必修5第一章正弦定理和余弦定理知识点及典型例题

1、正弦定理和余弦定理（教师版）要点梳理1.正弦定理abc2Rsin Asin Bsin C其中R是 三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为:(1) a : b : c = sin A : sin B : sin C ;(2) a = 2Rsin A , b = 2Rsin B , c= 2Rsin C ;(3) sin A =总,sin B = g, sin C =招等形式，以解决不同的三角形问题.2R2R2R2三角形面积公式111abc iSA ABC = absin C = bcsin A = acsin B = 示 =?(a + b + c) r(r是三角形内切圆的半径 )，并可由此计算

2、R、 r.3 .余弦定理:a2= b2+ c22bccos A,b2= a2+ c22accos B, c2= a2+ b22abcos C.余弦定理可以变形为:.2 2 2b c acos A =2bc2 2 2 2 2 2a2c2b2abc,cos B=, cos C=2ac2ab4 .在解三角形时，正弦定理可解决两类问题:（1）已知两角及任一边，求其它边或角；（2）已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况（2）中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题：（1）已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；（2）已知三边问题.基础自测1.在 ABC 中，若 b = 1, c=

3、Q3, C =寸，贝V a =1.2 .已知 ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，若c=Q2，b =6，B = 120 °贝U a =.3. 在 ABC2 中，若 AB = .5，AC = 5，且 cos C = ，则 BC =4 或 5.4. 已知圆的半径为 4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc = 16.2，则三角形的面积为（C ）A. 2 2B. 8 ,2C/.2D.题型分类深度剖析题型一 利用正弦定理求解三角形例 1在厶 ABC中,a=3,b=2,B= 45°.求角A、C和边 c.思维启迪 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解

4、这个三角形，但要注意解的判断. 解：由正弦定理得 熬=sib，总=sd，° sin A = 60。或 A = 120 °当A = 60°时,C= 180° 45° 60°= 75°,c=bsin C = sin B当 A = 120°时，C = 180° 45° 120° = 15°, c= bsin C =倔-任 sin B 2'探究提高(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另

5、一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点, 应引起注意.变式训练1已知a, b, c分别是 ABC的三个内角 A, B, C所对的边，若a= 1, b= 3, A + C= 2B，则解析 / A + C= 2B, B =彳.由正弦定理知sin A = as? B = £3 b 2题型二利用余弦定理求解三角形在厶ABC中，a、b、c分别是角 A、B、C的对边，且cos Bcos Cb2a c(1)求角B的大小；若b= .13, a+ c= 4,求厶ABC的面积.解 (1)由余弦定理知:cos B =a2+ c2 b22aca2+ b2 c2cos C = 2ab将上式代入cos Bc

6、os C2a+ c得:a2+ c2_ b22ab = b2aca2 + b2 c22a+ c整理得：a2 + c2 b2= ac.a2 + c2 b2 cos B =ac2acT B为三角形的内角， B = 2 n. 2 2 2 2 2 2将 b=13, a+ c= 4, B= 3 n 代入 b = a + c 2accos B,得 b = ( a+ c) 2ac 2accos B,. 13= 1612ac 1 2 ,ac= 3.1 SacsinB=3 ,34探究提高(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思

7、想、方程思想在解题过程中的运用变式训练2已知A、B、C ABC的三个内角，其所对的边分别为a、b、c，且 2cos2-+cos A=02(1)求角A的值；(2)若a= 2 .3, b+ c= 4,求厶ABC的面积.2 a1解 (1)由 2cos2+cos A=0，得 1 + cos A + cos A = 0，即 cos A =二.22 0<A<n， A =手(2)由余弦定理得，a2= b2+2bC8S A, A =生则 F=(b+ c)2一 be,又 a = 2晶 b+ c= 4,1有 12= 42 bc，贝U bc = 4,故 SA ABC = ?bcsin A = , 3.题

8、型三正、余弦定理的综合应用例3.在厶ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边 已知2 . 2(sin2 2A sin C)(a b)sin B , ABC外接圆半径为 .2.(1)求角C的大小;(2)求 ABC面积的最大值.(1)t ABC外接圆半径为且 2、2(sin2 A2sin C) (ab)sin B ,(2、, 2sin A)2(2 .2 sinC)2(ab)22sinB, 2理得：a2c (a b)b,即b2 c2ab ,由余弦定理得:cosCa2 b2 c2ab2ab2ab(2) Smax探究提高 在已知关系式中，若既含有边又含有角.通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，

9、再结合正、余弦定理即可求角.变式训练3在厶ABC中，内角A, B , C所对的边长分别是 a, b, c.若c= 2, C = n，且厶ABC的面积为Q3,求a, b的值；3(2)若 sin C + sin(B A)= sin 2A，试判断厶 ABC 的形状.n解/ c= 2, C= n，由余弦定理 c2= a2 + b2 2abcos C 得 a2+ b2 ab= 4.又 ABC 的面积为.3,1a2+ b2 ab = 4,- jabsin C = 3, ab = 4.联立方程组解得 a = 2, b = 2.ab= 4,(2)由 sin C+ sin(B A) = sin 2A，得 sin

10、(A + B)+ sin(B A)= 2sin Acos A,即 2sin Bcos A= 2sin Acos A, cos A (sin A sin B)= 0, cos A = 0 或 sin A sin B = 0,n当cos A= 0时，/ 0<A<n, A = n ABC为直角三角形；当sin A sin B = 0时，得sin B = sin A,由正弦定理得 a= b,即厶ABC为等腰三角形. ABC为等腰三角形或直角三角形.思想方法感悟提高方法与技巧1 正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的重点，利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形

11、状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题.ABC n2 应熟练掌握和运用内角和定理：A + B + C= n, - + + 2 = n中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数.3.正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得 sin2A = sin2B+ sin2C 2sin B sin C cos A,可以进行化简或证明.4 .根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.失误与防范在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时 可能出现一解、两解或无解

12、，所以要进行分类讨论.过关精练、选择题在厶 ABC 中，A = 60 ° a = 4百,b= 42,贝U B 等于(A. 45 或 135 °B. 135°C. 45 °D 以上答案都不对A60 °B. 45或135°C . 120°D. 30 °在ABC 中,bc 20, S abc5/3,ABC的外接圆半径为43，则aA1B . 2C. 3D. 32在ABC 中,已知bV2,c1,B45 ,则a等于()A詬2B.运C. 42 1D. 322uunuuiruuu uuur在ABC中AB2,AC3,BA AC3,则

13、A等于( )A120°B. 60°C. 30°D . 150°在ABC 中,a:b:c3:5:7,则这个三角形的最大角为()A30B.90C. 120D . 60在厶ABC中,已知三边之比a:b: c2:3:4，贝V si nA 2si n B(si n2CA1B2C.2D.1 ABC中，若(3.4.5.6.)7.( )a4 + b4 + c4= 2c2(a2 + b2),则角 C 的度数是ABC中，边a , b,c的对角分别为C,且 A=2B , a -b ,2coSB的形状是三角形a, b, c分别为角A, B , C所对的边，且，3a = 2csin A, sin A sin C则角C=2sin B。则角 B=二、填空题9 .在 ABC 中,已知 2sinAcosB=sinC,那么 ABC10. 在锐角厶ABC中，11. 在厶ABC中，边a,b,c的对角分别为A、B、C,且sin2 A sin