球柱系中亥姆霍兹方程分离变量

1、1.柱系中的变量分离柱系中的变量分离01)(122222uzuurrurrr二、球柱系中亥姆霍兹方程分离变量二、球柱系中亥姆霍兹方程分离变量 0)(10022rrkdrdrrdrdrzz贝塞尔方程贝塞尔方程2k其中其中1）若稳定问题）若稳定问题 =0，则结果不变，则结果不变2(1)(2)1()0ddrrrr drdrr变型贝塞尔方程变型贝塞尔方程讨论：讨论：2) 若稳定问题，且若稳定问题，且u=u (r, ) =0，欧拉型方程欧拉型方程2(2)0r rrrr2.球系中的变量分离球系中的变量分离设设)()()(),(rrru代入上式代入上式0sin1)(sinsin1)(1222222uurur

2、rurrr222201(sin)()0sinsin1()()0ddddddrrrr drdrr 连带勒让德方程连带勒让德方程球贝塞尔方程球贝塞尔方程2(1)(2)20r rrrr欧拉型方程欧拉型方程2) 稳定问题且稳定问题且00),(ru21(sin)0sin20ddddr rrrr 勒让德方程勒让德方程欧拉型方程欧拉型方程讨论：讨论：1）稳定问题：）稳定问题： =0解题思路：步骤与直角坐标系中大同小异解题思路：步骤与直角坐标系中大同小异分几大步：分几大步：步一：写出定解问题步一：写出定解问题步二：分离变量（如果定解问题确为可直接分离变量步二：分离变量（如果定解问题确为可直接分离变量 的形式）

3、的形式）步三：解本征值问题步三：解本征值问题 解不构成本征值问题的变量的常微分方程解不构成本征值问题的变量的常微分方程步四：迭加特解得通解步四：迭加特解得通解 定解定解解题过程由曲线坐标系自身的特点带来的与直角坐解题过程由曲线坐标系自身的特点带来的与直角坐标系中解题的不同点：标系中解题的不同点：步一：方程：空间变量的拉氏算子的表达式较复杂；步一：方程：空间变量的拉氏算子的表达式较复杂； 边条件：物理边界比数学自变量端点少，在定边条件：物理边界比数学自变量端点少，在定 解问题中只提真实物理边界的条件；解问题中只提真实物理边界的条件；步二：步二：非稳问题非稳问题：先将时间变量分离出去，剩下的：先将

4、时间变量分离出去，剩下的 空间变量全部都能构成本征值问题。空间变量全部都能构成本征值问题。 稳定问题稳定问题：选择合适的空间变量构成本征值：选择合适的空间变量构成本征值 问题（空间变量不再平权）问题（空间变量不再平权）步三：本征值问题中的边界条件不再只是一、二类步三：本征值问题中的边界条件不再只是一、二类 边条件，可能会由周期条件、有界构成；边条件，可能会由周期条件、有界构成； 欧拉型微分方程的求解。欧拉型微分方程的求解。步四：基本同直角坐标系步四：基本同直角坐标系2圆内狄氏问题圆内狄氏问题区别于直角系的特点：区别于直角系的特点：欧拉方程欧拉方程自然边条件自然边条件本征值简并本征值简并圆内狄氏

5、问题：圆内狄氏问题：第一类边条件2( )uf r(稳定场方程稳定场方程)【例例1】半径为半径为a的无限长圆柱形均匀导体，体内无热的无限长圆柱形均匀导体，体内无热 源，柱面温度源，柱面温度u(a, )=f() 求稳定时导体内稳求稳定时导体内稳 定的温度分布。定的温度分布。定解问题定解问题200,02( , )( )urau af解：解：设：设：)()(),(rrru代入中方程得：代入中方程得：2( )( )00r rrrr 对于对于，需要补充自然边界条件需要补充自然边界条件( , )( ,2 )u ru r周期条件周期条件由物理场的单值性可得：由物理场的单值性可得：)2 ,()0 ,(ruru为

6、简单：为简单：将将u=r 代入周期条件：代入周期条件：)2()()0()(rrrr)2()0( 所满足的本征值问题为：所满足的本征值问题为：( )( )0(0)(2 ) ( )aebe显然：显然：22abaebeba)(0)(2 ) 20,aabba任意 不是本征值不是本征值解：解：i) 020,1,2( )cossinmmmmmmambm综合综合ii、iii得本征值问题的解为：得本征值问题的解为：解方程：解方程：022 mmmrmrrrr设设r=et，d r=e td t，代入中得：，代入中得：0222mmrmdtrdmmmmmrdrcrrmrdcxrm)(0ln)(0000mtmmtmme

7、dectrmtdctrm)(0)(0000r的通解：的通解：原点处的原点处的 温度为一有限值，即温度为一有限值，即 |u(0, )|几何边界个数几何边界个数ii) 圆内狄氏问题圆内狄氏问题u=u (r, )i) 直角系中讨论稳定问题：直角系中讨论稳定问题：u=u (x ,y)iii) 若遇球系若遇球系 u = u (r , , )自变量端点值自变量端点值4个几何边界（个几何边界（4条边）条边）这时不用提边条件这时不用提边条件ii)圆内狄氏问题圆内狄氏问题u=u (r, )20,0ar自变量端点四个自变量端点四个2, 0, 0a几何边界一个几何边界一个(r=a)需要在另外三个端点处补自然边条件：

8、需要在另外三个端点处补自然边条件：i)直角系中讨论稳定问题：直角系中讨论稳定问题：u=u (x ,y) 0 xa , 0y几何边界几何边界1个，补个，补5个自然边条件个自然边条件r=0=0 , =0 ,2有界条件有界条件周期条件周期条件2.简并简并本征值问题：本征值问题：( )( )0(0)(2 ) (* *)解得：解得：20,1,2( )cossinmmmmmmambm当当m=0时时0000,a 无简并无简并当当m0时时一个一个本征值本征值称本征值是称本征值是二二度简并的。度简并的。两个两个线性无关的本征函数，线性无关的本征函数，20,1,2( )cossinmmmmmmambma m ,

9、b m是两个独立的待定系数是两个独立的待定系数2mm给定给定令令mbaammmsin10令令mbabmmmcos01m0sinm和和cosm 是对应同一个本征值是对应同一个本征值m2下的两个下的两个线性无关的本征函数线性无关的本征函数一个本征值一个本征值两个本征函数，称两个本征函数，称 是二度简并的是二度简并的2mm但但 m=0时，只对应时，只对应 0a0一个本征函数，一个本征函数， m=0是非简并的是非简并的二阶常微分方程的本征值问题最多只能是二度简并二阶常微分方程的本征值问题最多只能是二度简并一二三类齐次边条件一二三类齐次边条件无简并无简并x(x)+x(x)=03.常微分方程的本征值问题常

10、微分方程的本征值问题i)非稳问题非稳问题),(tru空间变量构成本征值问题，空间变量构成本征值问题，t (t) 不能构成本征值问题不能构成本征值问题ii)稳定问题稳定问题)(ru一个空间变量不构成本征值问题一个空间变量不构成本征值问题 其它均要构成本征值问题其它均要构成本征值问题.u (x ,y ,z) x，y，z平权平权u (r , ) 构成本征值问题构成本征值问题u (r , , ) 、 构成本征值问题构成本征值问题 【例例2】无限长空心圆柱导体半径为无限长空心圆柱导体半径为a分成两半，互相分成两半，互相 绝缘，一半电位为绝缘，一半电位为u0，另一半电位为，另一半电位为-u0，求，求 柱内

11、电位分布。柱内电位分布。解：解：02uue定解问题：定解问题：20),(20,00002uuauaru0aru0-u0设设)()(),(rrru代入方程及有关边条件得代入方程及有关边条件得( )( )0(0)(2 ) 解得：解得：20,1,2( )cossinmmmmmmambm通解：通解：0sincos),(nmmmmbmarru和和20(0)|r rrrrr 解解得得( )mr rr200)(21dfa021212000dudu0coscos1cos)(1200020dmudmuadmfaammm20sin)(1dmfabmm2000sinsin1dmudmuam定解：定解：20sincos),(000uumbmaaaunmmmmmmmmaummmau) 1(1) 1(1coscos102002 , 1 , 012) 12(42 , 120) 1(1 21200kkmakukkmmaukmm问题：若所讨论区域为半圆，即：问题：若所讨论区域为半圆，即：0ra,0 若所讨论区域为环形，即：若所讨论区域为环形，即：arb,0 2(21)0