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1、最新最全版考研数学公式，奉献给大家高等数学公式篇·平方关系：sin2( )+cos2( )=1tan2( )+1=sec2( )cot2( )+1=csc2( )·积的关系：sin =tan *cos cos =cot *sin tan =sin *sec cot =cos *csc sec =tan *csc csc =sec *cot ·倒数关系：tan · cot =1sin · csc =1cos · sec =1直角三角形ABC 中,角 A 的正弦值就等于角A 的对边比斜边,余弦等于角A 的邻边比斜边正切等于对边比邻边,&#

2、183;三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos( + )=cos · cos-sin· sin cos( - )=cos · cos +sin · sin sin( ± )=sin · cos ± cos · sin tan( + )=(tan +tan -tan)/(1· tan )tan( - )=(tan -tan )/(1+tan· tan )·三角和的三角函数：sin( + + )=sin · cos · cos +cos ·

3、; sin · cos +cos-sin · cossin · sin cos( + + )=cos · cos ·-coscos·sin ·-sin · cos ·-sin · sin · cos tan( + + )=(tan +tan -+tan· tan · tan-tan)/(1· tan-tan · tan-tan · tan )·辅助角公式：Asin +Bcos =(A2+B2)(1/2)sin(，+t)其中si

4、nt=B/(A2+B2)(1/2)cost=A/(A2+B2)(1/2)tant=B/AAsin +Bcos =(A2+B2)(1/2)cos(-t)， tant=A/B·倍角公式：sin(2 )=2sin · cos =2/(tan +cot )cos(2 )=cos2( )-sin2( )=2cos2( -)1=1- 2sin2( )tan(2 )=2tan -/1tan2( )·三倍角公式：sin(3 )=3sin -4sin3( )cos(3 )=4cos3( )-3cos ·半角公式：sin( /2)=cos( /2)=tan( /2)=

5、77;-cos(1 )/2)± (1+cos )/2)±-cos(1 )/(1+cos )=sin /(1+cos-cos)=(1 )/sin·降幂公式sin2( )=(1-cos(2 )/2=versin(2 )/2cos2( )=(1+cos(2 )/2=covers(2 )/2tan2( )=(1-cos(2 )/(1+cos(2 )·万能公式：sin =2tan( /2)/1+tan2( /2)cos =1-tan2( /2)/1+tan2( /2)tan =2tan( /2)/1-tan2( /2)·积化和差公式：sin ·

6、 cos =(1/2)sin( +-)+sin() cos · sin =(1/2)sin(-sin(+)-)cos · cos =(1/2)cos( + )+cos(-) sin · sin-(1/2)cos(= +-)cos( - )·和差化积公式：sin +sin =2sin( + )/2cos(-)/2 sin -sin =2cos( + )/2sin(- )/2cos +cos =2cos( + )/2cos(- )/2cos - cos =-2sin( + )/2sin(- )/2·推导公式tan +cot =2/sin2 tan

7、-cot =-2cot2 1+cos2 =2cos2 1- cos2 =2sin2 1+sin =(sin /2+cos /2)2·其他：sin +sin( +2 /n)+sin( +2 *2/n)+sin( +2 *3/n)+sin-1)/n=0+2 *(ncos +cos( +2 /n)+cos( +2 *2/n)+cos( +2 *3/n)+cos -1)/n=0+2*(n 以及sin2( )+sin2( -2 /3)+sin2( +2 /3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0三角函数的角度换算编辑本段 公式一：设 为任意角，终边

8、相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2k ） sin cos （ 2k ） cos tan （ 2k ） tan cot （2k ） cot 公式二：设 为任意角， +的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin （ ） sin cos （ ） cos tan （ ） tan cot （ ） cot 公式三：任意角 与 -的三角函数值之间的关系：sin （ ） sin cos （ ） cos tan （ ） tan cot （ ） cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到-与 的三角函数值之间的关系：sin （ ） sin cos （ ） cos tan （ ） tan cot （ ）

9、 cot 公式五：利用公式一和公式三可以得到2-与 的三角函数值之间的关系：sin （2 ） sin cos （ 2 ） cos tan （ 2） tan cot （2 ） cot 公式六： /2 ±及 3 /2 ±与 的三角函数值之间的关系：sin （ /2 ） cos cos （ /2 ） sin tan （ /2 ） cot cot （ /2 ） tan sin （ /2 ） cos cos （ /2 ） sin tan （ /2 ） cot cot （ /2 ） tan sin （3 /2 ） cos cos （ 3 /2） sin tan （ 3 /2 ） cot

10、 cot （3 /2 ） tan sin （3 /2 ） cos cos （ 3 /2） sin tan （ 3 /2 ） cot cot （3 /2 ） tan (以上 k Z)部分高等内容编辑本段 ·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i) cosx=e(ix)+e(-ix)/2 tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix)泰勒展开有无穷级数， ez=exp(z) 1 z/1！ z2/2 ！ z3/3 ！ z4/4 ！ zn/n ！此时三角函数定义域已推广至整个复数集。·三角函数作为微分方程的解：对

11、于微分方程组y=-y''y=y'''' ，有通解Q, 可证明Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数 双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。特殊三角函数值a 0 30 45 60 90sina 0 1/2 2/2 3/2 1cosa 1 3/2 2/2 1/20tana 03/3 1 3 Nonecota None 31 3/30导数公式：(tgx)sec2x(arcsin x)11x2(ctgx)csc2 x(arccos x)1(secx)secx tgx

12、1 x2(cscx)cscx ctgx( arctgx )1(a x )a x ln a1x2(log a x)1( arcctgx )11x2x ln a基本积分表：tgxdxln cosxCdx2tgxCcos2 xsec xdxctgxdxln sin xCdx2secxdxln secxtgxCsin 2 xcscxdxctgxCcscxdxln cscxctgxCsecx tgxdxsecxCdx1xcscxctgxdxcscx Ca2x2a arctgaCa xdxa xCdx1xaCln ax2a22alnashxdxchxCxdx1 ln axCchxdxshxCa2x22aa

13、xdxarcsin xCdxa2ln( xx2a 2 )Ca2x2ax 222n1 I nI nsin nxdxcosn xdx200nx2a2 dxxx2a2a2ln( xx2a2 )C22x2a2dxxx2a2a 2ln xx2a2C22a 2x2 dxxa2x2a2arcsin xC22a三角函数的有理式积分：sin x2u， cos x1u2，utg x ，dx2du1u 21u221u2一些初等函数：两个重要极限：exe x双曲正弦 : shx2exe x双曲余弦 : chx2xshxeelim sin x1三角函数公x 0x式：lim (11) xe·诱导公式：2.718

14、281828459045.x xxxarshxln( xarchxln( xarthx1 ln 121x21）x21)xx函数sincostgctg角 A-sin cos -tg -ctg 90°-cos sin ctg tg 90°+cos -sin -ctg -tg 180°-sin -cos -tg -ctg 180°+-sin -cos tg ctg 270°-cos -sin ctg tg 270°+-cos sin -ctg -tg 360°-sin cos -tg -ctg 360°+sin cos

15、tg ctg ·和差角公式：·和差化积公式：sin()sincoscossinsinsin2sin2cos2cos()coscossinsinsinsin2 cossintg ()tgtg221 tgtgcoscos2coscosctgctg1ctg ()22ctgctgcoscos2 sinsin22·倍角公式：sin 22 sincoscos22cos211 2 sin2cos2sin2sin33sin4 sin3ctg2ctg 21cos34 cos33cos2ctg3tgtg3tg32tg1 3tg 2tg 221 tg·半角公式：sin1 co

16、scos1cos2222tg1cos1 cossinctg1cos1 cossin1cossin1cos1cossin1 cos22·正弦定理：abc2R ·余弦定理： c2a 2b22abcosCsin Asin Bsin C·反三角函数性质：arcsin xarccos xarctgx2arcctgx2高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：(uv)( n )nCnku ( n k ) v(k )k 0u( n) vnu ( n 1) vn(n 1)u (n 2) vn(n1) ( n k1)u( n k)v (k )uv(n )2!k!中值定理与导数应用

17、：拉格朗日中值定理：f (b)f (a)f ()(ba)柯西中值定理： f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()当 F( x) x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式： ds1 y 2 dx,其中 y tg平均曲率：K.: 从 M 点到 M 点，切线斜率的倾角变化量；sM 点的曲率： Klimdy.sds2s0(1y)3直线： K0;半径为 a的圆： K1 .a定积分的近似计算：bba ( y0 y1矩形法： f ( x)yn 1 )anbba 1 ( y0梯形法： f ( x)yn )y1yn 1 an2bb a抛物线法： f ( x)yn )2( y2y4

18、yn 2 ) 4( y1 y3( y0a3ns： MM 弧长。yn 1 )定积分应用相关公式：功： WF s水压力： Fp A引力： Fk m1m2,k为引力系数r 2b函数的平均值： y1f (x)dxba a1b均方根：f 2 (t )dtba a空间解析几何和向量代数：空间 2点的距离： dM1M2(x2x1) 2( y2y1 )2( z2z1 )2向量在轴上的投影： Pr j u ABAB cos ,是 AB与 u轴的夹角。Pr j u (a1a2 )Pr ja1 Pr ja2a b ab cosaxbxay byazbz ,是一个数量 ,两向量之间的夹角： cosaxbxay bya

19、zbzax22222bz2ayazbxbyijkc a baxayaz , cab sin.例：线速度： vwr .bxbybzaxayaz向量的混合积： ab c(ab )cbxbybzabc cos , 为锐角时，cxc ycz代表平行六面体的体积。平面的方程：1、点法式： A( xx0 )B( yy0 )C ( z z0 ) 0，其中 n A, B, C, M 0 (x0 , y0 , z0 )2、一般方程： AxByCzD03、截距世方程： xyz1abc平面外任意一点到该平面的距离： dAx0By0A2B2空间直线的方程： x x0y y0z z0t,其中 smnp二次曲面：Cz0

20、DC 2xx0mt m, n, p; 参数方程： yy0ntzz0pt1、椭球面： x2y2z21a2b2c2、抛物面： x2y 2（同号）22qz,p, q2 p3、双曲面：单叶双曲面： x2y2z21a2b2c 2双叶双曲面： x2y2z2（马鞍面）a2b2c21多元函数微分法及应用全微分： dzz dxz dyduu dxu dyu dzxyxyz全微分的近似计算：zdzf x ( x, y)x f y (x, y)y多元复合函数的求导法 ：zf u(t ), v(t)dzzuzvdtutvtzf u(x, y), v( x, y)zzuzxuxv当u，时，u( x, y)vv( x,

21、y)duu dxu dydvv dxv dyxyxy隐函数的求导公式：隐函数F ( x, y)，dyFx ，d 2 y0dxFydx 2隐函数F ( x, y, z)， zFx ，z0xFzyvx(Fx (Fx)dy)dxxFyy FyFyFzF (x, y,u, v)0(F ,G)FFFuFvJuv隐函数方程组：0(u,v)GGGuGvG(x, y,u, v)uvu1(F,G)v1(F ,G)xJ( x, v)xJ(u, x)u1(F,G)v1(F,G)yJ( y,v)yJ(u, y)微分法在几何上的应用：x(t )空间曲线y(t )在点 M (x0 , y0 , z0 )处的切线方程： x

22、x0yy0zz0z(t)(t 0 )(t0 )(t0 )在点 M 处的法平面方程：(t0 )( xx0 )(t0 )( yy0 )(t 0 )( zz0 )0若空间曲线方程为：F ( x, y, z) 0,则切向量 T FyFzFzFx,FxFyG ( x, y, z) 0G y,G yG z G zG x Gx曲面 F ( x, y, z)0上一点 M ( x0 , y0 , z0 )，则：1、过此点的法向量： n Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )2、过此点的切平面方程： Fx ( x0 , y0 , z

23、0 )( xx0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )( yy0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 03、过此点的法线方程：xx0y y0zz0Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )方向导数与梯度：函数zf ( x, y)在一点沿任一方向的方向导数为： ffcosfsinp( x, y)llyx其中 为 轴到方向l的转角。x函数zf ( x, y)在一点的梯度：gradf ( x, y)fifp( x, y)xjy它与方向导数的关系是 ：fgrad f (x, y)，其中ecosisinj

24、，为l方向上的el单位向量。f 是 gradf (x, y)在l上的投影。l多元函数的极值及其求法：设 f x ( x0 , y0 )f y (x0 , y0 )0，令： f xx (x0 , y0 ) A, f xy (x0 , y0 ) B, f yy (x0 , y0 ) CACB2A 0,( x0 , y0 )为极大值0时，B 2A 0,( x0 , y0 )为极小值则： AC0时，无极 值ACB 20时 ,不确定重积分及其应用：f ( x, y)dxdyf (r cos,r sin)rdrdDD22曲面 z f ( x, y)的面积 A1zzdxdyDxyM xx ( x, y)dM

25、 yy ( x, y)d平面薄片的重心：D,yDxM( x, y) dM( x, y)dDD平面薄片的转动惯量：对于 x轴 I xy2( x, y)d,对于 y轴 I yx 2( x, y)dDD平面薄片（位于 xoy平面）对 z轴上质点 M (0,0, a), (a0)的引力： F Fx , Fy , Fz，其中：( x, y) xdFyf( x, y) yd3，Fzfa( x, y) xdFx f3，3D ( x2y2a 2 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2柱面坐标和球面坐标：xr cos柱面坐标： yr sin ,f ( x, y, z)dxdydzF

26、(r , z) rdrddz,zz其中： F (r ,球面坐标：, z) f (r cos , r sin , z)x r sin cosyr sinsin，dvrdr sinddrr 2 sindrddzr cos2r (, )f (x, y, z)dxdydzF ( r , )r 2 sindrddddF (r , )r 2 sindr0001x dv,y1ydv,z1z dv，其中 Mxdv重心： xMMM转动惯量： I x( y 2z2 )dv，I y( x2z2 )dv，I z( x2y2 ) dv曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：设 f (x, y)在 L上连续， L的

27、参数方程为： x(t) ,(t), 则：y(t)f (x, y)dsf (t ),(t )2 (t )2 (t)dt()xt特殊情况：(t )Ly第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：设L 的参数方程为 x(t)，则：y(t )P( x, y)dxQ( x, y)dy P(t ),(t )(t )Q(t ),(t)(t ) dtL两类曲线积分之间的关 系：PdxQdy(P cosQ cos，其中 和 分别为) dsLLL上积分起止点处切向量 的方向角。格林公式：QP格林公式：QPPdx Qdy(x)dxdyPdx Qdy()dxdyDyLDxyL当Py,Qx，即： QP时，得到D的面积：A1xdy ydxxy2dxdyD2 L平面上曲线积分与路径 无关的条件：·、是一个单连通区域；1 G2、 P( x, y)， Q( x, y)在 G内具有一阶连续偏导数 ，且Q P 。注意奇点，如 (0,0)，应xy减去对此奇点的积分， 注意方向相反！·二元函数的全微分求积 ：在 Q P 时， Pdx Qdy才是二元函数 u(x, y)的全微分，其中：x y( x, y