2022年函数的应用题一高三

1、函数的应用题（ 1）一、建构函数模型的应用性问题1某公司为帮助尚有26.8 万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20 万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息)已知该种消费品的进价为每件40 元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为 600 元，该店应交付的其它费用为每月13200 元（）若当销售价p 为 52 元件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；（）若该店只安排40 名职工， 则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？2某厂生产一

2、种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率 p 与日产量 x（件）之间大体满足关系：11,96962,3xc xnxpxc xn其中c为小于的正常数11,96962,3xc xnxpxc xn其中c为小于的正常数注：次品率p次品数生产量，如0.1p表示每生产10 件产品，约有1 件为次品其余为合格品已知每生产一件合格的仪器可以盈利a 元，但每生产一件次品将亏损2a元，故厂方希望定出合适的日产量（）试将生产这种仪器每天的盈利额t（元）表示为日产量x（件）的函数；（）当日产量为多少时，可获得最大利润？124584060qp81精品学习资料 可选择p

3、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - -3.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为g（x）万元，其中固定成本为2 万元，并且每生产100 台的生产成本为1 万元（总成本 =固定成本 +生产成本），销售收入r(x)满足 r(x)=)5(2.10)50(8 .02.44. 02xxxx.假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律. （1）要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？4.为处理含有

4、某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从a 孔流入，经沉淀后从b孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为 b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b 的乘积 ab 成反比，现有制箱材料 60 平方米，问当a、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（a、b 孔的面积忽略不计）？5.运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为v千米 /小时、2v 千米 /小时、 10v 千米/小时，每千米的运费分别为a 元、 b 元、 c 元.且 bac,又这批海鲜在运输过程中的损耗为m 元/小时，若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用

5、（运费与损耗之和）互不相等.试确定使用哪种运输工具总费用最省.（题中字母均为正的已知量）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - -6.已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t(0t24，单位小时）的函数，记作y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据t0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1.5 1.0 0.5 1.0 1.49 1 0.51 0.99 1.5 经长期观测y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=acost+b. （1）根据以上数据，求出函数y=acost+b 的最小正周

6、期t，振幅 a 及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00 至晚上 20：00 之间，有多少时间可供冲浪者进行运动. 7.某外商到一开放区投资72 万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12 万美元，以后每年增加4 万美元，每年销售蔬菜收入50 万美元 . （1）若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：年平均利润最大时以48 万美元出售该厂；纯利润总和最大时，以16 万元出售该厂，问哪种方案最合算？8.某厂使用两种零件a、b 装配两种产品p、q，该厂的生产能力是

7、月产p 产品最多有2500 件，月产 q 产品最多有1200件；而且组装一件p 产品要 4 个 a、2 个 b，组装一件 q 产品要 6 个 a、8 个 b，该厂在某个月能用的a 零件最多 14000个；b 零件最多 12000 个.已知 p产品每件利润1000 元，q 产品每件 2000 元，欲使月利润最大，需要组装p、q 产品各多少件？最大利润多少万元. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - -9. 随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员a2人（ 140a2

8、420，且a为偶数），每人每年可创利b万元 . 据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1 人，则留岗职员每人每年多创利b01.0万元，但公司需付下岗职员每人每年b4.0万元的生活费， 并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的43， 为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？10.医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表. 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药

9、物？（精确到天）（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）已知： lg2=0.3010天数 t 病毒细胞总数n 1 2 3 4 5 6 7 1 2 4 8 16 32 64 天数 t 病毒细胞总数n 1 2 3 4 5 6 7 1 2 4 8 16 32 64 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - -11.在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人,从同一地点开

10、始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.,问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？12. 有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为v立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g(t) 表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g(t)=rp +g(0)- rp etvr(p0), 其中，g(0) 是湖水污染的初始质量分数. （1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的

11、初始质量分数；（2）求证：当g(0) rp时，湖泊的污染程度将越来越严重；（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5% ？13某租赁公司拥有汽车100 辆，当每辆车的月租金为3000 元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加50 元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150 元，未租出的车每辆每月需要维护费50 元（）当每辆车的月租金定为3600 元时，能租出多少辆车？（）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - -

12、 - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - -14. 某机床厂今年年初用98 万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12 万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4 万元，该机床使用后，每年的总收入为50 万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元 . （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； (3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种： (i )当年平均盈利额达到最大值时，以30 万元价格处理该机床； (ii )当盈利额达到最大值时，以12 万元价格处理

13、该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由. 二、建构不等关系的应用性问题1. 某人上午 7 时乘摩托艇以匀速v 千米 /小时（ 4v20）从 a 港出发前往50 千米处的 b 港，然后乘汽车以匀速w千米/小时（ 30w100）自 b 港向 300 千米处的 c 市驶去，在同一天的16 时至 21 时到达 c 市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x 小时、 y 小时，若所需经费)8(2)5(3100yxp元，那么v、w 分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费. 2. 某商场经过市场调查分析后得知，从年初开始的前n 个月内，对某种商品需求的累计数)(nf（万件）近似地满足下列关系

14、：12,3,2,1,)18)(2(901)(nnnnnf（） 问这一年内，哪几个月需求量超过1.3 万件？（）若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销，每月初至少要投放多少件商品？（精确到件）甲乙丙精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - -3已知甲、乙、丙三种食物的维生素a、b 含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克， y 千克， z千克配成 100 千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000 单位维生素a 和 63000 单位维生素b. （）

15、用 x，y 表示混合食物成本c 元；（）确定 x，y，z 的值，使成本最低三、建构数列模型的应用性问题1某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000 年底全县的绿地已占全县总面积的30% 从 起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度， 则每年有 16% 的原沙漠地带变成了绿地，但同时， 原有绿地的4% 又被侵蚀，变成了沙漠（）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过80% ？（）至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60% ？2. 某铁路指挥部接到预报，24 小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24 小时内筑一道归时堤坝

16、以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20 辆翻斗车同时作业 24 小时。但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20 分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25 辆车。问 24 小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由. 维生素 a（单位 /千克）600 700 400 维生素 b（单位 /千克）800 400 500 成本（元 /千克）11 9 4 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - -参考答案1.

17、讲解本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面由题目的问题找到关键词“收支平衡”、 “还清所有债务” ，不难想到，均与“利润”相关从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q、单位商品的销售价p 之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润（）设该店的月利润为s 元，有职工 m 名则4010060013200sq pm又由图可知：2140,405882 5881ppqpp所以，

18、21404010060013200 4058824010060013200 5881ppmpsppmp由已知，当52p时，0s，即214040100600132000ppm解得50m即此时该店有50 名职工（）若该店只安排40 名职工，则月利润21404010037200 4058824010037200 580. 当 0 x5 时，有 0.4x2+3.2x2.80,得 1x7,15 时，有 8.2x0,得 x8.2,5x8.2. 综上，要使工厂赢利，应满足1x5 时 f(x)b,各字母均为正值， 所以 y1y20， 即 y20,由 cb 及每字母都是正值， 得 cb+vm52.所以，当 cb

19、+vm52时 y2y3,由 y2y1即 y2最小，当 bacb+vm52时， y3y21 时，才可对冲浪者开放.16cos21t1, t6cos0. 2k2262kt, 即有 12k3t13k+3. 由 0t24,故可令 k=0,1,2,得 0t3 或 9t15 或 210,2n2+40n720，解得 2n18.由 nn 知从第三年开始获利. （2）年平均利润 =nnf)(=402(n+n36)16.当且仅当 n=6 时取等号 .故此方案先获利616+48=144（万美元），此时 n=6,f(n)=2(n10)2+128. 当 n=10 时， f(n)|max=128.故第种方案共获利128+

20、16=144（万美元） . 故比较两种方案，获利都是144万美元，但第种方案只需6 年，而第种方案需10 年，故选择第种方案. 8.解：设分别生产p、q 产品 x 件、 y件，则有60004700032120008214000641200025000yxyxyxyxyx则有依题意有设利润 s=1000 x+2000y=1000(x+2y) 要使利润 s最大，只需求x+2y 的最大值 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - -x+2y=m(2x+3y)+n(x+4y)=x(2m+n)+

21、y(3m+4n) 24312nmnm5152nm有 x+2y=52(2x+3y)+51(x+4y)527000+516000. 当且仅当60004700032yxyx解得10002000yx时取等号，此时最大利润smax=1000(x+2y)=4000000=400( 万元 ). 另外此题可运用“线性规划模型”解决. 9.解设裁员x人，可获得的经济效益为y万元 , 则bxbxbxay4.0)01.0)(2(=abxaxb2)70(21002依题意xa2a2430 x2a. 又 140a2420, 70a210. (1) 当 070a2a, 即 702a, 即 140a210 时，2ax , y

22、取到最大值 ; 综上所述，当70a140 时，应裁员70a人；当 140a210 时，应裁员2a人. 在多字母的数学问题当中，分类求解时需要搞清：为什么分类？对谁分类？如何分类？10.讲解 （1）由题意病毒细胞关于时间n 的函数为12ny, 则由,10281n两边取对数得,82lg) 1(nn27.5, 即第一次最迟应在第27 天注射该种药物. （2）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为%2226, 再经过 x 天后小白鼠体内病毒细胞为x2%2226, 由题意x2%2226108，两边取对数得2.6,82lg22lg2lg26xx得，故再经过 6 天必须注射药物，即第二次应在第33 天注

23、射药物本题反映的解题技巧是“两边取对数”，这对实施指数运算是很有效的. 11讲解 : 不妨画一个图形,将文字语言翻译为图形语言, 进而想法建立数学模型 . 设 船 速 为v ， 显 然hkmv/4时 人 是 不 可 能 追 上 小 船 ， 当20vkm/h 时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑42v的情况，由于人在水中游的速度小于o a b vt 2(1k)t 4kt 15精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - -船的速度， 人只有先沿湖岸跑一段路

24、后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。设船速为v，人追上船所用时间为 t，人在岸上跑的时间为) 10(kkt，则人在水中游的时间为tk)1(，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形. ,| ,)1 (2| ,4|vtobtkabktoa由余弦是理得15cos|2|222oboaoboaab即4264.2)()4()1(42222vtktvtkttk整理得04 8)26(21222vkvk. 要使上式在（ 0，1）范围内有实数解，则有112402v且0) 4(124 8)26( 222vv解得hkmvv/22,222

25、max即. 故当船速在22,2(内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船， 船能使人追上的最大速度为hkm/22，由此可见当船速为2.5km/h 时, 人可以追上小船 . 涉及解答三角形的实际应用题是近年高考命题的一个冷点, 复课时值得关注. 12. 讲解 （1） g(t)为常数 , 有 g(0)-rp=0, g(0)= rp. (2) 我们易证得0t1t2, 则g(t1)-g(t2)=g(0)- rpe1tvr-g(0)- rpe21tvr=g(0)- rp e1tvr-e21tvr=g(0)- rp)(2112)(ttvrtvrtvreee, g(0)rp0,t1e1tvr,g(t1)80% ？（）求使得na60% 成立的最小的自然数n. 为了解决这些问题， 我们可以根据题意，列出数列na的相邻项之间的函数关系，然后由此递推公式出发，设法求出这个数列的通项公式由题可知：0330%10a，254541%16%411nnnnaaaa所以，当1n时，254541nnaa，两式作差得：1154nnnnaaaa又1000044