2022年函数的基本性质(含答案)

1、精品资料欢迎下载老师辅导讲义年级： 高一辅导科目： 数学课时数： 3课题函数的基本性质教学目的通过综合的练习与巩固，是同学把握对一些基本函数的性质进行讨论的方法【学问梳理】教学内容函数的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、函数的最值、函数的零点（周期性后面讲）【典型例题分析】例 1、函数 f（ x）的定义域为r，且对任意 x、yr ，有 f（ x+y） =f（ x）+f（y），且当 x 0 时， f（x） 0， f（1） = 2.（ 1）证明 f（x）是奇函数；（ 2）证明 f（x）在 r 上是减函数；（ 3）求 f（ x）在区间 3， 3上的最大值和最小值.（ 1）证明：由 f（ x+y）=f

2、（ x）+f（ y），得 f x+（ x）=f（ x）+f（ x）， f（ x）+ f（ x）=f（0）.又 f（0+0 ）=f（ 0） +f（ 0）， f（ 0） =0.从而有 f（ x） +f（ x） =0. f（ x） = f（ x）. f（ x）是奇函数 .（ 2）证明：任取x1 、x2 r ，且 x1 x2，就 f（ x1） f（x2）=f（x1） fx1+（ x2 x1） =f（ x1） f（ x1）+f（ x2 x1） = f（x2x1） .由 x1 x2， x2 x1 0. f（x2x1） 0. f（ x2 x1） 0，即 f（ x1） f（ x2），从而 f（ x）在 r 上

3、是减函数 .（ 3）解：由于 f（ x）在 r 上是减函数，故 f（ x）在 3，3上的最大值是 f（ 3），最小值是 f（ 3）.由 f（ 1）= 2 ，得 f（ 3） = f（ 1+2 ） =f（ 1） + f（ 2 ） =f（ 1） +f（ 1+1 ） =f（ 1） +f（ 1） + f（ 1 ） =3 f（ 1） =3 ×（ 2） = 6， f（ 3） = f（ 3） =6.从而最大值是 6，最小值是 6.例 2、关于 x 的方程 |x2 4x+3|a=0 有三个不相等的实数根，就实数a 的值是.解析：作函数 y=|x2 4x+3|的图象，如下图 .y 321o123x- 1

4、由图象知直线y=1 与 y=|x2 4x+3|的图象有三个交点，即方程|x2 4x+3|=1 也就是方程 |x2 4x+3| 1=0 有三个不相等的实数根，因此a=1.答案： 1例 3、已知二次函数 f（ x） =x2+bx+c（ b 0，c r） .如 f（ x）的定义域为1，0时，值域也是 1， 0，符合上述条件的函数f（ x）是否存在？如存在，求出f（ x）的表达式；如不存在，请说明理由.解：设符合条件的f（ x）存在，函数图象的对称轴是x= b ，2又 b 0，b 0.2当1 2b 0，即 0 b 1 时，2函数 x=b 有最小值 1，就2bf 1 2f 10b2b 2c1421bc0

5、b 0,b或c 1c4,（舍去） .3当 1 b 21 ，即 1 b2 时，就2f b12f 00b 2,c 0（舍去）或b 2,c 0（舍去） .当b 1，即 b 2 时，函数在 1， 0上单调递增，就f 11,b2,解得2f 00,c0.综上所述，符合条件的函数有两个，f（ x）=x2 1 或 f（ x） =x2 +2x.变式练习：已知二次函数 f（ x） =x2+（ b+1） x+c（ b0， cr ） .如 f（ x）的定义域为1，0时，值域也是 1， 0，符合上述条件的函数f（ x）是否存在？如存在，求出f（ x）的表达式；如不存在，请说明理由.解：函数图象的对称轴是x=b1 ，又

6、b0，2b1 1 .22设符合条件的 f（ x）存在，当b1 1 时，即 b 1 时，函数 f（ x）在 1， 0上单调递增，就2f 111b1c1b1,f 00c0c0.当 1 b1 1 ，即 0b 1 时，就b1f 1222f 00b 1 22b1 2c 12b 1,（舍去） .c 0c0 0.综上所述，符合条件的函数为f（ x） =x2+2x.例 4、设 f（x）是定义在 1， 1上的奇函数，且对任意a、b 1，1，当 a+b 0 时，都有（ 1）如 a b，比较 f（a）与 f（ b）的大小；f aaf b b（ 2）解不等式 f（ x1 ） f（ x 1 ）；24（ 3）记 p= x

7、|y=f（ x c） ， q= x |y=f （ xc2） ，且 p q=，求 c 的取值范畴 .解：设 1 x1 x2 1，就 x1 x2 0， f x1 f x2 0.x1x2 x1 x2 0， f（ x1） +f（ x2） 0. f（x1） f（ x2） .又 f（x）是奇函数， f（ x2 ）= f（ x2） . f（x1） f（ x2 ）. f（x）是增函数 .（ 1） ab， f（ a） f（ b） .（ 2）由 f（ x 1 ） f（ x 1 ），得21x11,211x1,4x1x1 ,244 1 x 5 .24不等式的解集为 x|1 x 5 .24（ 3）由 1 x c1，得

8、1+c x 1+ c， p= x| 1+c x 1+c.由 1 xc21，得 1+ c2 x 1+ c2， q= x| 1+c2 x 1+c2 . p q=， 1+c 1+c2 或 1+c 1+ c2， 解得 c 2 或 c 1.例 5、建筑一个容积为 8000 m3、深 6 m 的长方体蓄水池（无盖） ，池壁造价为 a 元米 2，池底造价为2a 元米2，把总造价 y 元表示为底的一边长x m 的函数，其解析式为 ，定义域为 .底边长为 m 时总造价最低是元.解析： 设池底一边长x（ m），就其邻边长为8000（ m），池壁面积为 2·6·x 2·6·

9、8000 12（ x 8000 ）（ m2），6x6x6x池底面积为 x· 8000 8000 （ m2），依据题意可知蓄水池的总造价y（元）与池底一边长x（m）之间的函数关系式6x为 y12a（ x 8000 ）6x68000a.3定义域为（ 0，） .x 8000 28000x4030 （当且仅当 x= 8000 即 x=2030 时取“ =”） .6x6 x36x3当底边长为2030m 时造价最低，最低造价为（16030 a38000a）元 .380008000答案： y=12a（ x+） +a（ 0， +）203016030 a+ 8000 a6 x333【课堂小练】1. 已

10、知 fx 是定义,上的奇函数，且fx 在 0,上是减函数 以下关系式中正确选项a f5f5b f4f3c f2f2d f8f82. 假如奇函数fx 在区间 3 ， 7 上是增函数且最小值为5，那么 fx 在区间7, 3 上是a yx1b yxcyx24 x5增函数且最小值为5增函数且最大值为5减函数且最小值为3以下函数中，在区间50， 2上为增函数的是减函数且最大值为5d y2 x4. 对于定义域是 r 的任意奇函数 fx 有a fxfx0b fxfx0c fxfx0d fxfx05. 求函数yxx21x1 的最大值，最小值6. 将长度为 l 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正

11、方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为7. 函数fxkxb k0 的单调性是8. 函数 fx 是偶函数，而且在0,上是减函数，判定fx 在,0 上是增函数仍是减函数，并加以证明9. 假如二次函数fxx2a1 x5 在区间1 ,12上是增函数，求f2 的取值范畴10. 求函数 y322xx2的最大值11. 已知函数fxx1 判定 fx 在区间 0， 1 和1 ， +上的单调性，说明理由x12. 已知函数 fx 是偶函数，且 x0 时， fx1x .求1x(1) f5 的值，(2) fx0 时 x 的值；(3) 当 x >0 时， fx 的解析式13. 作出函数 yx2 x1的图象，并依据

12、函数的图象找出函数的单调区间答案：【课后练习】（可作为单元测试卷）一、挑选题1. 下面说法正确的选项（）a 函数的单调区间可以是函数的定义域b 函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间c具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称d关于原点对称的图象肯定是奇函数的图象2. 在区间 ,0 上为增函数的是（）a y1c yx22 x1b yd yx21x1x 23. 函数 yx2bxc x,1是单调函数时， b 的取值范畴（）a b2b b2c b2 d b24. 假如偶函数在 a,b 具有最大值，那么该函数在b,a 有（）a 最大值b 最小值c 没有最大值d 没有最小值5. 函数 yx | x |p

13、x ， xr是（）a 偶函数b 奇函数c不具有奇偶函数d 与 p 有关6. 函数f x在 a, b 和 c, d 都是增函数，如 x1a,b, x2c,d ，且x1x2 那么（）a fx1f x2 b fx1f x2 c. f x1f x2 d. 无法确定7. 函数f x在区间 2,3 是增函数，就 yf x5 的递增区间是（）a 3,8b 7, 2c 0,5d 2,38. 函数 y2k1xb 在实数集上是增函数，就（）11a kb kc b0d b0229. 定义在 r 上的偶函数f x ，满意 f x1f x ，且在区间 1,0 上为递增，就（）a f3f 2f 2b f2f 3f 2 c

14、 f3f 2f 2d f 2 f 2f 310. 已知f x 在实数集上是减函数，如ab0 ，就以下正确选项 （）a faf b f af bb f af bf af bc faf b f af b d faf bf af b二、填空题11. 函数f x 在 r 上为奇函数，且f xx1, x0 ，就当 x0 ， f x.12. 函数 y2x| x | ，单调递减区间为，最大值和最小值的情形为.13. 定义在 r 上的函数s x （已知）可用f x, gx 的和来表示，且f x为奇函数，g x为偶函数，就f x =.14. 构造一个满意下面三个条件的函数实例，函数在 , 1 上递减；函数具有奇

15、偶性；函数有最小值为；.三、解答题15. 已知f x x2 2 , x1,3 ，求函数f x1 得单调递减区间 .16. 判定以下函数的奇偶性 yx 31 ； yx2 x1x 22 x12 x ；0 yx4x ； y0 xx 20；2 x017. 已知f xx2005ax3b8 ， f 2 x10 ，求f 2 .18. 函数f x, g x 在区间a,b上都有意义，且在此区间上 f x为增函数，f x0 ； gx 为减函数， g x0 .判定 f x g x 在 a,b 的单调性，并给出证明.19. 在经济学中， 函数f x的边际函数为mf x2，定义为mf xf x1f x，某公司每月最多生

16、产100台报警系统装置；生产x 台的收入函数为r x3000 x20 x （单位元），其成本函数为c x500 x4000 （单位元），利润的等于收入与成本之差.求出利润函数px 及其边际利润函数mp x ；求出的利润函数px 及其边际利润函数mp x是否具有相同的最大值；你认为此题中边际利润函数mp x 最大值的实际意义 .20. 已知函数f xx21 ，且g xf f x ， gxg xf x ，试问，是否存在实数，使得gx在 ,1 上为减函数，并且在1,0 上为增函数 .参考答案一、 cbbabdbaa d二、 11 yx1 ；12 1 ,02和 1 ,2 ， 1 ；134s xs 2x

17、 ；14 yx 2, xr ；三、 15 解： 函数f x1 x12 2 x1 2x 22x1 ， x2,2 ，故函数的单调递减区间为2,1 .16. 解定义域 ,00, 关于原点对称，且f xf x ，奇函数 .定义域为 1 不关于原点对称；该函数不具有奇偶性.2定义域为 r，关于原点对称，且f xx4xx4x ， f xx4x x 4x ，故其不具有奇偶性 .定义域为 r，关于原点对称，当 x0 时， f xx 22 x 22f x；当 x0 时， f xx 22x 22f x；当 x0 时，f 00 ；故该函数为奇函数 .17. 解： 已知f x中 x 2005axb 为奇函数，即3xg

18、x= x2005ax 3b 中 gxxg x ，也即 g 2g 2 ，f 2g28g2810 ，得g 218 ，f 2g2826 .18. 解：减函数令 ax1x2b，就有f x1 f x2 0 ，即可得 0f x1f x2 ；同理有gx1 gx2 0 ，即可得f x2 f x1 0 ；从而有f x1 g x1 f x2 g x2 f x1 g x1 f x1 g x2 f x1 g x2 f x2 g x2 f x1 g x1 gx2 f x1 f x2 g x2 *明显 f x1 g x1g x2 0 ， fx1f x2 g x2 0从而 * 式*0 ，故函数f x g x 为减函数 .19. 解：p xrxc x220 x2500 x4000 , x1,100, xn .mp xpx1p x20 x1 22500x14000 20 x22500x4000,248040xx1,100, xn ；p x20 x125 2274125, x1,100, xn ，故当 x62 或 63 时，