第五章方阵的特征值、特征向量与相似化简

1、线性代数线性代数 第五章第五章第五章第五章 方阵的特征值、特征向量与相似化简方阵的特征值、特征向量与相似化简 本章教学内容本章教学内容1 数域数域 多项式的根多项式的根2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量3 方阵相似于对角矩阵的条件方阵相似于对角矩阵的条件4 正交矩阵正交矩阵5 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化*6Jordan标准形简介标准形简介1 数域数域 多项式的根多项式的根 本节教学内容本节教学内容1.1.数域的概念数域的概念2.多项式的根与标准分解式多项式的根与标准分解式1 数域数域 多项式的根多项式的根1.1.数域的概念数域的概念定义定义1.1 设设F 是一个

2、数集，是一个数集，F 中至少包含两个不中至少包含两个不同的数，如果同的数，如果F 中任意两个数的和、差、积、商中任意两个数的和、差、积、商(当除数不为零时当除数不为零时)仍是仍是F 中的数，则称中的数，则称F 是一个是一个数数域域。注注 数域对数的四则运算数域对数的四则运算(除数不为零除数不为零)封闭。封闭。 数域数域F 必包含必包含0和和1两个数。两个数。证证 依定义有依定义有, 0, aFba，且，且.1 ,0FaaFaa 所以所以1 数域数域 多项式的根多项式的根 有理数集有理数集Q是一个数域，称是一个数域，称有理数域有理数域；实数集实数集R是一个数域，称是一个数域，称实数域实数域；复数

3、集复数集C是一个数域，称是一个数域，称复数域复数域。 若若F 是数域，则是数域，则F Q，即，即有理数域是最小的有理数域是最小的数域数域。证证 ，F 1,Fn 若正整数若正整数,1Fn 则则由由数数学学归归纳纳;Fn 法法知知一一切切正正整整数数为为和和任任一一正正有有理理数数pqqpa , ,正正整整数数,Fa 即即,)21(Faa 任任一一负负有有理理数数,0F 。可可见见F Q1 数域数域 多项式的根多项式的根例例3答答 是。是。证证是是不不是是一一个个数数域域？Q,3 babaF ,3 ,32211FbaFba 设设则则, 3)()()3()3(21212211Fbbaababa ,3

4、)()3()3( )3(122121212211bababbaababa , )3( )3(2211Fbaba 0,322 ba若若. )3( )3(1)3()3(222122222211Fbababababa 1 数域数域 多项式的根多项式的根2.多项式的根与标准分解式多项式的根与标准分解式定义定义1.2 对于非负整数对于非负整数n及数域及数域F 上的数上的数ai, (i=0,1,2, ,n)，未定元，未定元x的形式表达式的形式表达式称为数域称为数域F F上的一个一元上的一个一元多项式多项式. .当当an0时，称时，称 (x)为为一个一元一个一元n n次多项式次多项式. .非零数非零数an称

5、为称为 (x)的首项系的首项系数，数， a0称为称为常数项常数项. 系数全为零的多项式称为系数全为零的多项式称为零多零多项式项式，通常，通常零多零多项式不定义次数，如果为了方便，项式不定义次数，如果为了方便，也可认为它的次数为也可认为它的次数为- - . .0111)(axaxaxaxfnnnn 1 数域数域 多项式的根多项式的根定义定义1.3 对于正整数对于正整数n，一元一元n n次多项式次多项式 (x)对应对应的方程的方程 (x)=0称为称为代数方程代数方程，方程，方程 (x)=0的根称为的根称为 (x)的的根根或或零点零点. .方程方程 (x)=0重复出现的根称为方程重复出现的根称为方程

6、(或多项式或多项式 (x)的的重根重根，其重复出现的，其重复出现的次数称为该次数称为该重根的重根的重数重数，重数为，重数为1 1的根称为的根称为单根单根. .例例1 1例例2 2, 0)(是是零零多多项项式式 xf, 2)(是零次多项式是零次多项式 xf,4223)(4次次多多项项式式是是 xxxf0,21213)1(4 f0,223 14 xxx满满足足方方程程即即,223)(14的的根根是是 xxxfx. )(的的零零点点亦亦称称xf1 数域数域 多项式的根多项式的根关于关于代数方程及多项式，有下列结论代数方程及多项式，有下列结论定理定理1.1 复数域上，复数域上，n n次次代数方程恰有代

7、数方程恰有n个根个根(k重重根算根算k个，个，n1). 推论推论 n n次次( (n1) )多项式在复数域上恰有多项式在复数域上恰有n个根个根(k重重根算根算k个个). 定理定理1.2 若若n n次次多项式多项式 (x) 全部互异的根为全部互异的根为x1, x2, xt，它们的重数分别为，它们的重数分别为n1, n2, nt，则有，则有(an0, n1+n2+nt=n) 上式右端称为上式右端称为 (x)在复数域在复数域上的上的标准分解式标准分解式。tntnnnxxxxxxaxf)()()()(2121 1 数域数域 多项式的根多项式的根例例3 下列哪些是复数域上的下列哪些是复数域上的标准分解标

8、准分解(1)(2)(3)(4)2()1()(2 xxxf32)3)(1()( xxxf)5()1(2)(2 xxxxf)21)(12()( f是是是是不是不是不是不是1 数域数域 多项式的根多项式的根例例4 复数域上，将复数域上，将多项式多项式标准分解。标准分解。 解解 根据根与系数的关系，根据根与系数的关系， (x)的有理根必是的有理根必是2的的约数，即可能是约数，即可能是1,-1,2,-2,22)(23 xxxxf, 02121)1( f, 02121)1( f, 02288)2( f,)(2, 1, 1 的的三三个个根根是是三三次次多多项项式式即即xf )2)(1)(1()( xxxxf

9、所所以以1 数域数域 多项式的根多项式的根本节学习要求本节学习要求1.1.理解理解数域的概念，数域的概念，2. 理解理解多项式、多项式的根与多项式的标准分多项式、多项式的根与多项式的标准分解式的概念。解式的概念。作业作业：习题：习题5.1(A) 第第3 3题题2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 本节教学内容本节教学内容1.1.方阵的特征值方阵的特征值2.2.方阵的特征向量方阵的特征向量3.3.方阵的特征值与特征向量的问题方阵的特征值与特征向量的问题2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量1.1.方阵的特征值方阵的特征值定义定义2.2 对于对于n阶方阵阶方阵A=(aij)

10、，把含有字母，把含有字母 的的矩阵矩阵称为称为A的的特征矩阵特征矩阵， 多项式多项式 ( )= E-A 称为称为A的的特征多项式特征多项式, ( )的根的根称为称为A的的特征根特征根或或特征值特征值. ( )的的单单(重重)根根称为称为A的的单单(重重)特征值特征值. nnnnnnaaaaaaaaaAE 2122221112112 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值具有下列性质方阵的特征值具有下列性质定理定理2.1 n阶方阵阶方阵A=(aij)的特征多项式的特征多项式 记记 0111)(cccAEnnn )(22111nnnaaac ,tr2211nnaaaA 称为称为A

11、的的迹迹 (定义定义2.1)A-tr .)1(0Acn 2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量证证 ( )的的n次项及次项及n-1次项必来自均部项次项必来自均部项故故 ( )的的n次项系数为次项系数为1, ( )的的n-1次项系数为次项系数为 ( )的常数项为的常数项为nnnnnnaaaaaaaaa 212222111211)()()(2211nnaaa )(22111nnnaaac .)1()0(0Acn 2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量定理定理2.2 设设n阶方阵阶方阵A的特征值为的特征值为则则证证 由定理由定理2.1知知A的特征多项式的特征多项式推论推论 方阵方

12、阵A可逆可逆 A的特征值都不为零。的特征值都不为零。,21n .,21nA 0111)(cccnnn .)1( 0Acn 有有,)1()0(210nnc 的的特特征征值值可可知知是是又又An ,21)()()(21n .,21nA 2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量2.2.方阵的特征向量方阵的特征向量定义定义2.3 设设 0是是n阶方阵阶方阵A的一个特征值，若的一个特征值，若n维维非零非零(列列)向量向量 满足满足A = 0 ，则称，则称 为为A的对应于的对应于 0的一个的一个特征向量特征向量。定理定理2.3 设设A为为n阶方阵阶方阵, 若数若数 0与与n维非零维非零(列列)向向

13、量量 满足满足A = 0 ， 则则 0为为A的特征值，的特征值， 为为A的对的对应于应于 0的特征向量。的特征向量。证证 ,0 A, 0)(0 E-A则则,0)(0有有非非零零解解可可知知 xE-A , 00 E-A ,0的的特特征征值值是是A .0的的特特征征向向量量是是对对应应于于 #2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量3.3.方阵的特征值与特征向量的问题方阵的特征值与特征向量的问题 的的非非零零解解是是0)(0 xE-A 的的根根是是E-A )(0的的特特征征值值是是A0 的的特特征征向向量量的的对对应应于于是是0 A,0)(,0s21一一个个基基础础解解系系是是若若 xE-

14、A 的的全全部部特特征征向向量量为为则则对对应应于于0 ),( 21s2211不不全全为为零零sskkkkkk 0 A使使存存在在非非零零向向量量 0 A2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量例例2.2 在实数域上求矩阵在实数域上求矩阵的的特征值与特征向量。特征值与特征向量。解解 163222123A163222123 AE0)2(2)2(02)2(2123 212)2(2 )4()2(2 . 4, 2321 的的特特征征值值得得A2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 对于对于 1,2=2，解方程组，解方程组(2E-A)X=0得基础解系得基础解系 对于对于 3=-4，解方

15、程组，解方程组(-4E-A)X=0得基础解系得基础解系,)0, 1, 2(1T ,)1, 0, 1(2T 的的全全部部特特征征向向量量为为对对应应于于于于是是2 ,2, 1 A).,( 212211不不全全为为零零kkkk ,)3, 2, 1(3T 的的全全部部特特征征向向量量为为对对应应于于于于是是4,3 A).0( 333 kk 2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量例例2.3 在实数域上求矩阵在实数域上求矩阵的的特征值与特征向量。特征值与特征向量。解解 201034011B201034011 BE2)1)(2( . 2, 1321 的的特特征征值值得得B2 方阵的特征值与特征向

16、量方阵的特征值与特征向量 对于对于 1=2，解方程组，解方程组(2E-B)X=0得基础解系得基础解系 对于对于 2,3=1，解方程组，解方程组(E-B)X=0得基础解系得基础解系,)1, 0, 0(1T 的的全全部部特特征征向向量量为为对对应应于于于于是是2 ,1 B).0( 111 kk ,)1, 2, 1(2T 的的全全部部特特征征向向量量为为对对应应于于于于是是1,3,2 A).0( 222 kk 2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量例例2.4 设矩阵设矩阵A满足满足A2=A(这样的矩阵叫做这样的矩阵叫做幂等幂等矩阵矩阵)，证明，证明A 的特征值只能是的特征值只能是0或者或者

17、1.证证有有由由AA 2)( AA , A使使则则有有非非零零向向量量,的的特特征征值值为为矩矩阵阵设设A )( A 2AA )( A )( 2 , 2 所所以以0,)-( 2 即即, 00 2 ，知知由由. 01 或或2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量例例2.5 设矩阵设矩阵A可逆，可逆， 0为为A 的特征值，的特征值， 为为A的对的对应于应于 0的特征向量，证明的特征向量，证明证证 ,110的的特特征征值值为为 A .101的的特特征征向向量量的的对对应应于于为为 A，且且依依题题设设有有00 A，可可逆逆知知由由00 A，于于是是有有 01-1 A,110的的特特征征值值为

18、为故故 A .101的的特特征征向向量量的的对对应应于于为为 A2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量本节学习要求本节学习要求理解理解方阵的特征值、特征多项式及特征向量的概方阵的特征值、特征多项式及特征向量的概念，熟悉特征值的性质，会求方阵的特征值与特念，熟悉特征值的性质，会求方阵的特征值与特征向量，会论证特征值与特征向量有关的问题。征向量，会论证特征值与特征向量有关的问题。作业作业：习题：习题5.2(A) 第第1(1)(3),3,81(1)(3),3,8题题3 方阵相似于对角矩阵的条件方阵相似于对角矩阵的条件 本节教学内容本节教学内容1.1.相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质2.2.

19、方阵的相似对角化方阵的相似对角化3 方阵相似于对角矩阵的条件方阵相似于对角矩阵的条件1.1.相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质定义定义3.1 设设A,B是是n阶方阵，若存在阶方阵，若存在n阶可逆矩阵阶可逆矩阵P，使，使P-1AP=B，则称，则称A与与B相似相似(或或A相似于相似于B)。记作记作AB 运算运算P-1AP称为对称为对A作作相似变换相似变换，P称为称为相似因子相似因子或或相似变换矩阵相似变换矩阵.注注 矩阵的相似关系是同阶方阵间的一种关系矩阵的相似关系是同阶方阵间的一种关系.BAP或或3 方阵相似于对角矩阵的条件方阵相似于对角矩阵的条件相似矩阵具有相似矩阵具有基本性质基本性质证证; )

20、1(AAE, )2(BAP若若;1ABP 则则, , )3(21CBBAPP若若,21CAPP则则(反身性反身性)(对称性对称性)(传递性传递性)BAPP 1BAP )2(ABPP 111)(;1ABP CBBAPP21 , )3(CBPPBAPP 212111 ,CPAPPP 211112CPPAPP )()(21121,21CAPPAAE E 1 )1(;AAE3 方阵相似于对角矩阵的条件方阵相似于对角矩阵的条件性质性质1 若若AB，则，则R(A)=R(B).证证 若若AB，则存在可逆矩阵，则存在可逆矩阵P，使，使P-1AP=B，根据第三章讨论根据第三章讨论3.2知知R(A)=R(P-1A

21、P)=R(B). 性质性质2 若若AB，则，则A=B.证证 若若AB，则存在可逆矩阵，则存在可逆矩阵P，使，使P-1AP=B，性质性质3 若若AB，则，则ATBT.证证 若若AB，则存在可逆矩阵，则存在可逆矩阵P，使，使P-1AP=B，APPB1 PAP1 A PAP1 T1T)(APPB ,)()(T11T1 PAP.TTBA 3 方阵相似于对角矩阵的条件方阵相似于对角矩阵的条件性质性质4 若若AB且且A可逆，则可逆，则B可逆且可逆且A-1B-1.证证若若AB且且A可逆，则由性质可逆，则由性质2知知B= A 0，所有所有B可逆；可逆； AB，则存在可逆矩阵，则存在可逆矩阵P，使，使P-1AP

22、=B， #111)( APPB.11 BA ,11PAP 3 方阵相似于对角矩阵的条件方阵相似于对角矩阵的条件性质性质5 若若AB,则对任意多项式则对任意多项式 (x)有有 (A) (B)证证 若若AB，则存在可逆矩阵，则存在可逆矩阵P，使，使P-1AP=B，,)(0 nkkkxaxf设设)()(1APPfBf 则则kmkkAPPa)(10 )(10PAPakmkk PAapkmkk)(01 ,)(1PAfp ).()(BfAfAPAPPAPPAPPPAPPAPPnk )()()(:)(1111111 个个注注意意PAPk 1 3 方阵相似于对角矩阵的条件方阵相似于对角矩阵的条件性质性质6 若

23、若AB，则，则A与与B有相同的特征多项式，有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，从而有相同的特征值，trA=trB.证证从而从而A与与B有相同的特征值，有相同的特征值，trA=trB. #注：注：性质性质6的逆不成立。的逆不成立。,)(xxf 设设有有依依性性质质5,)()(BEBfAfAE ,2BEAE 有有依依性性质质3 方阵相似于对角矩阵的条件方阵相似于对角矩阵的条件2.2.方阵的相似对角化方阵的相似对角化所谓所谓方阵的方阵的相似对角化相似对角化，指，指 求一个相似变换矩阵求一个相似变换矩阵P，使，使P-1AP =对角阵对角阵.能与对角矩阵相似的方阵称为能与对角矩阵相似的方阵称为可对角

24、化可对角化。问题问题：方阵的对角化有何意义？方阵的对角化有何意义？方阵方阵A在何条件下可对角化？在何条件下可对角化？如何将方阵的对角化？如何将方阵的对角化？首先，若首先，若P-1AP= (对角阵对角阵)，则，则An=P nP-1,易求得易求得An。下面讨论后两个问题。下面讨论后两个问题。3 方阵相似于对角矩阵的条件方阵相似于对角矩阵的条件定理定理3.1 n阶矩阵阶矩阵A能与对角矩阵相似的充分必能与对角矩阵相似的充分必要条件是要条件是A有有n个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。证证(必要性必要性) 设设n阶矩阵阶矩阵A能与对角矩阵相似，则能与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵存在可逆矩阵P，使

25、，使P-1AP= ，即，即AP=P ， n 21其其中中),( 21nP 设设),(21nAAAAP ),(2211nnP ), 2, 1( ,nkAkkk . , 21的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量是是An .,21线线性性无无关关则则n 3 方阵相似于对角矩阵的条件方阵相似于对角矩阵的条件(充分性充分性)注注：上述证明过程可见将方阵：上述证明过程可见将方阵A对角化的方法对角化的方法. n 21其其中中,),( 21可可逆逆则则nP ),(21nAAAAP ),(2211nn ), 2, 1( ,nkAkkk .,21的的线线性性无无关关的的特特征征向向量量是是设设An ),(21

26、n , P , 1 APP. A3 方阵相似于对角矩阵的条件方阵相似于对角矩阵的条件将方阵将方阵A对角化的对角化的方法方法 求求A的特征值：的特征值： 1, 2, , n, 求求A的对应于的对应于 1, 2, , n的的线性无关的特征向线性无关的特征向量量 1, 2, , n, 设设P=( 1, 2, , n)，则，则 nAPP 2113 方阵相似于对角矩阵的条件方阵相似于对角矩阵的条件例例3.1 已知已知解解 ,3122 A.100A求求),4)(1(3122 AE, 4, 11 的的特特征征值值得得A 1-20)(, 111 得得特特征征向向量量解解方方程程组组对对xAE 110)4(,

27、412 得得特特征征向向量量解解方方程程组组对对xAE3 方阵相似于对角矩阵的条件方阵相似于对角矩阵的条件令令问题问题 任意求得的特征向量都线性无关吗？任意求得的特征向量都线性无关吗？任意任意n阶方阵都有阶方阵都有n个线性无关的特征向量吗？个线性无关的特征向量吗？,1112 P,411 APP则则1100100 PPA )211131(40011112100 1001001001004214142242313 方阵相似于对角矩阵的条件方阵相似于对角矩阵的条件定理定理3.2 设设 i是是A的的ni重特征根，那么重特征根，那么A对应于对应于 i的特征向量中，线性无关的特征向量最多有的特征向量中，线

28、性无关的特征向量最多有ni个个.(证证:略略)定理定理3.3 设设 1, 2, s是是n阶方阵阶方阵A的互异特征值，的互异特征值，(证证:略略)的的线线性性无无关关特特征征对对应应是是), 2 , 1(,21siAiipiii 那那么么向向量量组组,111211p,222221p,221spss,.是是线线性性无无关关的的,向向量量组组3 方阵相似于对角矩阵的条件方阵相似于对角矩阵的条件注注: 设设 1, 2, t是是n阶方阵阶方阵A的全部互异特征值，的全部互异特征值， i是是A的的ni重特征根重特征根(ni称为称为 的的代数重数代数重数)(i=,2,t),n1+n2+nt=n，A的对应于的对

29、应于 i的特征向量的极大线的特征向量的极大线性无关组性无关组(即方程组即方程组( iE-A)x=0的基础解系的基础解系)为为则则是是A的全部的全部特征向量的一个极大无关组，称为特征向量的一个极大无关组，称为A的的一个一个特征向量系特征向量系，其向量个数，其向量个数p= p1+p2+ps n,当当p=n时，时， A的特征向量系是的特征向量系是完全完全的，否则是不的，否则是不完全完全的。的。A可相似对角化可相似对角化 p=n.即即), 2 , 1( ,21tiiipii ,111211p,222221p,221,spss,(pi称为称为 i的的几何重数几何重数)3 方阵相似于对角矩阵的条件方阵相似

30、于对角矩阵的条件定理定理4 数域数域P上上n阶方阵阶方阵A可与对角阵相似可与对角阵相似 A在在P上有上有n个特征值（重根按重数计算）；个特征值（重根按重数计算）； A在在P上的每一个特征值上的每一个特征值 的的几何重数几何重数等于等于 的的代数重数代数重数。推论推论1 若若n级方阵级方阵A有有n个互异的特征值，则个互异的特征值，则A可可与对角阵相似与对角阵相似. (其逆不成立其逆不成立) (定理定理3.4)推论推论2 若若n级方阵级方阵A的特征多项式在复数域的特征多项式在复数域C上上无重根，则无重根，则A在在C上可与对角阵相似上可与对角阵相似.(其逆不成立其逆不成立)3 方阵相似于对角矩阵的条

31、件方阵相似于对角矩阵的条件本节学习要求本节学习要求理解相似矩阵的理解相似矩阵的概念，熟悉概念，熟悉相似矩阵相似矩阵的性质，的性质，熟悉方阵的相似对角化的条件，会将方阵相似对熟悉方阵的相似对角化的条件，会将方阵相似对角化。角化。会用会用相似矩阵相似矩阵的性质解决有关的问题。的性质解决有关的问题。作业作业：习题：习题5.3(A) 第第2,4,62,4,6题题4 正交矩阵正交矩阵 本节教学内容本节教学内容1.1.实向量的内积与长度实向量的内积与长度2.2.正交向量组正交向量组3.3.正交矩阵与正交变换正交矩阵与正交变换4.4.共轭矩阵共轭矩阵* *5.H-5.H-矩阵与酉矩阵矩阵与酉矩阵4 正交矩阵

32、正交矩阵1.1.实向量的内积与长度实向量的内积与长度定义定义4.1设设 =(a1,a2,an)T, =(b1,b2,bn)T Rn, , 的的内积内积：( , )= T =a1b1+a2b2+anbn 若若 , 为为n维行向量，则维行向量，则( , )= T.性质性质 设设 , , Rn，k R ，则，则 ( , )=( , ) (k , )=k( , ) ( + , ) =( , )+( , ), ( , )0, ( , )=0 =04 正交矩阵正交矩阵定义定义4.2 =(a1,a2,an)T( Rn) 的的长度长度(范数范数)：性质性质 设设 , , Rn，k R ，则，则 0, =0 =

33、0 k =k + + (三角不等式三角不等式)概念概念 若若 =1, 称称 为为单位向量单位向量。性质性质 若若 0，则记，则记概念概念 由由 (0)得到得到e 的过程称将的过程称将 单位化单位化.22221),(naaa e是与是与 同向同向的单位向量的单位向量 4 正交矩阵正交矩阵例例1 设设 =(1,1,1,-1)T, =(1,-1,1,1)T，则，则 ( , )=- =- e =-T)1, 1 , 1 , 1(21 1)1(11)1(111 2222)1(111 02 4 正交矩阵正交矩阵2.2.正交向量组正交向量组定义定义4.3 若若( , )=0, 则称则称 与与 正交正交(或或垂

34、直垂直).注注：任意实向量都与零向量正交：任意实向量都与零向量正交.定义定义4.4 如果一组如果一组非零非零向量两两正交，则称这组向量两两正交，则称这组向量为向量为正交向量组正交向量组，简称，简称正交组正交组.例例2 问问 1=(1,0,1)T, 2=(1,0,-1)T, 3=(0,1,0)T是不是是不是正交组？正交组？答答：是：是. , 0)1(10011),(21 , 0011001),(31 , 00)1(1001),(32 4 正交矩阵正交矩阵定理定理4.5 正交向量组必是线性无关组正交向量组必是线性无关组.证证注注：定理的逆不成立。定理的逆不成立。02211 nnkkk , ), 0

35、(),( 2211jjnnkkk 则则, 0),( jjjk 使使常常数数nkkk,21,21为为正正交交向向量量组组设设n , 0),( 1 nijiik 有有),21( , 0,n,jkj .,21线线性性无无关关故故n , 0),( jj 又又4 正交矩阵正交矩阵定义定义4.5 由单位向量构成的正交向量组称由单位向量构成的正交向量组称单位正单位正交向量组交向量组，简称，简称单位正交组单位正交组(或或标准正交组标准正交组，规范规范正交组正交组).特征特征：特例特例：问题问题：为为单单位位正正交交组组n ,21 , 1, 0),(jijiijji当当当当 ., 2 , 1,nji .,维基本

36、向量组21为为单单位位正正交交组组neeen,21n 给给出出线线性性无无关关向向量量组组求求作作.,2121nn 等等价价的的正正交交组组与与.,2121nn 等等价价的的单单位位正正交交组组或或与与4 正交矩阵正交矩阵Schmide单位正交化方法单位正交化方法正交化正交化：单位化单位化：,11 令令.,21线线性性无无关关设设向向量量组组n .,2121等等价价的的正正交交组组是是与与则则nn ,),(),(1111222 , 2 , 1 , iniii 令令,),(),(),(),(),(),(111122221111 kkkkkkkkk .,2121等等价价的的单单位位正正交交组组是是

37、与与则则nn , 3, 2nk 4 正交矩阵正交矩阵例例4.3 将下列向量组单位正交化将下列向量组单位正交化解解 正交化正交化,11 令令.)1 , 0 , 0 , 1(,)0 , 1 , 0 , 1(,)0 , 0 , 1 , 1(T3T2T1 1111222),(),( 0011210101 021121222231111333),(),(),(),( 0211610011211001 3111314 正交矩阵正交矩阵单位化单位化,00111 ,0211212 ,3111313 ,001121111 ,021161222 ,3111321333 等等价价的的正正交交组组即即得得与与221,

38、 .,321321等等价价的的单单位位正正交交组组是是与与则则 4 正交矩阵正交矩阵3.3.正交矩阵与正交变换正交矩阵与正交变换定义定义4.6如果如果n阶实方阵阶实方阵A的列向量组是单位正交的列向量组是单位正交向量组，则称向量组，则称A为为正交矩阵正交矩阵.定理定理4.2 n阶实矩阵阶实矩阵A为正交矩阵为正交矩阵 ATA=E.证证 ),(21nA 设设则则),(21TT2T1TnnAA nnnnnn T2T1TT22T21T2T12T11T1为为正正交交矩矩阵阵A.TEAA 4 正交矩阵正交矩阵推论推论4.1 n阶实矩阵阶实矩阵A为正交矩阵为正交矩阵 A-1=AT.性质性质1 A为正交矩阵为正

39、交矩阵 - -A为正交矩阵为正交矩阵 性质性质2 A为正交矩阵为正交矩阵 AT(=A-1)为正交矩阵为正交矩阵性质性质3 A,B为同阶正交矩阵为同阶正交矩阵 AB为正交矩阵为正交矩阵性质性质4 A为正交矩阵为正交矩阵 A=1或或A=-1(逆不成立逆不成立)注注：上述性质根据定理：上述性质根据定理4.2易证成立。易证成立。定义定义4.7 对对n阶实矩阵阶实矩阵A作相似变换作相似变换Q-1AQ，若，若Q为正交矩阵，则变换为正交矩阵，则变换Q-1AQ称为对称为对A的的正交变换正交变换.注注：正交变换：正交变换Q-1AQ可表示为可表示为QTAQ.4 正交矩阵正交矩阵4.4.共轭矩阵共轭矩阵定义定义4.

40、8 称为称为A的的共轭矩阵共轭矩阵，性质性质1性质性质3 性质性质4性质性质6性质性质7注注性质性质1-6依共轭复数性质可证依共轭复数性质可证,性质性质4推出推出性质性质7.的的共共轭轭复复数数，为为设设ijijnmijaaaA ,)( nmija )(则则.A记记作作;)(AA ;BABA );( 为为复复数数kAkkA ; BAAB ;TTAA 性质性质2 性质性质5 ; A ,AA 为为方方阵阵时时; )( 1-1 AAAA可可逆逆且且可可逆逆，则则若若4 正交矩阵正交矩阵本节学习要求本节学习要求1.1.理解实向量的内积与长度、理解实向量的内积与长度、正交向量组、正交向量组、正交正交矩阵

41、与正交变换和共轭矩阵等矩阵与正交变换和共轭矩阵等概念；概念；2. 熟悉熟悉向量的内积与长度、向量的内积与长度、正交矩阵和共轭矩阵正交矩阵和共轭矩阵的性质，掌握其证明方法；的性质，掌握其证明方法；3. 掌握掌握Schmide单位正交化方法。单位正交化方法。作业作业：习题：习题5.4(A) 第第5,8,95,8,9题题5 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 本节教学内容本节教学内容1.1.实对称矩阵的特征值和特征向量的性质实对称矩阵的特征值和特征向量的性质2.2.用用正交变换实现对实对称矩阵的相似对角化正交变换实现对实对称矩阵的相似对角化5 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化1

42、.1.实对称矩阵的特征值和特征向量的性质实对称矩阵的特征值和特征向量的性质定理定理5.1 实对称矩阵的所有特征值都是实数实对称矩阵的所有特征值都是实数.证证 设设 是是实对称矩阵实对称矩阵A的特征值，的特征值， 是是A的对应于的对应于 的特征向量，即的特征向量，即A =,注意到AAAT TT AT T)( A AT TT A)( TT AA 又又)(T T , TT , 0)( T 即即, 0 0 T 知知由由, 0 , 即即.是是实实数数 5 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化推论推论 实对称矩阵实对称矩阵A的特征向量是实向量。的特征向量是实向量。证证 因实对称矩阵因实对称矩阵A的

43、对应于特征值的对应于特征值 的特征向量的特征向量是实齐次线性方程组的解向量，在实数范围内求是实齐次线性方程组的解向量，在实数范围内求解，其解是实向量。解，其解是实向量。5 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化定理定理5.2 实对称矩阵对应于不同的特征值的特征实对称矩阵对应于不同的特征值的特征向量正交向量正交.证证 设设 1, , 2是是实对称矩阵实对称矩阵A的不同特征值，的不同特征值， i是是A的对应于的对应于 i的特征向量，即的特征向量，即A i = i i，i =1,2，则则2T11)( 2T11 2T12T1)( AA )( 2T12T1 AA 又又)(22T1 2T12 ,2T122T11 , 0)( 2T121 即即, 0 , 2T121 ., 21正正交交即即 5 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化2.2.用用正交变换实现对实对称矩阵的相似对角化正交变换实现对实对称矩阵的相似对角化定理定理3 对于对于n阶阶实对称矩阵实对称矩阵A