2022年初三《圆》知识点及定理

1、圆知识点及定理一、圆的概念集合形式的概念： 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充 ） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线） ； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行

2、线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点c在圆内；2、点在圆上dr点b在圆上；3、点在圆外dr点a在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；drd=rrd四、圆与圆的位置关系外离（图1）无交点drr；外切（图 2）有一个交点drr；相交（图 3）有两个交点rrdrr；内切（图 4）有一个交点drr；内含（图 5）无交点drr；图1rrd五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂

3、直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理， 简称 2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3 个结论，即：ab是直径abcdcede 弧bc弧bd弧ac弧ad中任意 2 个条件推出其他3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在o中，abcd弧ac弧bd六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1 推 3 定理，即上述四个结论中，图3rrdrddcbao图2rrd图 4rrd图5rrdoedcbaocdab

4、fedcbao精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - -只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3 个结论，即：aobdoe；abde；ocof；弧ba弧bd七、圆周角定理1、 圆周角定理： 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：aob和acb是弧ab所对的圆心角和圆周角2aobacb2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在o中，c、d都是所对的圆周角cd推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对

5、的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在o中，ab是直径或90c90cab是直径推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在abc中，ocoaobabc是直角三角形或90c注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在o中，四边形abcd是内接四边形180cbad180bddaec九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：mnoa且mn过半径oa外

6、端mn是o的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：pa、pb是的两条切线papbpo平分bpa十一、圆幂定理（1）相交弦定理 ：圆内两弦相交， 交点分得的两条线段的乘积相等。即：在o中，弦ab、cd相交于点p，pa pbpc pd（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直

7、径所成的两条线段的比例中项。即：在o中，直径abcd，2ceae be（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在o中，pa是切线，pb是割线cbaodcbaocbaocbaoedcbanmaopbaopodcbaoedcbadecbpao精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - -2papc pb（4）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在o中，pb、pe是割线pc pb

8、pd pe十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：12o o垂直平分ab。即：1o、2o相交于a、b两点12o o垂直平分ab十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1） 公切线长：12rt o o c 中，22221122abcoooco；（2）外公切线长：2co是半径之差；内公切线长：2co是半径之和。十四、 圆内正多边形的计算（1）正三角形在o中abc是正三角形，有关计算在rt bod中进行：:1:3 :2odbd ob；（2）正四边形同 理 ， 四 边 形 的 有 关 计 算 在r to a e中 进 行 ，:1 : 1 :2o ea e

9、o a：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在rt oab中进行，:1:3: 2ab ob oa.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：180n rl；（2）扇形面积公式：213602n rslrn：圆心角r：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长s：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2sss侧表底=222rhr（2）圆柱的体积：2vr h（2）圆锥侧面展开图（1）sss侧表底=2rrr（2）圆锥的体积：213vr h十六、圆中常见的辅助线1）作半径，利用同圆或等圆的半径相等2）作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明3）作半径

10、和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角5) 作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角6) 遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角7) 遇到切线，作过切点的半径，构造直角bao1o2co2o1badcbaoecbadobaoslbao母线长底面圆周长c1d1dcbab1rrcbao精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - -8)欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1) 若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2) 不知道直线和

11、圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径9)遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点10) 遇到三角形的内心，常作：(1) 内心到三边的垂线；(2) 连结内心和三角形的顶点11) 遇相交两圆，常作：(1) 公共弦； (2) 连心线12) 遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线13) 求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边十七、圆中较特殊的辅助线1)过圆外一点或圆上一点作圆的切线2)将割线、相交弦补充完整3)作辅助圆例 1 如图 23-11 ，ca为 o的切线，切点为a，点 b在 o上，如果 cab 55，那么 aob等于 ( ) a 35b90c 110d120例 2 如果圆柱的底面半径为4cm ，母线长为5cm，那么侧面积等于( ) a b cd 例 3 如图 23-12 ，在半径为4 的 o中， ab 、 cd是两条直径， m为 ob的中点，延长 cm 交 o于 e， 且 emmc， 连结 oe 、 de ，求： em的长例 4 如图 23-13， ab是 o的直径， pb切 o