浅谈构造函数,妙解数学难题.doc

1、2013年全市普通高中开放周论文封面论文题目: 浅谈构造函数，妙解数学难题 单位(全称)： 龙 岩 四 中 作者姓名： 林 建 华 联系电话：论文摘要：一、构造一次函数，巧证不等式 二、构造单调函数，巧证不等式 三、依题构造函数，巧用函数思想解题 四、构造二次函数,利用图象巧解题五、构造三角函数,巧证不等式 六、构造相应的函数，巧解难题 七、构造“准"反函数的形式，巧求最值 八、构造相应函数,巧用二项式性质解题九构造函数解恒成立问题浅谈构造函数,妙解数学难题有些数学较难的题目，若从大家熟悉常用的方法去直接探求,常常感到繁难,甚至一筹莫展,思路堵塞。不妨转换思

2、维角度，从题目的实际出发，巧妙构造与之相关的函数模型,顿觉抑暗花明又一村，常常得到简捷清晰的解法，让人有耳目一新的感觉，以下简单介绍一下如何构造函数妙解数学难题。一、构造一次函数，巧证不等式例：已知证明：构造一次函数二、构造单调函数，巧证不等式例：已知求证:证：构造函数，易证 当. 构造方程法，巧得解析式 通过赋予不同变量构造一组方程，通过解新的方程的方法求出的解析式。例：设满足求函数的解析式.解：用 中的得 即 联立消去得：三、依题构造函数,巧用函数思想解题例：已知a、b、c是实数,函数 （1）证明: （2）证明:当 （1）证明： 又 (2）证明：是一次函数,是二次函数，用表示 可设 将右边

3、化简,多解调式得。 是实数 式成立的条件是 四、构造二次函数，利用图象巧解题例：若恒成立，求实数m的取值范围。分析：此题是三角背景下的一道函数题,不等式的左边可化为的二次函数，转化为求函数在上大于0恒成立的问题，固对称轴x=m含有参数,故分类为对称轴在左边，右边函数三种情况讨论，注意分类时不要遗漏区间的端点。解：依题意得： 即 设 再设，即化为，在上恒成立，求实数的取值范围 在上恒成立（1） 即 得（2） 即 （3） 即 即 得综合(1)(2）（3)得，五、构造三角函数,巧证不等式构造三解函数模型引出三解代换，巧证不等式.已知：试证：（1) (2) （3）证明：令，则有(1）（2) = = （

4、3） = 六、构造相应的函数,巧解难题 在高中数学有些题，若直接利用一般不等式方法证明则较困难,若采用构造相应的函数，然后再利用求导的方法，利用函数的单调性来加以证明则要简便多了.例：当时，求证： 分析：可设函数为，因为在内可导，从而通过考察的单调性来证明不等式. 证明：设 则 而在内单调递增. 又 时即. 七、构造“准”反函数的形式,巧求最值 例：求函数的最值。 解：将已知函烽化为 其中 又 当时,函数取得最小值0。 当时，函数取得最大值. 八、构造相应函数,巧用二项式性质解题例:证明：当 分析：由次数是n联想到及其展开式恰与不等式左、右两边结构相似，再进行放缩事论证，必须对二项式系数性质应

5、达到一定的熟练程度。要把及诸联系起来，做到见其一能想其三. 证明：设 即 当 当 九构造函数解恒成立问题在解决恒成立问题时，我们经常会遇到两类题型：一是已知x的取值范围求参数a的范围；二是已知参数a的范围求x的范围，它们都可以用构造函数的方法来解决.例1 已知不等式x2+ax+3a0,当x2, 2时恒成立，求a的取值范围.方法一：整体构造法分析一：本题可构造关于x的二次函数f(x)= x2+ax+3-a.若想使f(x）0在x2, 2上恒成立,只要使y= f(x)在x-2, 2上最小值g（a）0即可。解法一：设f（x)的最小值为g（a），则(i）当又a4，故此时a不存在。(ii)当，即6a2。又4a4，故-4a2.方法二:分离构造法分析二：将参量a与x分离到不等号的两侧进行救解。解法二: 例2 求x 的取值范围.分析：从表面上看，这是一个关于x的一元二次不等式，但实际是一个关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为2,2，求参