实际问题与二次函数-详解与练习(含答案)

1、初中数学专项训练：实际问题与二次函数（人教版）、利用函数求图形面积的最值问题一、围成图形面积的最值1、只围二边的矩形的面积最值问题例1、(1)(2)如图1,用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗 圃。设矩形的一边长为 x （米），面积为y （平方米），求y关于x的 函数关系式；当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？试卷第12页，总13页分析：关键是用含 x的代数式表示出矩形的长与宽。解：（1）设矩形的长为（米），则宽为（18-x ）（米）根据题意，得:x(18 x)即当故当x>018x> 0x(18b2a0< xv18x)x218x 中,a= -1 &

2、lt;0,，y有最大值,182 ( 1)9 时，ymax4ac b24a0- 811)x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为 81平方米。点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。2、只围三边的矩形的面积最值例2、 如图2,用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠 墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？分析：关键是明确问题中的变量是哪两个,并能准确布列出函数关系式解：设养鸡场的长为 x（平方米）则宽为（50rx根据题意，得:50 xx25x；x> 0”>0,(X x<50x(50 x2x2 25x 中，a= 21<02, y有最大值,即当b2a5T 25时

3、, 2( 2)y max,24ac b4a0 252 1 4 ()26252625故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为一平方米。2点评：如果设养鸡场的宽为 x,上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。3、围成正方形的面积最值例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.(1)要使这两个正方形白面积之和等于17cM,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.(1)解：设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段为(20-x) cm由题意得:（；）2 （餐）2 1

4、7解得：x116,x24当 x116 时，20-x=4 ;当 x24 时，20-x=16答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是(2)不能16厘米、4厘米。理由是：设第一个正方形的边长为 xcm,则第二个正方形的边长为 面积为ycm2,根据题意，得：y x2 (5 x)2 2x2 10x 25,20 4x4(5 x)cm,围成两个正方形的即当x（5x）2 2x2 10x25 中，a= 2 >0 y有最小值,102ay min24ac b4 2 25 102254a=12.5 >12,故两个正方形面积的和不可能是 12cm2.练习1、如图，正方形 EFGH勺顶点在边长为a的正方形ABCD勺

5、边上，若 AE=x,正方形EFGH的面积为y.(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)正方形EFGHW没有最大面积？若有，试确定 E点位置；若没有，说明理由二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2ml）例题1如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在水面宽4ml如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是图（1）图（2）1 2y = -x .2【解析】y轴，可设此函数解析式为：y=ax2,利试题分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为 用待定系数法求解.试题解析：设此函数解析式为：y = ax2, a1 0；那么（2, -2）应在此

6、函数解析式上.则-2 = 4ar1即得a = -1,21 2 那么y =- -x .2考点：根据实际问题列二次函数关系式 练习1某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA。恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度 y （米）与水平距离 x （米）之间的关5系是yx2 2x .请回答下列问题：4（1）柱子OA的高度是多少米？（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落

7、在池外?2. 一座桥如图，桥下水面宽度 AB是20米，高CD是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.求抛物线的解析式；要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米求圆的半径;部分要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米三、利用抛物线解决最大利润问题例题1某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现，每月销售量 y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看做一次函数：y= 10X+500.（1）设李明每月获得利润为 w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （6分）（2）如果李明想要每月获得 2 000元的

8、利润，那么销售单价应定为多少元？ （3分）（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于 2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=进价X销售量）（3分）答案：（1） 35; （2） 30 或 40; （3） 3600.【解析】试题分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，根据利润=（定价-进价）X销售量，从而列出关系式； （2）令w=200O,然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据函数解析式，利用一次函数的性质求出最低成本即可.试题解析：（1）由题意得出：W x 20 y x 20 10x 500

9、10x2 700x 10000,a 10<0, 35,2a.当销售单价定为 35元时，每月可获得最大利润.（2）由题意，得：10x2 700x 10000 2000,解这个方程得：xi=30, X2=40.李明想要每月获得 2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.（3） a 10< 0 , .抛物线开口向下.当 30WXW40 时，惟2000.1. x<32, .当 30WXW32 时，惟2000.设成本为P （元），由题意，得：P 20 10X 500200X 10000,. k= 200V 0,P随x的增大而减小.当 x=32 时，P 最小=3600.答：想要每月

10、获得的禾I润不低于2000元，每月的成本最少为 3600元.考点：二次函数的应用.练习1.某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只 50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售 3只.（1）平均每天的销售量 y（只）与销售价x（元/只）之间的函数关系式为 ;（2）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与销售只x（元/只）之间的函数关系式；（3）物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元2 .为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一

11、种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y 2x 80 .设这种产品每天的销售利润为 w元.（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元?3 .某公司营销 A,B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A种产品所获利润 y （万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系2y ax bx.当 x 1 时，y 1.4 ;当 x 3时，y 3.6.信息2：销售B种产品所获利润 y （万元）与所售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y 0.3x.根据以

12、上信息，解答下列问题：（1）求二次函数解析式；（2）该公司准备购进 A,B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A, B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？4 .为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件 12元，每月销售量 y （件）与销售单价x （元）之间的关系近似满足一次函数：y 10x 500.（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价

13、为多少元？（2）设李明获得的利润为 w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果李明想要每月获得的利润不低于3000元,那么政府为他承担的总差价最少为多少元？5 .某文具店销售一种进价为 10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔 100个；若每个签字笔的销售价格每提高 1元， 则平均每周少销售签字笔 10个.设销售价为x元/个.（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为 个（用含x的式子表示）；（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w

14、 （元）与销售价x （元/个）之间的函数关系式；（3）当x取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？6. 一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆.公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如下关系：x3000320035004000y100969080(1)观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y （辆）与每辆车的月租金 x (元)之间的关系式.(2)已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费的代数式填表：50 元.用含 x （x>3000）租出的车辆数 租出每辆车的月

15、收 益未租出的车辆数 所有未租出的车辆每月的维护 费(3)若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元.四、利用二次函数解决动点问题例1如图8,如图9,在平行四边形 ABC由，AD=4 cm, Z A=60° , BD_AD 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A-B- C的路线匀速运动，过点P作直线PM使PML AD.(1)当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E,求 APE的面积；(2)当点P运动2秒时，另一动点 Q也从A出发沿 Z B- C的路线运 动,且在 AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在 BC上以

16、每秒2 cm的速度 匀速运动.过Q作直线QN使QM/ PM设点Q运动的时间为t秒(0wt w 10),直线PM与QNB平行四边形 ABC所得图形的面积为 S cm2.求S关于t的函数关系式；求S的最大值.解：（1）当点 P 运动 2 秒时，AP=2 cm,由/ A=60° ,知 AE=1, PE=«.，SA3APE：二32(2)当0wt W6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G, QNW AD交于点F,则AQt ,AF=_, QF=t, APt+2, AGl + f, PGj3 13t 2222此时两平行线截平行四边形 ABCD勺面积为S=J3t 处.22当6

17、wt W8时，点P在BC上运动，点 Q仍在AB上运动.设PM与DC交于点G QNW AD交于点F,则AQ=t , AF=- , DF=4- - , QF=2t, BP=t-6 , CP=10-t , PG=(10 t)V3 , 222而BD= 4寸3,故此时两平行线截平行四边形ABCD勺面积为S= Hit2 1073t 34'3 .8G, QN< DC于点 F,则 CR20-2 t ,当8<t< 10时，点P和点Q都在BC上运动.设PMUf DC于点 Qf=(20-2 t) J3 , CLl0-t, PG(10 t)j3.30、3t6)8)10)150. 3 .此时两

18、平行线截平行四边形ABCD勺面积为S=3qt223 3(0 t22故S关于t的函数关系式为S 述t2 10依34后(6 t83-3t2 30.3t 150.3. (8 t2当0wtw6时，S的最大值为713当6w t w 8时，S的最大值为6M当8wtw10时，S的最大值为6点所以当t=8时，S有最大值为673 .初中数学专项训练：实际问题与二次函数参考答案一、1(1) y=2x2-2ax+a2 (2) 有.当点E是AB的中点时，面积最大.【解析】本题考查了二次函数的应用.(1)先由AAS证明4人£国ADHE得出AE=DH=xk, AF=DE= (a-x )米，再根据勾股定理，求出E

19、F2,即可得到S与x之间的函数关系式；(2)先将(1)中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解.解：.四边形 ABC虚边长为a米的正方形，/A=/ D=90 , AD= a 米.四边形EFGH正方形，/ FEH=90 , EF=EH在人£5与4 DHE中，/ A=Z D, / AEF土 DHE=90 - / DEH EF=EH.AEH DHE(AAS ,.AE=DH=x>k, AF=DE= (a-x )米，y=EF2=AE2+AF=x2+ (a-x) 2=2x2-2ax+ a 2, 即 y=2x2-2ax+ a 2;(2) 1.- y=2x2-2ax

20、+ a 2=2 ( x- a ) 2+a,24当x=a时，S有最大值.2故当点E是AB的中点时，面积最大.二、练习1(1) 5(2) 9(3) 54 42【解析】本题考查了二次函数的应用.(1)本题需先根据已知条件把x=0代入抛物线的解析式，从而得出y的值，即可求出答案.(2)通过抛物线的顶点坐标求得(3)本题需先根据已知条件把y=0代入抛物线求出所要求的式子，再得出 x的值，即可求出答案.解：(1)把x=0代入抛物线的解析式5 5得：y=5,即柱子OA的高度是56 4(2)由题意得：当x= 2=1时，y= 9 ,即水流距水平面的最大高度 2(1)4(3)把y=0代入抛物线/口 2_5 .一1

21、 一一5得： x 2x =0,解得，x1= 一(舍去，不合题息),x2= 422 5故水池的半径至少要-米才能使喷出的水流不至于洛在池外22. (1) yx2 4; 10; (2) 14.5 ; 4币.25【解析】试题分析：(1)利用待定系数法求函数解析式即可；根据题意得出y=3时，求出x的值即可；(2)构造直角三角形利用 BW=BC2+C也求出即可；在RTA WG冲，由题可知， WF=14.5, WG=14.5- 1=13.5 ,根据勾股定理知：G良WF- WG求出即可.试题解析：(1)设抛物线解析式为：y2axC, .一桥下水面宽度 AB是20米，高CD> 4米，A (-100a c

22、 010, 0), B (10, 0), D (0, 4), ,解得:c 4125，抛物线解析式为:41 2 一 x 254;1 9.要使局为3米的船通过，y 3,则3x2 4,解得：x 5,，EF=10米；25(2)设圆半径r米，圆心为 W .bW=bC+C侦r2 (r 4)2 102,解得：r 14.5；在 RTA WGF 中，由题可知， WF=14.5, WG=14.5- 1=13.5 ,根据勾股定理知：GF=wF- W© 即 GF=14.52- 13.5 2=28,所以 GF=2j7,此时宽度 EF=4，7米.考点：1.二次函数的应用；2.垂径定理的应用.三、1. (1) y

23、=-3x+240 ; (2)w=-3x 2+360X-9600 ; (3)定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.【解析】试题分析：(1)根据题意知销售量 y(只)与销售价x(元/只)之间的函数关系式为 y=90-3 (x-50 ) =-3x+240 ;(2)根据“总利润=每件商品的利润X销售量”可知 w=(x-40) y= (x-40 ) (-3x+240 ) =-3x 2+360x-9600 ;求获得最大利润，也就是求函数 w=-3x2+360x-9600的最大值.试题解析：(1 ) y=90-3 (x-50 )即 y=-3x+240 ;(2) w= (x-40) y= (x-40

24、) (-3x+240 ) =-3x 2+360x-9600 ;(3)当xw 60, y随x的增大而减小，当x=55时，w最大=1125所以定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.考点：(1) 一次函数；(2)二次函数.22. (1) w 2x 120x 1600; (2)该产品销售价定为每千克30兀时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.【解析】试题分析：(1)根据销售额=销售量X销售价单x,列出函数关系式；(2)用配方法将(2)的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值.试题解析：(1)由题意得： w x 20 y x 20 2x 802x2 120x 1600,.w与x的函数关

25、系式为： w2x2 120x 1600.22(2) w 2x2 120x 16002 x 30200,- 2V0, .当x=30时，w有最大值.w最大值为200.答：该产品销售彳定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润 200元.考点：1.二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的最值.3.见解析【解析】试题分析：(1)因为当x=1时，y=1.4 ;当x=3时，y=3.6，代入y ax2 bxa b 1.4a 0.12得解得 ，所以，二次函数解析式为y=-0.1x 2+1.5x ；9a 3b 3.6b 1.5（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B

26、两种产品获得的利润之和为 W元，根据题意 可列函数关系式为： W=-0.im2+1.5m+0.3 （10-m） =-0.1m2+1.2m+3=-0.1 （m-6） 2+6.6,因为-0.1 < 0,根据二 次函数的性质知当 m=6时，W有最大值6.6 ,试题解析：（1） ,当 x=1 时，y=1.4 ;当 x=3 时，y=3.6 ,a b 1.49a 3b 3.6解得0.1，1.5所以，二次函数解析式为 y=-0.1x 2+1.5x ；3 分（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售 A B两种产品获得的利润之和为W元，则 W=-0.1m2+1.5m+0.3 （ 10-m）

27、=-0.1m 2+1.2m+3=-0.1 （ m-6） 2+6.6 ，-0.1 <0,当m=6时，W有最大值6.6 ,，购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元.考点： 1. 待定系数法求解析式.2. 二次函数性质.4 （ 1）政府这个月为他承担的总差价为 600 元；（ 2 ）当销售单价定为30 元时，每月可获得最大利润 4000；（ 3）销售单价定为25 元时，政府每个月为他承担的总差价最少为 500 元 .【解析】试题分析： （ 1）根据每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可求得每月销售量，又由单价和成本间关系得到每件

28、节能灯的差价，则可得到总差价. （ 2）求每月可获得最大利润，即为求该二次函数的最大值，将二次函数配方法，可得该函数的最大值 .（3） w 3000同时满足x£25,根据函数图象的性质 知道，k< 0随x的增大而减小，当x= 25时，该函数有最大值时，p有最小值500.试题解析： （ 1）当 x= 20时， y 10x 50010 20 500 300 ， 300? （12 10） = 300? 2 600 ，政府这个月为他承担的总差价为600元。（2）依题意得，w= x-1010x+ 500 = 10x2 + 600x - 5000= -10 x-30 2+ 4000，Q a

29、=- 10< 0，当x= 30时，w有最大值4000.，当销售单价定为 30元时，每月可获得最大利润4000.（3）由题意得：10x2+ 600x - 5000 3000 ，解得：x1 = 20 ， x2 = 40 .Q a = - 10 < 0 ，抛物线开口向下，结合图象可知：当 20#x 40时，w3 3000.又Q x£25,，当 20 #x 25时，w>3000 .设政府每个月为他承担的总差价为 p 元， p 12 1010x 50020x 1000 .Q k = - 20 < 0 , p随x的增大而减小 当x= 25时，p有最小值500.试卷第 13 页，总 13 页，销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500