lectureabstract algebra学习教案

1、会计学1lecture abstract algebra第一页，共53页。第1页/共53页第二页，共53页。第2页/共53页第三页，共53页。第3页/共53页第四页，共53页。第4页/共53页第五页，共53页。第5页/共53页第六页，共53页。A drawing done in 1848 from memory by Evaristes brother. This is taken from a French stamp第6页/共53页第七页，共53页。第6讲 代数结构(jigu)第7讲 群代数第8讲 格与布尔代数 第7页/共53页第八页，共53页。重点：重点：代数结构代数结构(jigu)的判

2、定与构造的判定与构造代数结构代数结构(jigu)关系：同态、关系：同态、同构同构特殊关系：同余关系特殊关系：同余关系难点：难点：同余关系、同态基本定理同余关系、同态基本定理第8页/共53页第九页，共53页。代数代数(dish)结构？结构？S;O集合集合(jh)S？ 运算运算O？第9页/共53页第十页，共53页。运算运算(yn sun)(yn sun)封闭性：若封闭性：若x x，yAyA，有，有x x * * yA yA，称称* *在在A A上是封闭的上是封闭的 例例2 ： A=xx=2n，nN， 问问运算运算(yn sun)封封闭否，闭否，呢？呢？ 解：解：2r，2sA， 2r x 2s=2r

3、+sA （） 运算运算(yn sun)封闭封闭 2，4A，2+4A，运算运算(yn sun)不不封闭封闭 2，4A，2/4A， 运算运算(yn sun)不不封闭封闭第10页/共53页第十一页，共53页。第11页/共53页第十二页，共53页。第12页/共53页第十三页，共53页。例例3a）P（S）；）；,对运算对运算(yn sun)，是单位元，是单位元， S是零元，是零元，对运算对运算(yn sun)，S是单位元是单位元 ，是零元。是零元。b）N；+有单位元有单位元0，无零元。，无零元。第13页/共53页第十四页，共53页。c) 代数代数(dish)A=a，b，c； 。 用下用下表定义：表定义：

4、。abcaabbbabccaba从运算表可以从运算表可以(ky)看出，看出，b是左单位元，无右单位元；是左单位元，无右单位元；a是右零元，是右零元，b是右零元，无是右零元，无左零元左零元; 运算运算(yn sun)：不满足交换律？：不满足交换律？ 第14页/共53页第十五页，共53页。d) 代数代数R，*中，除零元中，除零元0外所有外所有(suyu)元素均有元素均有逆元逆元 e) A=a，b，c，*由下表定义由下表定义(dngy)： *a b ca a a bb a b cc a c cb是单位是单位(dnwi)元元,a的右逆元为的右逆元为c，无左逆元，无左逆元，b的的逆元为逆元为b，c的右逆

5、元为空，左逆元为的右逆元为空，左逆元为a 第15页/共53页第十六页，共53页。f）代数结构）代数结构(jigu)：A= *k称为模称为模k乘法求余（乘法求余（x*ky或记为或记为resk(x*y)。 零元？单位元？关于逆元？零元？单位元？关于逆元？g) 实数集实数集R上的二元运算上的二元运算*：a*b=a+b-ab是否有单位元、是否有单位元、零元与幂等元，如果有单位元，哪些零元与幂等元，如果有单位元，哪些(nxi)元素有逆元？元素有逆元？第16页/共53页第十七页，共53页。示例示例4 关于逆元的性质（教材定理关于逆元的性质（教材定理7.2）对于对于(duy)可结合运算可结合运算 ，如果元素

6、，如果元素X有有 左逆元，左逆元， 右逆元右逆元r，则，则l=r=x-1 。推论推论(tuln)：逆元若存在，则唯一：逆元若存在，则唯一分析：设分析：设e为单位为单位(dnwi)元，元， l=(xr)=(x) 逆元存在为逆元存在为r. 若存在若存在X的另一个逆元的另一个逆元r; 则则: rr=r(xr)=(rx)r=r r第17页/共53页第十八页，共53页。第18页/共53页第十九页，共53页。同余类代数同余类代数(dish)(dish)0,20,2；+4+4是是0,1,2,30,1,2,3；+4+4的的子代数子代数(dish)(dish)吗吗? ?第19页/共53页第二十页，共53页。第2

7、0页/共53页第二十一页，共53页。*abaabbab第21页/共53页第二十二页，共53页。第22页/共53页第二十三页，共53页。第23页/共53页第二十四页，共53页。例例 5 教材教材P129例例2：逻辑代数：逻辑代数开关电路开关电路 第24页/共53页第二十五页，共53页。 第25页/共53页第二十六页，共53页。第26页/共53页第二十七页，共53页。AABBff*+思考：请你举例说明上述思考：请你举例说明上述系统系统(xtng)转换思想。转换思想。第27页/共53页第二十八页，共53页。第28页/共53页第二十九页，共53页。Adrien-Marie Legendre 第29页/

8、共53页第三十页，共53页。第30页/共53页第三十一页，共53页。第31页/共53页第三十二页，共53页。第32页/共53页第三十三页，共53页。XYf第33页/共53页第三十四页，共53页。第34页/共53页第三十五页，共53页。 集合集合(jh)上的等价关系上的等价关系？等价等价(dngji)(dngji)类类商集商集添加运算之后添加运算之后？模型转换模型转换/ /压缩之关键：压缩之关键：知识知识（性质）的保持（性质）的保持 1 为什么研究同余关系？为什么研究同余关系？2 等价关系等价关系同余关系同余关系第35页/共53页第三十六页，共53页。V=V=V/h=h(满同态满同态)g (自然

9、自然(zrn)满同态满同态)f (同构同构)集合论：集合论： 函数函数(hnsh)(hnsh)等价关系等价关系划分划分代数结构：代数结构： 同态同态同余关系同余关系可允许可允许(ynx)(ynx)划分划分变换变换第36页/共53页第三十七页，共53页。第37页/共53页第三十八页，共53页。1 , R: xRy x y(mod m), mZ+2 恒等关系恒等关系(gun x)是整环上的同余关系是整环上的同余关系(gun x)吗？吗？3 , R=(x, y)|x/y=2m, mZ第38页/共53页第三十九页，共53页。同余关系同余关系(Congruence) 是一个代数系统是一个代数系统,R是是

10、A上的等价关上的等价关系系,若若R, RR，称，称R是是A上的同余关系上的同余关系(R对于运算对于运算*满足代换性质满足代换性质).左同余、右同余左同余、右同余同余关系将同余关系将A划分得到的等价类称为划分得到的等价类称为(chn wi) 可允许划分可允许划分(同余类同余类)： 对于代数结构对于代数结构, =A1,A2,An是是A上的一个划分，若对上的一个划分，若对于任意的划分块于任意的划分块Ai, Aj ,存在存在Ak ,使得：使得：Ai*AjAk,则称为则称为(chn wi)可允可允许划分。许划分。第39页/共53页第四十页，共53页。第40页/共53页第四十一页，共53页。第41页/共5

11、3页第四十二页，共53页。第42页/共53页第四十三页，共53页。第43页/共53页第四十四页，共53页。代数结构：代数结构：V= （o为一元运算为一元运算(yn sun)）V上同余关系：上同余关系：商代数：商代数：V/=运算运算(yn sun)o的定的定义？义？ o(x)=o(x)代数结构：代数结构：V= （o为二元运算）为二元运算）V上同余关系：上同余关系：商代数：商代数：V/=运算运算*的定义？的定义？ x o y=xoy第44页/共53页第四十五页，共53页。第45页/共53页第四十六页，共53页。第46页/共53页第四十七页，共53页。第47页/共53页第四十八页，共53页。V=V=

12、V/h=h(满同态满同态)g (自然自然(zrn)满同态满同态)f (同构同构)集合论：集合论： 函数函数(hnsh)(hnsh)等价关系等价关系划分划分代数结构：代数结构： 同态同态同余关系同余关系可允许可允许(ynx)(ynx)划分划分变换变换第48页/共53页第四十九页，共53页。gK=(x,y)|x,y G且且g(x)= g(y) =(x,y)|x,y G且且x =y =(x,y)|x,y G且且xy = 第49页/共53页第五十页，共53页。同态三角形的同构性的证明：同态三角形的同构性的证明：1 同型：同型：Vh 与与 V同型？同型？2 双射：双射： 定义映射定义映射f，并证明其为双射，并证明其为双射定义映射定义映射f：因为：因为(yn wi)h是一个从是一个从S到到S的满射，的满射， S/h为可允为可允许划分，所以对于每一个许划分，所以对于每一个xh S/h必存在惟一必存在惟一xS，使得，使得x=h(x)，于是可以如下定义函数：，于是可以如下定义函数：f: S/h S ，使得，使得f(xh)=x=h(x)。 f为满射：对于任意为满射：对于任意xS ，必存在，必存在 xS，使得，使得h(x) =x，从，从而存在而存在x h S/h， ，使得，使得f(xh)=h(x)=x ，所以，所以f是满射是满射。f为单射：若为单射：若h(x)=h(y)，则，则x