 3 0 4 2 ( 2) 1 3 2 5 ( 1) 0 111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332a a aa

4、 a aa a aa a aa a aa a a112233233212213323311321322231()()()aa aa aaa aa aaa aa a222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa111112121313a Aa Aa A1 212( 1)M21233133aaaa12M12A元素元素 的的余子式余子式12a元素元素 的的代数余子式代数余子式12a余子式元素元素 的余子式的余子式 就是在行列式中划掉元素就是在行列式中划掉元素 所在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构

5、所在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构成的行列式成的行列式ijaijaijM代数余子式ijA( 1)ijijijAM 三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各自的代数余子式的乘积之和自的代数余子式的乘积之和n 阶行列式的定义（阶行列式的定义（P222定义定义1）212211221112nnnnnnaaaaaaaaa1112111121nnAAaaAa111njjja A按第一行展开按第一行展开1030201030010102例例 根据定义计算行列式的值根据定义计算行列式的值1 10101 ( 1)001102 1 3 2 5 1 32003 (

6、 1)301012 下三角形行列式下三角形行列式21313124142431223344000000aaaaaaaaaa11223344a a a a逐次按第一行逐次按第一行展开展开下三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积特别特别 11223344000000000000aaaa11223344a a a a111213212223313233aaaaaaaaa122331111223213212213331123312233132a a aa a aa a aa a aa a aa a a211231131332223331122313233222()()aa aaaaa aa aa a

7、aa a222311323121321121331222323333aaaaaaaaaaaaaaa213131121111a Aa Aa A 三阶行列式等于三阶行列式等于第一列所有元素与其代数余子式乘积之和第一列所有元素与其代数余子式乘积之和定理定理121221121122nnnnnnaaaaaaaaa1111211121nnAAaaAa111niiia A按第一列展开按第一列展开上三角形行列式上三角形行列式12131411222333243444aaaaaaaaaa11223344a a a a逐次按第一列逐次按第一列展开展开上三角形行列式的值为主对角线上的元素之乘积123000103001

8、0102例例 计算行列式的值计算行列式的值1 10101 ( 1)001102 1 3 4 11 3 12303 ( 1)010102 按第一列展开按第一列展开行列式的性质及计算第 二 节学习重点学习重点行列式的性质行列式的性质 行列式的按行按列展开定理行列式的按行按列展开定理 1、转置变换212111221212nnnnnnnaaaDaaaaaa211222211121nnnnnnaaaaDaaaaa 或记作TD行列式的几种变换行列式的几种变换行、列对掉行、列对掉iirc称称 为行列式为行列式 的转置行列式的转置行列式TDDTranspose 行变行变row列变换列变换column交换交换i

9、, j两行两行数数K乘第乘第 i 行行数数K乘第乘第 j 行后行后加到第加到第 i 行上去行上去 ijrrikrijrkr交换交换i, j两列两列数数K乘第乘第 i 列列数数K乘第乘第 j 列后列后加到第加到第 i 列上去列上去ijccikcijckc2、换法变换、换法变换3、倍法变换、倍法变换4、消法变换、消法变换 换法变换换法变换 倍法变换倍法变换 消法变换消法变换行列式的性质行列式的性质1. 行列式转置后，其值不变行列式转置后，其值不变。表明行与列是表明行与列是对等的，行具对等的，行具有的性质，列有的性质，列也具有也具有2. 互换行列式的两行（列），行列式变号互换行列式的两行（列），行列

10、式变号。推论：推论：如果行列式如果行列式D D有两行（列）相同，则有两行（列）相同，则D=0D=03.行列式的行列式的某一行（列）某一行（列）的所有元素都乘以同一数的所有元素都乘以同一数K K，等于用数，等于用数 K K 乘此行列式乘此行列式 。推论推论2 2：如果行列式如果行列式D D有有一行（列）一行（列）的元素全为零，则的元素全为零，则D=0D=0 推论推论3 3：如果行列式如果行列式D D有两行（列）的元素对应成比例，则有两行（列）的元素对应成比例，则D=0D=0 推论推论1:1:行列式中行列式中某一行（列）某一行（列）的元素的公因数可以提到行列式的元素的公因数可以提到行列式 符号的外

11、面。符号的外面。4.4. 如果行列式的如果行列式的某一行（列）某一行（列）的元素都是两项的和，的元素都是两项的和， 则可以把该行列式拆成两个行列式之和。则可以把该行列式拆成两个行列式之和。aabbababcdcdcd5.5. 把行列式的把行列式的某一行（列）某一行（列）的元素都乘以同一个数的元素都乘以同一个数k k 后，加到另一行（列）的对应元素上去，则行列式后，加到另一行（列）的对应元素上去，则行列式 的值不变。的值不变。如如即即 123123123112233123123aaaaaabbbbkabkabkacccccc交换交换i, j两行两行数数K乘第乘第 i 行行数数K乘第乘第 j 行后

12、行后加到第加到第 i 行上行上去去ijrrikrijrkr交换交换i, j两列两列数数K乘第乘第 i 列列数数K乘第乘第 j 列列后加到第后加到第 i 列列上去上去ijccikcijckc2、换法变换、换法变换3、倍法变换、倍法变换4、消法变换、消法变换 换法变换换法变换 倍法变换倍法变换 消法变换消法变换1 1、转置变换、转置变换行与列对调行与列对调iirc等值等值变号变号翻倍翻倍等值等值变号变号 翻倍翻倍 等值等值 利用行列式的性质计算行列式的值利用行列式的性质计算行列式的值3112513420111533131215340211513313120211084201627131208420

13、2110162712cc21rr415rr23rr324rr428rr1312021100820010151312021100822500024354rr251 2 82 200行列式的展开与计算行列式的展开与计算定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的的代数余子式乘积之和。对应的的代数余子式乘积之和。111212122212nnnnnnaaaaaaaaa1212iiiniiinAAaaAa(1, 2,in）1nijijja A1nijijia A1212jjnjjjnjAAaaAa(1, 2,jn）推论推论 行列式中行列式中某一行某一行（或

14、列）的元素与（或列）的元素与另一行另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零。（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零。1212kkikniinaaAAaA()0()Dikik1212ssjnsjnjaaAAaA()0()Djsjs小结小结行列式按行展开得行列式按行展开得D，串行展开得零。，串行展开得零。例题例题1、计算行列式的值、计算行列式的值2、设有行列式、设有行列式2132333231123131D（1）（2）1020143602533110D2132332203403131DA11、A12、A13、A14分别是分别是D的的第一行元素的代数余子式，试求第一行元素的代数余子式，试求3A

15、11-A12+3A13-A14的值。的值。解答解答1、（、（1）原式原式123233321312133112CC213rr31rr41rr1232036401400103按第一列展开按第一列展开1 1364( 1) ( 1)140103 214cc3184100143按第二行展开按第二行展开2 11841 ( 1)43 1( 18) ( 3)( 4) 470 解答解答1、（、（2）原式原式10201013002533110232rr3 41023 ( 1)1013311 按第四列展开按第四列展开3 2123 1 ( 1)1 13 按第二列展开按第二列展开3(132)452、将代数式还原成、将代数式还原成 行列式，得行列式，得1112131433AAAA313133220340313101、计算下列行列式、计算下列行列式111111111111（1）abcdabdcbadcbacd（2）2 2、证明：、证明：VandermondeVandermonde行列式行列式122221211112111nnnnnnaaaaaaaaa1()jinj ixx 课课堂堂练练习习 答答 案案1、（、（1）331（2）02、提示：用数学归纳法，后一行、提示：用数学归纳法，后一行 减去前一行的减去