条件分布与条件期望PPT课件

1、1一、条件分布.jYyX 为为给给定定条条件件下下 的的条条件件分分布布列列(,),)1(ijijX YP Xx Yyp定定设设义义 ：, ,()0,jjjyP Yyp对对若若 ,1,2,iji jjppip称称()2ijji jxxF x ypYy 称称为为定定定定：给给义义条条件件下下.X的的条条件件分分布布函函数数 ,1,2,;()jijij ij iyyippjF y xpp 类类似似可可定定义义: :( ,)()()jjYjF x yF x yFy 注注意意：第1页/共19页2例1 设(X,Y)的联合分布列如下，.12310.10.30.20.620.20.050.150.40.30

2、.350.35ijppXY求X,Y的条件分布.(11)P YX解解：(1,1)(1)P XYP X 0.11;0.661(21);2P YX同同样样有有1(31).3P YX1123111623Y XP 第2页/共19页32123113288Y XP 1121233X YP 2126177X YP 3124377X YP 例1 设(X,Y)的联合分布列如下，.12310.10.30.20.620.20.050.150.40.30.350.35ijppXY求X,Y的条件分布.第3页/共19页4122.,(),()X YXPYP例例设设随随机机变变量量相相互互独独立立, ,，.XYnX在在的的条条

3、件件下下，求求 的的条条件件分分布布12()XYP解解：()P Xk XYn (,)()P Xk XYnP XYn (,)()P Xk Yn kP X Yn 121212()12!()!()!kn kneeknken 121212() (),0,1,2,.kkn knCkn 112( ,) .XB n 即即 的的条条件件分分布布是是：第4页/共19页例3 设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P()，每个顾客购买某种商品的概率为p，并且每个顾客是否购买某种商品相互独立，求进入商店的顾客购买该种商品的人数Y的分布列。()XP Xm 解解：,0,1,2,!memm 二项分布()P Yk

4、 Xm即即(1),0,1,2,.kkmpmC ppkm 由由全全概概率率公公式式()() ()m kP YkP Xm P Yk Xm (),0,1,2,!kppekk 泊松分布() .YPp 第5页/共19页62、连续随机变量的条件分布),()0, ()0.X YP XxP Yy 对对于于连连续续型型随随机机变变量量( ( , ,由由于于(,)();()P Yy XxP Yy XxP Xx 因因此此, ,无无法法直直接接求求出出(,)().()P Xx YyP Xx YyP Yy ()P Xx Yy这这里里，在在研研究究条条件件概概率率时时，0().hP Xx yYyh可可以以考考虑虑时时，的

5、的极极限限0()lim().hP Xx YyP Xx yYyh第6页/共19页70()lim().hP Xx YyP Xx yYyh0(,)lim()hP Xx yYyhP yYyh 0( , )lim( )xy hyy hhYyp x y dy dxpy dy ( , )( )xYp x ydxpy 0( , )lim( )xhYh p xdxhp ( , )( )xYp x y dxpy ( , )();( )xYp x yP Xx Yydxpy ( , )().( )yXp x yP Yy Xxdypx 第7页/共19页82、连续随机变量的条件分布3,( )0YypyYy定定义义 ：对对

6、且且，在在给给定定条条件件下下X的的条条件件分分布布函函数数和和条条件件密密度度函函数数分分别别是是：( , )(),( )xYp x yF x ydxpy ( , )().( )Yp x yp x ypy 4,( )0XxpxXx定定义义 ：对对且且，在在给给定定条条件件下下Y的的条条件件分分布布函函数数和和条条件件密密度度函函数数分分别别是是：( , )(),( )yXp x yF y xdypx ( , )().( )Xp x yp y xpx 注：它们之间的关系类似于概率乘法公式.第8页/共19页 224.(,)( , ):1X YGx yxy例例设设服服从从上上的的均均匀匀分分布布，

7、() .YyXp x y 求求给给定定条条件件下下 的的条条件件密密度度函函数数221,1;( , ) 0 ,.xyp x y 解解：，其其他他( )Ypy 11;y22111yydx 221,=y 0 ,.其其他他( , )()( )Yp x yp x ypy2211;yxy21,2 1y 0 ,.其其他他1 1第9页/共19页103、连续场合的全概率公式和贝叶斯公式( , )( ) ()( ) ()XYp x ypx p y xpy p x y( )( , )Xpxp x y dy ( ) ();Ypy p x y dy ( )( ) ()YXpypx p y x dx 全概率公式( )

8、()();( ) ()YYpx p y xp x ypx p y x dx ( ) ()()( ) ()YYpy p x yp y xpy p x y dy 贝叶斯公式第10页/共19页11二、条件数学期望1()E X Yy. .定定义义：(),iiix P Xx Yy 离离散散型型；(),.xp x y dx 连连续续型型()()E XE E X Y() (),jjjE X YyP Yy 离离散散；()( ).YE X Yy py dy ， 连连续续().E X YyY 注注：条条件件期期望望是是 的的函函数数()6.876 .E X Yyy例例如如，人人的的身身高高与与足足长长的的关关系系

9、第11页/共19页12()()()( )YE XE E X YE X Yy py dy 的的证证明明()( , )E Xxp x y dxdy ( )()YX Yxpy px y dxdy ( )()YX Ypyxpx y dx dy ( ) ()Ypy E X Yy dy ().E X Yyy 看看作作是是 的的函函数数()E E X Y 第12页/共19页13例5 一矿工被困在有三个门的矿井里，第一个门通甲坑道，须走3小时到达安全区；第二个门通乙坑道，走5小时回到原处；第三个门通丙坑道，走7小时回到原处。问他平均用多长时间能够到达安全区。()()E XE E X Y 第13页/共19页第1

10、4页/共19页15解：记Y为第一次所选的门，则有1(1)(2)(3);3P YP YP Y(1)3;E X Y (2)E X Y 5;EX (3)E X Y 7.EX ()() ()jjjE XE X YyP Yy 1(357)3EXEX15 .EX例5 一矿工被困在有三个门的矿井里，第一个门通甲坑道，须走3小时到达安全区；第二个门通乙坑道，走5小时回到原处；第三个门通丙坑道，走7小时回到原处。问他平均用多长时间能够到达安全区。第15页/共19页16例6 口袋里有编号为1，2，n 的n个球，从中任取一球。若取到1号球,则得1分,且停止摸球；若取到i(i2)号球，则得i分，且将球放回，重新摸球。如此下去，求得到的平均总分数。解：记X为得到的总分数，Y为第一次摸到球的号码.(1)(2)()P YP YP Yn1.n (1)E X Y 1;()E X Y