基桩内力和位移计算

1、1 基桩内力和位移计算基桩内力和位移计算 一、一、基本概念基本概念二、二、mm法弹性单排桩基桩内力和位移计算法弹性单排桩基桩内力和位移计算三、三、mm法弹性多排桩基桩内力与位移计算法弹性多排桩基桩内力与位移计算 四、四、基桩自由长度承受土压力时的计算基桩自由长度承受土压力时的计算五、五、低桩承台考虑桩一土一承台共同作用低桩承台考虑桩一土一承台共同作用的计算的计算 back2一、基本概念一、基本概念( (一一) )土的弹性抗力及其分布规律土的弹性抗力及其分布规律 ( (二二) )单桩、单排桩与多排桩单桩、单排桩与多排桩( (三三) )桩的计算宽度桩的计算宽度 ( (四四) )刚性桩与弹性桩刚性桩

2、与弹性桩back3( (一一) )土的弹性抗力土的弹性抗力 及其分布规律及其分布规律主要内容：主要内容： 桩和桩侧土共同承受轴向和横轴向外力和力矩桩和桩侧土共同承受轴向和横轴向外力和力矩时，桩身内力和位移的计算，着重在横向受力时的时，桩身内力和位移的计算，着重在横向受力时的内力与位移计算。内力与位移计算。 桩身内力与位移计算方法很多，常用的有：弹桩身内力与位移计算方法很多，常用的有：弹性地基梁法。性地基梁法。弹性地基梁法：弹性地基梁法： 将桩作为弹性地基上的梁，按文克尔假定将桩作为弹性地基上的梁，按文克尔假定( (梁身梁身任一点的士抗力和该点的位移成正比任一点的士抗力和该点的位移成正比) )的

3、解法。基本的解法。基本概念明确，方法较简单，所得结果一般较安全。弹概念明确，方法较简单，所得结果一般较安全。弹性地基梁的弹性挠曲微分方程的求解方法可用数值性地基梁的弹性挠曲微分方程的求解方法可用数值解法、差分法及有限元法。解法、差分法及有限元法。4外荷载外荷载 桩桩 位移位移轴向荷载轴向荷载 竖向位移竖向位移 桩侧摩阻力、桩底抗力桩侧摩阻力、桩底抗力横轴向荷载和力矩横轴向荷载和力矩 水平位移和转角水平位移和转角 桩侧土对桩横向土抗力桩侧土对桩横向土抗力zxzxzxzx 深度深度z z处的横向处的横向(x(x轴向轴向) )土抗力土抗力 作用：抵抗外力和稳定桩基础。作用：抵抗外力和稳定桩基础。取决

4、于：土体性质、桩身刚度、桩的入土深度、取决于：土体性质、桩身刚度、桩的入土深度、桩的截面形状、桩距及荷载等。桩的截面形状、桩距及荷载等。( (一一) )土的弹性抗力土的弹性抗力 及其分布规律及其分布规律5假定土的横向土抗力符合文克尔假定，可表示假定土的横向土抗力符合文克尔假定，可表示为为 zxzx=c cxzxz式中：式中：zxzx 横向土抗力横向土抗力(kn/m2);(kn/m2); c c 地基系数地基系数(kn/m3);(kn/m3); xzxz 深度深度z z处桩的横向位移处桩的横向位移(m)(m)。地基系数地基系数c c：单位面积土在弹性限度内产生单：单位面积土在弹性限度内产生单位变

5、形时所需加的力。位变形时所需加的力。c c值：通过对试桩在不同类别土质及不同深度值：通过对试桩在不同类别土质及不同深度进行实测进行实测zxzx及及xzxz后反算得到。后反算得到。cc土的类别及其性质，深度。土的类别及其性质，深度。( (一一) )土的弹性抗力土的弹性抗力 及其分布规律及其分布规律6采用的采用的c c值随深度的分布规律如下图所示的值随深度的分布规律如下图所示的几种形式，相应产生几种基桩内力和位移几种形式，相应产生几种基桩内力和位移计算的方法，即：计算的方法，即：( (一一) )土的弹性抗力土的弹性抗力 及其分布规律及其分布规律back71. 1. mm法法: : 应用较广并列入应

6、用较广并列入公桥基规公桥基规 , , 假定假定地基系数地基系数c c随深度成正比例地增长，即随深度成正比例地增长，即c=c=mzmz，如图如图a)a)所示。所示。mm称为地基土比例系数称为地基土比例系数(kn/m4)(kn/m4)。2.2.kk法法: : 假定地基系数假定地基系数c c随深度呈折线变化即随深度呈折线变化即在桩身挠曲曲线第一挠曲零点在桩身挠曲曲线第一挠曲零点b(b(如图如图b)b)所示深度所示深度t t处处) )以上地基系数以上地基系数c c随深度增加呈凹形抛物线变随深度增加呈凹形抛物线变化化; ;在第一挠曲零点以下，地基系数在第一挠曲零点以下，地基系数c=c=k(kn/mk(k

7、n/m) )，不再随深度变化而为常数。，不再随深度变化而为常数。3 3cc值值 法法: : 假定地基系数假定地基系数c c随着深度成抛物线规随着深度成抛物线规律增加，即律增加，即c=czc=cz0.50.5，如图如图c) c)所示。所示。c c为地基土比为地基土比例系数例系数(kn/m3)(kn/m3)。4.4.cc法，又称法，又称 张有龄法张有龄法: : 假定地基系数假定地基系数c c沿深沿深度为均匀分布，不随深度而变化，度为均匀分布，不随深度而变化，如图如图d)d)所示。所示。( (一一) )土的弹性抗力土的弹性抗力 及其分布规律及其分布规律back8 ( (二二) )单桩、单排桩与多排桩

8、单桩、单排桩与多排桩计算基桩内力的过程：计算基桩内力的过程： 承台底面的外力（承台底面的外力（nn、h h、mm） 每根桩顶每根桩顶的荷载的荷载pi pi、qiqi、mi mi 各桩在荷载作用下的各截各桩在荷载作用下的各截面的内力与位移。面的内力与位移。单桩、单排桩：单桩、单排桩： 与水平外力与水平外力h h作用面相垂直的平面上，由单作用面相垂直的平面上，由单根或多根桩组成的桩基础。对于单桩来说，上根或多根桩组成的桩基础。对于单桩来说，上部荷载全由它承担。对于单排桩桥墩作纵向验部荷载全由它承担。对于单排桩桥墩作纵向验算时，若作用于承台底面中心的荷载为算时，若作用于承台底面中心的荷载为nn、h

9、h、mymy，当，当nn在承台横桥向无偏心时，则可以假在承台横桥向无偏心时，则可以假定它是平均分布在各桩上的，即定它是平均分布在各桩上的，即 pi=n/n pi=n/n qiqi= h/n mi=my/n = h/n mi=my/n （3-543-54） 9式中：式中：n=n=桩的根数。当竖向力桩的根数。当竖向力nn在承台横桥向在承台横桥向有偏心距有偏心距e e时，即时，即mxmx=nene因此每根桩上的竖向因此每根桩上的竖向作用力可按偏心受压计算作用力可按偏心受压计算, ,即即 pi=n/n pi=n/n mxmx yi/yi2 (3-55) yi/yi2 (3-55) 由此可知单桩及单排桩

10、中每根桩桩顶作用力由此可知单桩及单排桩中每根桩桩顶作用力可按上述公式计算。此后，即以单桩形式计算可按上述公式计算。此后，即以单桩形式计算桩的内力，所以归成一类。桩的内力，所以归成一类。多排桩：多排桩： 指在水平外力作用平面内有一根以上指在水平外力作用平面内有一根以上的桩的桩基桩的桩的桩基桩( (对单排桩作横桥向验算时也属此对单排桩作横桥向验算时也属此情况情况) )，不能直接应用上述公式计算备桩顶作用，不能直接应用上述公式计算备桩顶作用力，须应用结构力学方法另行计算力，须应用结构力学方法另行计算( (见后述见后述) )，所以另列一类。所以另列一类。 ( (二二) )单桩、单排桩与多排桩单桩、单排

11、桩与多排桩back10( (三三) )桩的计算宽度桩的计算宽度水平外力水平外力 桩桩桩身宽度范围内桩侧土受挤压，桩身宽度以外桩身宽度范围内桩侧土受挤压，桩身宽度以外的一定范围内的土体受影响的一定范围内的土体受影响( (空间受力空间受力) )不同截面形状的桩，土受到的影响范围大小也不同截面形状的桩，土受到的影响范围大小也不同。多排桩间的相互遮蔽不同。多排桩间的相互遮蔽桩的计算宽度：桩的计算宽度： 为了将空间受力简化为平面受力，并综合考虑为了将空间受力简化为平面受力，并综合考虑桩的截面形状及多排桩间的相互遮蔽作用，将桩的截面形状及多排桩间的相互遮蔽作用，将桩的设计宽度桩的设计宽度( (直径直径)

12、)换算成相当实际工作条件换算成相当实际工作条件下，矩形截面桩的宽度下，矩形截面桩的宽度b b1 1。 b b1 1= = k kf f k k0 0 k k b(db(d) (3-56) (3-56)11式中：式中：b(db(d) ) 外力外力h h作用方向相垂直平面上桩的宽作用方向相垂直平面上桩的宽度度( (或直径或直径); );k kf f 形状换算系数。即在受力方向将各种不同截面形状换算系数。即在受力方向将各种不同截面形状的桩宽度，乘以形状的桩宽度，乘以k kf f 换算为相当于矩形截面宽度换算为相当于矩形截面宽度，其值见表，其值见表3-18;3-18;k k0 0 受力换算系数。即考虑

13、到实际上桩侧土在承受力换算系数。即考虑到实际上桩侧土在承受水平荷载时为空间受力问题，简化为平面受力时受水平荷载时为空间受力问题，简化为平面受力时所给的修正系数，其值见表所给的修正系数，其值见表3-18; 3-18; k k 桩间的相互影响系数。当桩基有承台联结，在桩间的相互影响系数。当桩基有承台联结，在外力作用平面内有数根桩时，各桩间的受力将会相外力作用平面内有数根桩时，各桩间的受力将会相互产生影响，其影响与桩间的净距互产生影响，其影响与桩间的净距l l1 1的大小有关。的大小有关。( (三三) )桩的计算宽度桩的计算宽度back12弹性桩：弹性桩： 当桩的入土深度当桩的入土深度h2.5/h2

14、.5/时桩的相对刚度小，时桩的相对刚度小，必须考虑桩的实际刚度，按弹性桩来计算。必须考虑桩的实际刚度，按弹性桩来计算。刚性桩：刚性桩： 当桩的入土深度当桩的入土深度h2.5/h2.5/时，则桩的相对刚度时，则桩的相对刚度较大，计算时认为属刚性桩，后面介绍的沉井较大，计算时认为属刚性桩，后面介绍的沉井基础也可看作刚性桩基础也可看作刚性桩( (构件构件) )，其内力位移计算，其内力位移计算万法见本书第四章万法见本书第四章( (四四) )刚性刚性桩与弹性桩桩与弹性桩back13二、二、“m”“m”法弹性单排桩基桩法弹性单排桩基桩内力和位移计算内力和位移计算弹性地基梁弹性地基梁mm法的基本假定：法的基

15、本假定：1 1） 认为桩侧土为温克尔离散线性弹簧认为桩侧土为温克尔离散线性弹簧2 2） 不考虑桩土之间的粘着力和摩阻力不考虑桩土之间的粘着力和摩阻力3 3） 桩作为弹性构件考虑桩作为弹性构件考虑4 4） 当桩受到水平外力作用后，桩土协调变形当桩受到水平外力作用后，桩土协调变形5 5） 任一深度任一深度z z处所产生的桩侧土水平抗力与该处所产生的桩侧土水平抗力与该点水平位移点水平位移xzxz成正比即成正比即zxzx=cxzcxz，且地基系，且地基系数数c c随深度成正比增长即随深度成正比增长即c=c=mzmz。14力和位移的符号规定：取下图所示的坐标系统力和位移的符号规定：取下图所示的坐标系统对

16、横向位移顺对横向位移顺x x轴正方向为正值；转角逆时针方轴正方向为正值；转角逆时针方向为正值；弯矩左侧纤维受拉为正；横向力顺向为正值；弯矩左侧纤维受拉为正；横向力顺x x轴正方向为正值轴正方向为正值 。二、二、“m”“m”法弹性单排桩基桩法弹性单排桩基桩内力和位移计算内力和位移计算back15二、二、“m”“m”法弹性单法弹性单排桩排桩 基桩内力和位基桩内力和位移计算移计算( (一一) )桩的挠曲微分方程的建立及其解桩的挠曲微分方程的建立及其解 ( (二二) )桩身在地面以下任一深度处内力及位桩身在地面以下任一深度处内力及位移的简捷方法移的简捷方法( (无量纲法无量纲法) )( (三三) )桩

17、身最大弯矩位置桩身最大弯矩位置( (四四) )桩顶位移的计算公式桩顶位移的计算公式 ( (五五) )单桩、单排桩计算步骤及验算要求单桩、单排桩计算步骤及验算要求 back16 已知：已知： (z=0) (z=0) ； 桩顶与地面平齐；桩顶与地面平齐；桩顶作用有水平荷载桩顶作用有水平荷载qq0 0及弯矩及弯矩mm0 0；此时桩将发生弹性挠曲，桩侧土将产生横向抗力的此时桩将发生弹性挠曲，桩侧土将产生横向抗力的zxzx，如下图所示。，如下图所示。 ( (一一) )桩的挠曲微分方桩的挠曲微分方 程的建立及其解程的建立及其解17 从材料力学中知道，梁轴的挠度与梁上分布荷从材料力学中知道，梁轴的挠度与梁上

18、分布荷载载q q之间的关系式，即梁的挠曲微分方程为：之间的关系式，即梁的挠曲微分方程为： 式中式中:e:ei i 梁的弹性模量及截面惯矩。梁的弹性模量及截面惯矩。在深度在深度z z处，处，q=q=zxzxb b1 1，而，而zxzx=c cxzxz；c=c=mzmz (3-50) (3-50) (3-51)(3-51) ( (一一) )桩的挠曲微分方桩的挠曲微分方 程的建立及其解程的建立及其解18 (3-52) (3-52)n=1n=1则：则： (3-55)(3-55)式中：式中：状的变形系数；状的变形系数；当当z=0z=0， x x0 0, , 0 0 , m , m0 0, q, q0 0

19、 可表示如下：可表示如下： 令：令： ( (一一) )桩的挠曲微分方桩的挠曲微分方 程的建立及其解程的建立及其解19通过计算可得通过计算可得z z处桩的横向位移：处桩的横向位移： (3-68)(3-68)由此得到桩轴线挠曲方程：由此得到桩轴线挠曲方程： (3-69)(3-69)由基本假定由基本假定zxzx=c cxzxz=mzxmzxz z, , 将将3-693-69代入此式在代入此式在深度深度z z 处桩侧向应力：处桩侧向应力： (3-70)(3-70) ( (一一) )桩的挠曲微分方桩的挠曲微分方 程的建立及其解程的建立及其解20式中：式中： ( (一一) )桩的挠曲微分方桩的挠曲微分方

20、程的建立及其解程的建立及其解21 ( (一一) )桩的挠曲微分方桩的挠曲微分方 程的建立及其解程的建立及其解1 1摩擦桩、柱承桩摩擦桩、柱承桩x x0 0、0 0的计算的计算2 2嵌岩桩嵌岩桩x x0 0、0 0的计算的计算 back22 1 1摩擦桩、柱承桩摩擦桩、柱承桩 x x0 0、0 0的计算的计算 摩擦桩、柱承桩在外荷作用下，桩底将摩擦桩、柱承桩在外荷作用下，桩底将产生位移产生位移x xh h、h h。当桩底产生转角位移。当桩底产生转角位移h h时，桩底的土抗力情况如右图所示，与之时，桩底的土抗力情况如右图所示，与之相应的桩底弯矩值相应的桩底弯矩值mmh h为为 = - = -h h

21、c c0 0i i0 0式中：式中：a a0 0 桩底面积桩底面积; i i0 0 桩对其重心轴的惯性矩桩对其重心轴的惯性矩; ; c c0 0 基底土的竖向地基系数基底土的竖向地基系数 c c0 0 =m =m0 0h h23 这是一个边界条件这是一个边界条件; ;此外由于忽略桩与桩底土之间此外由于忽略桩与桩底土之间的摩阻力，所以认为的摩阻力，所以认为qqh h=0=0，这为另一个边界条件。，这为另一个边界条件。 将将mmh h=-=-h hc c0 0i i0 0 及及qqh h=0=0分别代代入分别代代入(3-63)(3-63)、(3-64)(3-64)中得：中得： 解以上联立方程，并令

22、解以上联立方程，并令c c0 0i i0 0/ei=/ei=k kh h则得：则得： 1 1摩擦桩、柱承桩摩擦桩、柱承桩 x x0 0、0 0的计算的计算24 1 1摩擦桩、柱承桩摩擦桩、柱承桩 x x0 0、0 0的计算的计算根据分析，摩擦桩根据分析，摩擦桩h2.5h2.5或支承桩或支承桩h3.5h3.5时，时，mmh h几乎为零，且此时几乎为零，且此时k kh h对对a ax x0 0、b bx x0等影响极小，可以认为等影响极小，可以认为k kh h=0=0，则式，则式(3-66)(3-66)可简化为：可简化为：25 1 1摩擦桩、柱承桩摩擦桩、柱承桩 x x0 0、0 0的计算的计算

23、式中a ax0 x0 b b x0 x0、a a00、b b00均为均为zz的函数，已根据的函数，已根据zz值制值制成表格，可参考成表格，可参考公桥基规公桥基规 back26 2 2嵌岩桩嵌岩桩x x0 0、0 0的计算的计算如果桩底嵌固于末风化岩层内有足够的深度，如果桩底嵌固于末风化岩层内有足够的深度，可根据桩底可根据桩底xhxh、hh等于零这两个边界条件，将等于零这两个边界条件，将式式(3-69)(3-69)、(3-71)(3-71)写成写成 联解得：联解得：27 (3-(3-78)78) a ax0 x00 0 b b x0 x00 0、a a000 0、b b000 0均为均为zz的函

24、数，已根据的函数，已根据zz值值制成表格，可查阅有关规范。大量计算表明，制成表格，可查阅有关规范。大量计算表明，h4.0h4.0时，桩身在地面处的位移时，桩身在地面处的位移x x0 0、转角、转角00与桩底与桩底边界条件无关，因此边界条件无关，因此h4.0h4.0时，嵌岩桩与摩擦桩时，嵌岩桩与摩擦桩( (或或支承桩支承桩) )计算公式均可通用。求得计算公式均可通用。求得x0 x0、00后，便可连后，便可连同已知的同已知的m0m0、q0q0一起代入式一起代入式(3-69)(3-69)、(3-70)(3-70)、(3-73)(3-73)、(3-75)(3-75)及式及式(3- 65)(3- 65)

25、，从而求得桩在地面以下任一深度，从而求得桩在地面以下任一深度的内力、位移及桩侧土抗力。的内力、位移及桩侧土抗力。 2 2嵌岩桩嵌岩桩x x0 0、0 0的计算的计算back28（二）桩身在地面以下任一深度处（二）桩身在地面以下任一深度处内力及位移的简捷方法内力及位移的简捷方法( (无量纲法无量纲法) )按上述方法，用基本公式按上述方法，用基本公式(3-69)(3-69)、(3-71)(3-71)、(3-(3-73)73)、(3-75)(3-75)计算计算x xz z、z z、mmz z，、，、qqz z，其计算，其计算工作量相当繁重。当桩的支承条件及入土深度工作量相当繁重。当桩的支承条件及入土

26、深度符合一定要求，可用比较简捷的方法来计算，符合一定要求，可用比较简捷的方法来计算，即无须计算桩预处的位移即无须计算桩预处的位移x x0 0、0 0而直接由已知而直接由已知的的mmz z、qqz z求得。求得。 291 1 对于对于hh2.52.5的摩擦桩、的摩擦桩、hh3.53.5的柱承桩将的柱承桩将式式(3-77)(3-77)代大式代大式(3-69)(3-69)得：得： (3-79a) (3-79a) 式中：式中：ax=(aax=(a1 1axax0 0-b-b1 1a a00+ d+ d1 1); ); b bx x=(a=(a1 1b bx0 x0-b-b1 1b b00+ c+ c1

27、 1) )。（二）（二）桩身在地面以下任一深度处桩身在地面以下任一深度处内力及位移的简捷方法内力及位移的简捷方法( (无量纲法无量纲法) )30同理，将式同理，将式(3-77)(3-77)分别代入式分别代入式(3-71)(3-71)、(3-73)(3-73)、(3-75)(3-75)再经整理归纳即可得再经整理归纳即可得（二）（二）桩身在地面以下任一深度处桩身在地面以下任一深度处内力及位移的简捷方法内力及位移的简捷方法( (无量纲法无量纲法) )312.2. 对于对于hh2.52.5的嵌岩桩，将式的嵌岩桩，将式(3-78)(3-78)分别代分别代入式入式(3-69)(3-69)、(3-71)(3

28、-71)、(3-73)(3-73)、(3-75)(3-75)再经整理再经整理得得 式式(3-69)(3-69)、(3-70)(3-70)即为桩在地面下位移及内力即为桩在地面下位移及内力较简捷的计算公式，较简捷的计算公式，其中其中a ax x. .为无量为无量（二）（二）桩身在地面以下任一深度处桩身在地面以下任一深度处内力及位移的简捷方法内力及位移的简捷方法( (无量纲法无量纲法) )32纲系数，其中纲系数，其中a ax x. .为无量纲系数，均为为无量纲系数，均为hh和和zz的函数，已将其制成表格供查用的函数，已将其制成表格供查用( (见附表见附表1 1一一12)12)。使用时，应根据不同的桩

29、底支承条件，选。使用时，应根据不同的桩底支承条件，选择不同的计算公式，然后按择不同的计算公式，然后按hh和和zz查出相应查出相应的无量纲系数，再将这些系数代入式的无量纲系数，再将这些系数代入式(3-79)(3-79)、(3-80)(3-80)求出所需的未知量。求出所需的未知量。 当当h4h4时，无论桩底支承情况如何，均可时，无论桩底支承情况如何，均可采用式采用式(3-69)(3-69)或式或式(3-70)(3-70)及相应的系数来计算。及相应的系数来计算。其计算结果极为接近。其计算结果极为接近。 由式由式(3-69)(3-69)及及(3-70)(3-70)可较迅速地求得桩身各截可较迅速地求得桩

30、身各截面的水平位移、转角、弯矩、剪力，以及桩侧面的水平位移、转角、弯矩、剪力，以及桩侧土抗力。从而就可验算桩身强度、决定配筋量土抗力。从而就可验算桩身强度、决定配筋量，验算桩侧土抗力及桩上墩台位移等。，验算桩侧土抗力及桩上墩台位移等。（二）（二）桩身在地面以下任一深度处桩身在地面以下任一深度处内力及位移的简捷方法内力及位移的简捷方法( (无量纲法无量纲法) )back33 ( (三三) ) 桩身最大弯矩位置桩身最大弯矩位置 桩身各截面处弯矩桩身各截面处弯矩mmz z的计算，主要是检验的计算，主要是检验桩的截面强度和配筋计算桩的截面强度和配筋计算( (关于配筋的具体计算关于配筋的具体计算方法，见

31、结构设计原理教材内容方法，见结构设计原理教材内容) )。为此要找出。为此要找出弯矩最大的截面所在的位置弯矩最大的截面所在的位置zmzmmaxmax及相应的最及相应的最大弯矩大弯矩mmmaxmax值。一般可将各深度值。一般可将各深度z z处的况值求处的况值求出后绘制出后绘制z zmmz z图，即可从图中求得，也可用图，即可从图中求得，也可用数解法求得如下数解法求得如下: : 在最大弯矩截面处，其剪力在最大弯矩截面处，其剪力qq等于零，因此等于零，因此qqz z=0=0处的截面即为最大弯矩所在的位置处的截面即为最大弯矩所在的位置zmzmmaxmax。 根据（根据（3-693-69）令）令qqz z

32、=q=q0 0a aqq+m+m0 0b bqq=0=034 (3-71) (3-71) 式中式中c cqq及及d dqq也为与也为与zz有关的系数，当有关的系数，当h4.0h4.0时，可按附表时，可按附表3-133-13采用。采用。c cqq或或d dqq值从值从式式(3-71)(3-71)求得后即可从附表求得后即可从附表1313中求得相应的中求得相应的zz值，因为值，因为已知，所以最大弯矩所在的位已知，所以最大弯矩所在的位z=z=zmzmmaxmax值即可求得。值即可求得。由（由（3-713-71）得：）得： ( (三三) ) 桩身最大弯矩位置桩身最大弯矩位置 35 ( (三三) ) 桩身

33、最大弯矩位置桩身最大弯矩位置 （3-723-72）将（将（3-723-72）代入（）代入（3-69c3-69c）得：）得： (3-73) (3-73)式中：式中：k kmm=a ammd dqq+b+bmm； k kqq=a amm+b+bmmc cqq 36 由上式可知由上式可知k kmm与与k kqq为为zz的函数，由于附的函数，由于附表表1313是按是按h4.0h4.0编制的，当编制的，当hh4.04.0时，可时，可根据最大弯矩所在的位置根据最大弯矩所在的位置zmzmmaxmax得到得到zmzmmaxmax值，再从附表值，再从附表1313得得k kmm或或k kqq，然后代入式，然后代入

34、式(3-87)(3-87)之一即可得到之一即可得到mmmaxmax值，当值，当hh4.02.52.5的摩擦桩；的摩擦桩；h2.5h2.5的柱承桩；的柱承桩；h4h4的嵌岩桩。对于的嵌岩桩。对于2.5h 42.5h 4的嵌岩桩另有表格的嵌岩桩另有表格，可在有关设计手册中查用。，可在有关设计手册中查用。 ( (一一) )计算公式及其推导计算公式及其推导 633 3a a0 0、b b0 0、0 0的计算的计算 a a0 0、b b0 0、0 0可按结构力学的位移法求得。可按结构力学的位移法求得。沿承台底面取隔离体沿承台底面取隔离体; ;如下图所示，考虑作用力如下图所示，考虑作用力的平衡，即：的平衡

35、，即： ( (一一) )计算公式及其推导计算公式及其推导 64 可列出位移法的典型方程如下可列出位移法的典型方程如下: : (3-86) (3-86) 式中：式中：baba、aaaa九个系数为桩群刚度九个系数为桩群刚度系数，系数， 即当承台产生单位横轴向位移时（即当承台产生单位横轴向位移时（a a0 0=1=1），），所有桩顶对承台作用的竖轴向反力之和、横轴所有桩顶对承台作用的竖轴向反力之和、横轴向反力之和及反弯矩之和为向反力之和及反弯矩之和为baba、aaaa、aa ( (一一) )计算公式及其推导计算公式及其推导 65 (3-87) (3-87) 式中：式中：n n表示桩的根数。表示桩的根

36、数。 承台产生单位竖向位移时承台产生单位竖向位移时(b(b0 0=1)=1)所有桩顶对承所有桩顶对承台作用的竖轴向反力之和、横轴向反力之和及反台作用的竖轴向反力之和、横轴向反力之和及反弯矩之和为弯矩之和为bbbb、abab、bb。 ( (一一) )计算公式及其推导计算公式及其推导 66 (3-88) (3-88) 承台绕坐标原点产生单位转角时承台绕坐标原点产生单位转角时(0 0=1)=1)所有桩所有桩顶对承台作用的竖轴向反力之和、横轴向反力顶对承台作用的竖轴向反力之和、横轴向反力之和及反弯矩之和为之和及反弯矩之和为bb、aa、 ( (一一) )计算公式及其推导计算公式及其推导 67 (3-89

37、) (3-89) 联解式（联解式（3-863-86）可得承台位移）可得承台位移a a0 0、b b0 0、0 0： 求得求得a a0 0、b b0 0、0 0及及1 1、2 2、3 3、4 4后，可后，可一并代入式一并代入式(3-80)(3-80)即可求出各桩桩顶所受作用力即可求出各桩桩顶所受作用力p pi i、qqi i、mmi i值，然后则可按单桩来计算桩身内力值，然后则可按单桩来计算桩身内力与位移。与位移。 ( (一一) )计算公式及其推导计算公式及其推导 back68( (二二) )竖直对称多排桩的计算竖直对称多排桩的计算 上面讨论的桩可以是斜的，也可以是直的。目前上面讨论的桩可以是斜

38、的，也可以是直的。目前钻孔灌注桩常采用全部为竖直桩，且设置成对称钻孔灌注桩常采用全部为竖直桩，且设置成对称型，这样计算就可简化。将坐标原点设于承台底型，这样计算就可简化。将坐标原点设于承台底面竖向对称轴上，此时面竖向对称轴上，此时abab=baba=bb=bb=0=0，代入式，代入式(3-86)(3-86)可得可得 （3-903-90） （3-913-91） 69 （3-923-92） 当桩基中各桩直径相同时：当桩基中各桩直径相同时： （3-933-93） （3-943-94） ( (二二) )竖直对称多排桩的计算竖直对称多排桩的计算 70 （3-953-95） 因为桩均为竖直且对称，式因为桩

39、均为竖直且对称，式(3-80)(3-80)可写成可写成 （3-963-96） 求得桩顶作用力，桩身任一截面内力与位移可按前述求得桩顶作用力，桩身任一截面内力与位移可按前述单桩计算方法计算。单桩计算方法计算。 ( (二二) )竖直对称多排桩的计算竖直对称多排桩的计算 back71 四、基桩自由长度承受四、基桩自由长度承受 土压力时的计算土压力时的计算 如下图所示这种桥台图式，应考虑桥头路堤填如下图所示这种桥台图式，应考虑桥头路堤填土直接作用于露出地面段桩身土直接作用于露出地面段桩身l l0 0上的土压力影响上的土压力影响，除此之外，它基本上与前述形式的高桩承台，除此之外，它基本上与前述形式的高桩

40、承台桩基础的受力情况一样。桩基础的受力情况一样。72四、四、基桩自由长度承受基桩自由长度承受 土压力时的计算土压力时的计算 因此，同样可应用式因此，同样可应用式(3-86)(3-86)来计算各桩的受力来计算各桩的受力值，而不同之处仅是式中外力这一顶多了路堤填土值，而不同之处仅是式中外力这一顶多了路堤填土土压力及其引起的弯矩，式土压力及其引起的弯矩，式(3-86)(3-86)可改用下式来表达可改用下式来表达 （3-973-97）73式中：式中：mmq q、qqq q 由于土压力作用于由于土压力作用于桩身露出段桩身露出段l l0 0上而在桩顶上而在桩顶( (即承台与即承台与桩联结处桩联结处) )产

41、生的弯矩与剪力，如左产生的弯矩与剪力，如左图所示各值均为正值；图所示各值均为正值；nn第第i i排桩承受侧向土压力的桩排桩承受侧向土压力的桩数数mmq q、qqq q的计算：的计算： 认为桩顶与承合为刚性联结，下端认为桩顶与承合为刚性联结，下端与上的联结为弹性嵌固。与上的联结为弹性嵌固。四、四、基桩自由长度承受基桩自由长度承受 土压力时的计算土压力时的计算 74 如下图所示，按力学原理则：如下图所示，按力学原理则： （3-983-98） 式中：式中：q q1 1、q q2 2桩顶桩顶及地面处作用土压及地面处作用土压力值。由右图力值。由右图c) c)按按材料力学变位计算材料力学变位计算及将式及将

42、式(3-98)(3-98)代入代入可得：可得： 四、四、基桩自由长度承受基桩自由长度承受 土压力时的计算土压力时的计算 75 （3-993-99） 桩在地面以下部分，由于地面处作用桩在地面以下部分，由于地面处作用mml0l0、qql0l0，则地面处桩的位移根据式，则地面处桩的位移根据式(3-69a)(3-69a)、(3-69b) (3-69b) 为：为： 四、四、基桩自由长度承受基桩自由长度承受 土压力时的计算土压力时的计算 76 （3-1003-100）由于变形连续条件，将式由于变形连续条件，将式(3-99)(3-99)代入式代入式(3-100)(3-100)可得：可得： （3-1013-101） 四、四、基桩自由长度承受基桩自由长度承受 土压力时的计算土压力时的计算 77联解式联解式(3-98)(3-98)和式和式(3-101)(3-101)即可得即可得mml0l0、qql0l0、mmq q、qqq q，将这些数据代入式，将这些数据代入式(3-97)(3-97)，并利用式，并利用式(3-(3-87)87)、(3-88)(3-88)、(3-89)(3-89)便可解出各桩顶便可解出各桩顶( (与承台联与承台联结处结处) )的轴向力的轴向力pi pi、横轴向力、横轴向力qqi i和弯矩和弯矩mmi i；对于；对于直接承受