CH2-1_2随机变量的概念

1、 为了更好的揭示随机现象的规律性并为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律利用数学工具描述其规律, 有必要将随机有必要将随机试验的不同结果数量化。试验的不同结果数量化。例例 电话总机某段时间内接到的电话次数电话总机某段时间内接到的电话次数, 可用一个变量可用一个变量 X 来描述来描述例例 检测检测一件产品可能出现的两个结果一件产品可能出现的两个结果 , 也可以用一个变量来描述也可以用一个变量来描述次品正品,)(X01 2.12.1 随机变量的概念随机变量的概念Ch2-1,2-1例例 投掷两枚硬币，观察落地时朝上一面投掷两枚硬币，观察落地时朝上一面 的情况的情况X() 样本点样本点

2、 正正正正 正反正反 反正反正 反反反反 2 1 1 0X()出现正面的次数出现正面的次数Ch2-1,2-2又例又例 投掷一枚均匀的骰子，观察落地时投掷一枚均匀的骰子，观察落地时朝上一面的点数朝上一面的点数)(Y 点出现点出现点出现点出现点出现点出现665544332211,621616161求出现点数大于求出现点数大于4的概率的概率P( Y 4 )Ch2-1,2-3设设 是随机试验是随机试验E的的样本空间样本空间, 若对若对则称则称 上的单值实函数上的单值实函数 X ( )为为随机变量随机变量随机变量一般用大写英文随机变量一般用大写英文字母字母 X, Y , Z , 或希腊字母或希腊字母 ,

3、 , 表示表示R)(X按一定法则定义定义random variable一一. 随机变量随机变量 r.v.Ch2-1,2-4随机变量随机变量 是是R上的映射上的映射, 此映射具有如下此映射具有如下特点特点 定义域定义域 随机性随机性 X 的全部可能取值是随的全部可能取值是随 机的，互斥且完备的机的，互斥且完备的 概率特性概率特性 X 以一定的概率取某个值或以一定的概率取某个值或 某些值某些值 Ch2-1,2-5引入随机变量后引入随机变量后, , 可用随机变量的等式可用随机变量的等式 或不等式表达随机事件或不等式表达随机事件, 例如例如)100(X 表示事件表示事件“某天某天9点点 10点点 接到

4、电话次数超过接到电话次数超过100次次”A,A,)(A01为事件为事件A 的的示性函数示性函数 随机变量的函数一般也是随机变量随机变量的函数一般也是随机变量 可根据随机事件定义随机变量可根据随机事件定义随机变量 设设 A 为随机事件，则称为随机事件，则称Ch2-1,2-6 在同一个样本空间可以同时定义多个在同一个样本空间可以同时定义多个 随机变量随机变量, 例如例如 = 儿童的发育情况儿童的发育情况 X( ) 身高身高,Y( ) 体重体重,Z( ) 头围头围.各随机变量之间可能有一定的关系各随机变量之间可能有一定的关系, 也可也可能没有关系能没有关系 即即 相互独立相互独立Ch2-1,2-7离

5、散型离散型非离散型非离散型随机变量随机变量分分 类类 其中一种重要的类型为其中一种重要的类型为 连续型随机变量连续型随机变量 引引 入入随机变量随机变量重要意义重要意义 任何随机现象可任何随机现象可 被随机变量描述被随机变量描述 借助微积分方法借助微积分方法 将进行讨论将进行讨论Ch2-1,2-8 2.2 离散型随机变量离散型随机变量定义定义 若随机变量若随机变量 X 的可能取值是的可能取值是有限有限或可列个或可列个, 则称则称 X 为为离散型离散型r.v.描述描述X 的概率特性的概率特性, 2 , 1,)(kpxXPkkX kxxx21P kppp21或或一一. 离散型离散型 r.v. 及分

6、布律及分布律概率分布律概率分布律Ch2-1,2-9(1), 2 , 1, 0kpk非负性(2) 11kkp规范性X 或kxxx21kppp21)bXa(P)BX(Pbxakbxakkkp)xX(PBxkkp分布律的性质分布律的性质用分布律求概率用分布律求概率分布律能完整刻画分布律能完整刻画r.vr.v. .的概率分布的概率分布Ch2-1,2-10练练2-2-12-2-1 练习册练习册P16 一一.2解解X P -1 0 1a 2a 3aa=1/6求求 P（0X3） P（0X3）= P(X=1)=0.5Ch2-1,2-11例例2-2-1 2-2-1 练习册练习册P16 P16 一一.3.3某批电

7、子元件的正品率0.8,现对这批元件进行测试,只要测得一个正品就停止工作,求测试次数X 的概率分布律.解解,k21,.)kX(Pk80201Ch2-1,2-12例例2-2-2 2-2-2 练习册练习册P16 P16 一一.1.1抛掷一枚不均匀硬币，直到正反面都出现为止，设随机变量X为抛掷硬币次数。出现正面的概率p,求X的概率分布律。解解11)(kkqppqkXP1, 3 , 2qpkCh2-1,2-13(1) (1) 0 1 0 1 分布分布 X 0 1P q p0 p,q 1 p+q=11011,k,qpC)kX(Pkkk注注 其分布律可写成其分布律可写成 凡试验只有两个可能的结果，常用凡试验

8、只有两个可能的结果，常用应用场合应用场合0 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统分布描述，如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.二二. 常见的离散型常见的离散型r.v.的分布的分布Ch2-1,2-14(2) (2) 二项分布二项分布n , ,k,qpC)kX(Pknkkn10则称则称 X 服从参数为服从参数为n, p 的的二项分布二项分布，记作，记作),(pnBX01 分布是分布是 n = 1 的二项分布的二项分布证证nkknkknqpC0binomial distribution,qp,q ,p110n)qp(1二项展开式二

9、项展开式Ch2-1,2-15二项分布的取值情况二项分布的取值情况设), 8(31BX.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .00000 1 2 3 4 5 6 7 8 8 , 1 , 0,)1 ()()()(8313188kCkXPkPkkk0.273由图表可见 , 当 时，32或k分布取得最大值273. 0)3()2(88 PP此时的 称为X的最可能取值kxP012345678Ch2-1,2-1624680.050.10.150.20.25Ch2-1,2-17设)2 . 0 ,20( BX.01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .0

10、6 .02 .01 .002 250012) )=P(X15)15025002500998000201151kkkk.C)X(P因因np=25000.002=5不大，故可用泊松近似不大，故可用泊松近似P(亏本亏本)=P(X15)0000680516516.e!k)kX(PkkkCh2-1,2-30)p(GX,k ,)m(m)kX(Pk211111(5) (5) 几何分布几何分布110211qp,q ,p,k,pq)kX(Pk例例2-2-42-2-4 醉汉开门醉汉开门 某人有一串某人有一串m把外形相同的把外形相同的钥匙，只有一把能开门。有一天此人酒醉，下意钥匙，只有一把能开门。有一天此人酒醉，下意识地每次从识地每次从m把钥匙中随便拿一只去开门，问此把钥匙中随便拿一只去开门，问此人在第人在第k 次打开门的概率。次打开门的概率。解解 设设X表示打开门时所取钥匙的次数表示打开门时所取钥匙的次数,则则)m(GX1证证11kkpqgeo