例谈_平移_对称_旋转_在几何证明中的应用

1、例谈 “平移、对称、旋转 ”在几何证明中的应用655505云南省曲靖市富源县大河镇第一中学秦会龙平移、对称、旋转是初中几何中的三大变换,通过不同的变换 ,能把条件相对集中 ,使图中的各种关系明朗化,以促进思维方法和解题能力的提高本文笔者以例题的形式说明平移、对称、旋转在几何证明中的应用 ,供读者参考1 平移在几何证明中的应用平移能把分散的线段或角相对集中起来 ,从而使已知条件集中在一个基本图形中 ,或且经过平移产生新的图形 ,而使问题得以转化例 1 七条直线两两相交 ,所得的角至少有一个角小于 26?试证明分析在平面上取一点P,将已知七条直线均平移过点 P,成为交于 P 点的七条直线 ,则 1

2、4 个角的和为360?,不妨设为 1, 2, 14,它们都和某两条直线交角的一个相等因此 ,只需证明它们中至少有一个小于26?因为 1+2+3+14=360?,则必有一个角 1360?1426?原命题得证例 2 已知 ,在 ABC 中,点 D,E 分别是边 AB,AC的中点 ,求证 :DEBC,DE=1 2BC图1图2证明将 ADE 沿 AB 方向平移 ,得到 DBF,连接 FC?DBF ADE,?BF=DE,BFDE,DF=AE,DF AE ?AE=EC,?DF=EC,DFEC,? 四边形 DFCE 是平行四边形 , ?FC=DE,FCDE即过 F 点有 BF DE,FC DE?BF 和 F

3、C 在同一条直线上 ,? 点 F 在边 BC 上 ,且 BF=FC=DE,BC DE即 DE BC,DE=12BC2 对称在几何证明中的应用对称包括轴对称和中心对称 ,对称变换可以使条件相对集中 ,也可以构成新的图形在图形中有角平分线、等腰三角形、正方形、菱形、中点等时就有了对称变换的基础 ,有时需添加辅助线以创造这个条件图 3例 3 在ABC 中,点 D 是边AB 的中点 ,E 和 F 分别是边 AC,BC 上的点 ,求证 : DEF 的面积不超过 ADE 与BDF 的面积之和分析为把 ADE 与 BDF相对集中 ,利用中点这个条件 ,采用中心对称的方法把它们相对集中起来,作 ABC 关于

4、D 为对称中心的对称图形 BAC', 延长 ED 交 BC'于 M, 连接 MF,即可达到集中的目的证明作 ABC 关于 D 为对称中心的对称图形 BAC', 则 ABC BAC', ?C'BA= CAB, 延长 ED 交 BC'于 M, 连接 MF, ?BD=AD, MDB= EDA, MBD= EAD,?BMD AED, ?MD=DE,?SMDF=SDFE,?S四边形 BFDM=SDBM+SDBFSMDF=SDFE故 DEF 的面积不超过 ADE 与 BDF 的面积之和 3 旋转在几何证明中的应用旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较

5、规则的图形上,其功能还是把分散的条件相对集中诸条件的综合与推演13·解题研究·用面积法高效解题225411 江苏省泰兴市黄桥初级中学李印用面积法解题是根据题目给出的条件,利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法所谓高效解题是 “走解题的直线距离 ”, 说白了 ,就是将转化的环节减少一些 ,少走弯路 “高效解题 ”一方面是对 “有效解题 ”“低效解题 ”、 “零效解题 ”、 “负效解题 ”的减少和摈弃 ,另一方面更是对高效率解题、高效果解题、高效益解题的理念实践与理想实现有时我们选用面积法进行问题转化 ,能恰到好处地达到这一目的1 利用面积公式

6、与菱形的性质进行转化例 1 如图 1,把矩形 OABC 放置在直角坐标系中,图 1OA=6,OC=8,若将矩形折叠,使点 B与 O重合,得到折痕 EF,求折痕 EF的长分析因为矩形折叠使点 B 与点 O重合,所以折痕 EF 是线段 OB 的垂直平分线如图 2,易证EBG FOG,得 GF=GE,从而得四边形 BFOE 是菱形利用菱形的面积等于12EF·OB,又等于 EB·OA, 列方程求出折痕EF 的长櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧例 4 以 ABC 三边分别作等边 ABD, BCF,ACE, 求证 :DF=

7、AE图 4分析本题中由于 DF 与 AE 在不同的图形中 ,因此欲证 DF=AE, 可考虑两种方法 :(1 证 DF,AE 分别所在的图形具有全等关系;(2 通过中间量替换间接证明DF =AE,此题可运用旋转变换使两个图形相互联系,以便尽快的找到全等图形图中有大量的等边三角形 ,故 60? 角的出现就成了特殊标志,因而旋转关系也就建立了把 ABC 绕 B 点逆时针旋转 60? 则重叠于 DBF, 很明显 DF 与 AC 为对应边 ,可获证证明以 B 点为中心 ,把ABC 绕 B 点逆时针旋转 60? 与DBF 重叠 ,则ABC DBF,?AC=DF?ACE 为等边三角形 ,?AC=AE,?DF=AE图 5 例 5 已知 ,正方形 ABCD中,P 为内一点 ,APB=135?, AP 槡=3,BP=1,求 PC 的长分析由于题中有正方形 ,为把条件相对集中 ,所以将它进行旋转变换以达到目的 ,把 ABP 绕B 点旋转 90? 得BP'C,连接 PP',PP'C中,使问题得以解决解把 ABP 绕 B 点旋转 90? 到 BP'C 的位置则 BP'C BPA,?BP'=BP=1,P'C=AP槡=3,BP'C=APB=135?,