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1、专题十三 推理与证明第三十八讲推理与证明2019 年2019 年8.(2019 全国 I 理 4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底 的长度之比是5 1( 5 10.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如2 2 此此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5 1若某人满2足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是A 165 cm B 175 cm C 185 cm D 190 cm 8 解析 头顶至脖子下端的长度为26cm,说明头顶到咽喉的长度小于26cm,由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚

2、脐的长度之比是5-1 0.6182可得咽喉至肚脐的长度小于26420.618 由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5-1,可得肚脐至足底的长度小2 42+260.618 =110 ,即有该人的身高小于 110 68 178cm ,又肚脐至足底的长度大于105cm,可得头顶至肚脐的长度大于 105X 0.618弋65cm,即该人的身高大于 65+105=170cm综上可得身高在170cm-178cm 之间故选 B 9. (2019 全国 II 理 4) 2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面1软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解

3、决的一个关键技术问 题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥” ,鹊桥沿 着围绕地月拉格朗日L2 点的轨道运行 L2 点是平衡点,位于地月连线的延长线上设地球 质量为 M ,月球质量为M ,地月距离为R, L2 点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和12万有引力定律,r满足方程:M 1 2 M22 M .( ) R r 31设(R r) r R 3 r 3 ,由于 的值很小,因此在近似计算中3 4,则 r 的近似值为53 3 R(1 A) MB 2 R 2M 1 2 M 2RMC 3 1 3M 2 R M 1 2D 3 M R 3M 2 1 M 1 9 解 析 解

4、法 一 ( 直 接 代 换 运 算 )由M 22M 1 2 2 M2 M ,1 (R r) r r M及( ) 31 可 得) R M 2 (1) R M 2 r M ) 3 1 (1 ) 1M 3 R 2 (3 3 )M 23 .(1 3 32 1 r R(15 R 1 1 R 2 2 )2因为(1)2 2 (1)2 M M 3r 3M r M R 3 M 43 ,所以4 2 1 1 r r,5 2 R .(1) 2 2 2 R R ,则:因为3 2 r R 3M 3 1 3M 1 故选 D. r 解法二(由选项结构特征入手),所以 r R , R r 满足方程:M 1 2 M2 2 M*1

5、 ( ) R r 3 所以MM2 1 (R r) 3 3 3 4r 5 R 3 31 1) 2 ,2M 所以R 3 2 故选 D. r R 3M 1 2010-2018 年一、选择题 1 (2018 浙江 )已知1 2 3 4 ln( 1 2 3 ) a , a , a , a 成等比数列,且a a a a2 3 4 a a a 若 1 a ,则 1 1 Aa a , a a 13 2 4 Ba a , a 14 2 a 4 Ca a , a a 1 3 2 4 a a , a a 1 3 2 4 D2 . (2018 北京)设集合 A (x, y)| x y>1,ax y 4, x a

6、y < 2,则A.对任意实数a , (2,1) A C.当且仅当a 0时,(2,1) A B.对任意实数a , (2,1) A D.当且仅当3 a <时,(2,1) A 2 3. (2017新课标H)甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说:你们四人中有2 位优秀, 2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给 丁看甲的成绩看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则 A.乙可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩B. 丁可以知道四人的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩4 ( 2017 浙江)如图,已知正四面体D ABC (所有棱长均相

7、等的三棱锥) , P , Q ,R 分别为 AB , BC , CA 上的点, AP PB , BQ CR 2 QC RA ,分别记二面角 D PR Q ,D PQ R , D QR P 的平面角为 , ,则DAP A < <R B Q CB < < C < < D< <5 (2016 北京 )某学校运动会的立定跳远和30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段下表为 10 名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊 . 学生序号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10立定跳远 (单位: 米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.7

8、61.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳 (单位: 次) 63 a 75 60 63 72 70 a?1 b 65在这 10 名学生中,进入立定跳远决赛的有 8 人,同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决 赛的有 6 人,则A2 号学生进入30 秒跳绳决赛C8 号学生进入30 秒跳绳决赛B5 号学生进入30 秒跳绳决赛D 9 号学生进入30 秒跳绳决赛6. (2015 广东)若集合 E p,q,r,s 0< p s < 4,0<q s <4,0<rs <4 ,且p q r s,用 cardX A.200 , F t,u,v,w 0< t u

9、 < 4,0< v w< 4且t,u,v,w表示集合 X中的元素个数,则card,E cardFD 50 B 150 C 100 7 ( 2014 北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀” “合格” “不合格”三种若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于 乙,则称“学生甲比学生乙成绩好” ,如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好, 并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学生,那么这组学生最多有 A 2 人B 3 人C 4 人D 5 人8 ( 2014 山东) 用反证法证明命题“设a,b 为实数,则方程x3 axb 0 至

10、少有一个实根”5时,要做的假设是3 A.方程x ax b 0没有实根B.方程x3 ax b 0至多有一个实根3 3 C.方程x ax b 0至多有两个实根 D.方程x ax b 0恰好有两个实根9 ( 2011 江西)观察下列各式: 5 3125, 56 15 625 , 57 78125, 5 ,则52011 的末四位数字为 A 3125 10 ( 2010 山东)观察2 B 5625 4 C 0625 3 D 8125 (x ) 2x , (x) 4x, (cos x) sin x,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) f (x) ,记 g(x) 为 f (

11、x) 的导函数,则 g(x) = A f (x) 二、填空题11 (2018 江苏 )已知集合A x | x 2n 1,nN*, B x | x 2n ,nN* 将A U B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 a 记 S 为数列 n a 的前 n 项和,则使得n n B f (x) Cg(x) Dg(x) S a 成立的 n 的最小值为12 n n 1 12 ( 2017 北京)三名工人加工同一种零件, 他们在一天中的工作情况如图所示,其中点 Ai 的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数,点 B 的横、纵坐标分i 别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数, i

12、 =1, 2 , 3 记 Q 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数, 则 Q , Q , Q 中最大的是 i1 2 3 记 p 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则 p , p , p 中最大的i 1 2 3 是13 (2016新课标n )有三张卡片,分别写有 1和2, 1和3, 2和3甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说: “我与乙的卡片上相同的数字不是2” ,乙看了丙的卡 片后说: “我与丙的卡片上相同的数字不是1” ,丙说: “我的卡片上的数字之和不是5” , 则甲的卡片上的数字是14 ( 2016 山东)观察下列等式:2 2 兀(sin4;2 (sin

13、) 3 兀(sin ) ) 3 1 2 4兀(sin ) 2 5 4 2 3 33 兀(sin ) 2 2 25 5 5 兀 2 兀 3 兀(sin ) (sin ) (sin ) 2 2 27 7 72 2兀 3兀2 2 2 3 2兀(sin )6 兀 4 (sin ) 3 4 2; 7 3 8 兀 4;2 (sin ) 9 (sin 9 ) (sin 9 ) (sin 9 ) 3 4 5照此规律,兀(sin 2n 1 ) 2 2兀(sin2n 1 ) 2 3兀(sin2n 1 ) 2 2n兀(sin2 )2n 1 15 ( 2015 陕西)观察下列等式:11 1 2 2 1 1 1 1 1

14、 12 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 12 3 4 5 6 4 5 6据此规律,第 n 个等式可为 616 ( 2015 山东)观察下列各式:C1 4 ;0 0 C3 C3 4 ;0 1 1 C C C5 0 5 1 5 2 4 2 C C C C7 0 7 1 7 2 7 3 4 3照此规律,当 n N* 时,C 0 2n 1 C1 2n 1 C2 2n 1 C n 1 2n 1 17(2014 安徽) 如图, 在等腰直角三角形ABC 中, 斜边 BC2 2 ,过点 A 作 BC 的垂线, 垂足为 A ; 过点 A 作 AC 的垂线, 垂足为 A ; 过点 A 作 AC 的

15、垂线,垂足为1 12 2 1 A ;,依此类推,设 BA a , AA a , A A a ,,AA a ,则 a _ 3 1 1 2 1 2 3 5 6 7 7 A A2 A4B A 1 C A3 18 (2014 福建 )若集合a,b,c,d 1, 2,3, 4, 且下列四个关系:a 1;b 1;c 2 ; d 4 有且只有一个是正确的, 则符合条件的有序数组(a,b,c,d) 的个数是 19 (2014 北京 )顾客请一位工艺师把A 、 B 两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这项任务, 每件原料先由徒弟完成粗加工, 再由工艺师进行精加工完成制作, 两件工艺品都完成后交付顾

16、客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:工序时间原料原料 A 粗加工精加工9 15 原料 B 则最短交货期为6 7 21 个工作日x 20 (2014 陕西 )已知, f (x)1 xx0 ,若 f (x) f (x), f 1 n( ) ( ( ), x f f x n N,则1 n f ( ) 的表达式为 2014 x 21 (2014 陕西 )观察分析下表中的数据:多面体三棱锥五棱锥 立方体面数(F )5 6 6 顶点数 (V ) 6 6 8 棱数 ( E ) 9 10 12猜想一般凸多面体中,F,V , E 所满足的等式是 22 (2013 陕西 )观察下列等式: 12212

17、22 3 2 1 2 3 6 2 2 1 2 3 4 10 2 2 2 2 照此规律 , 第 n 个等式可为23 (2013 湖北 )古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数1, 3, 6,10,,第n个三角形数为1 1 2 2 1记第 n 个 k 边形数为n n n 2 n 2 N n,k k3k 边形数中第 n 个数的表达式: ,以下列出了部分1 1 N n,3 n n三角形数2 2 2正方形数N n n ,4 2 3 1 ,5 五边形数N n n n 2 2 2 六边形数N n n n ,6 2 2 可以推测 N n,k 的表达式,由此计算N 10, 24 24 (201

18、2 陕西)观察下列不等式81 1 2 1 1 2 3 2 13 2 5 , 3 3 1 1 3 2 2 1 12 72 , 4 4 2 照此规律,第五个不等式为 25. (2012 湖南)设 N 2nm N*,n 2),将 N 个数 x1, x2 , xN 依次放入编号为12,N 的 N 个位置,得到排列 P x x x 将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数0 1 2 N 取 出,并 按原顺 序依 次 放 入对应的 前N 2 和 后N 2 个位 置,得 到 排列N P x x 1 1 3xx x N 1 24 x ,将此操作称为C变换,将N P 分成两段,每段1 个数,并2 N 对每段作 C

19、变换,得到个数,并对2 i P ;当 2 剟 i n 2 时,将 P 分成 2i 段,每段2i每段 C 变换,得到 P ,例如,当 N =8 时, P2 x1x5x3x7 x2 x6 x4x8 ,此时 x 位于 P 中i 1 7 2 的第 4 个位置 .( 1)当 N =16 时, x 位于 P 中的第7 2 个位置;个位置 .(2)当N 2n ( n 8)时, x位于P中的第173 4 26 (2011 陕西 )观察下列等式1 = 1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49照此规律,第 n 个等式为 27 (2010 浙江 )设2, ,(2 1 ) (3

20、 1 ) a a x a x a x n n N x171 2 2,将n n 2 3 1 1 ,T 0,T3 4 5 a (0 k n)的最小值记为T ,则T 0,Tk n 1 1 , 5 5 2 3 3 2 T,n 3 2 3 其中 T =_n 28 (2010 福建 )观察下列等式:9 cos2 =2cos2 1; cos4 =8cos4 8 cos2 + 1; cos6 =32 cos6 48cos4 + 18cos2 1; cos8 =128 cos8 256 cos6 + 160cos4 32 cos2 + 1; cos10 = m cos10 1280cos8 + 1120cos6

21、 + n cos4 + p cos21 可以推测, m n p = 三、解答题29 (2018北京)设 n 为正整数,集合A= | (t ,t ,L ,t ),t 1 2 n0,1,k 1,2,L ,n)对k n 于集合 A 中的任意元素(y , y ,L , y ) ,记 M (,)1 2 (x , x ,L , x ) 和1 2 n 1 (x y | x y |) (x y | x y |) L (x y | x y |)1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n 2 (1当) n 3 时, 若 (1,1, 0) ,(0,1,1) , 求 M(,) 和 M (,) 的值;(2)当 n

22、4 时, 设 B 是 A 的子集, 且满足: 对于 B 中的任意元素 , , 当 , 相同时,M (,)是奇数;当 , 不同时, M (,) 是偶数求集合B 中元素个数的最大 值;(3)给定不小于2 的 n ,设 B 是 A 的子集,且满足:对于 B 中的任意两个不同的元素, , M (,) 0 写出一个集合B , 使其元素个数最多, 并说明理由30. (2018江苏)设nN*,对1, 2,n的一个排列i i Li ,如果 当 s t 时,有 i i ,1 2 n s t 则称 (i ,i ) 是排列i i L i 的一个逆序,排列 i i L i 的所有逆序的总个数称为其逆序s t 1 2

23、n 1 2 n 数例如:对1, 2, 3 的一个排列 231,只有两个逆序(2, 1), (3, 1),则排列231的逆序数为2.记f (k)为1, 2,n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数 n(1)求f3 (2), f4 (2)的值;(2)求f (2)(n>5)的表达式(用n表示).n 31 (2017 江苏)对于给定的正整数k ,若数列a 满足a an k 1 n k a 1 a 1 n n a1 a 2ka n k n k n 对任意正整数n (n k) 总成立,则称数列 a是“ P(k) 数列” n (1)证明:等差数列a 是“ P(3激列”;n (2)若数列a 既是“

24、 P(2)数列”,又是“ P(3激列"证明:a 是等差数列n n 32. (2017北京)设a 和8 是两个等差数列,记n n c maxb a n,b a n,b a n (n 1, 2,3,) , n1 1 2 2 n n 其中 maxx1, x2,示(I )若 an n ,xs/x x x这s个数中最大的数.1 , 2 , , s2 1 1, 2 , 3b n ,求 c c c 的值,并证明 c 是等差数列;n n(H)证明:或者对任意正数 M ,存在正整数 m ,当nn m时,n正整数 m ,使得 c ,c ,c,m m 1 m 2 c M ;或者存在n 是等差数列33 (2

25、016 江苏 )记 U 1, 2,L ,100对数列a ( nN* )和U 的子集 T ,若 T,定义nS ; 若0 T1, 2 , , kS a t a t L a 例 如 : T 1, 3, 66 时 , T t 1 2 k T t t L t , 定义S a a a 现设 a ( nN* )是公比为 3 的等比数列,且当 T 2, 4 时, T 1 3 66 n 30 S T (1求数列)a 的通项公式; n(2)对任意正整数 k (1< k <100 ),若T 1,2,L,k,求证:S a ;T k 1(3)设 C U , D U , S > S ,求证: S S C D C C D I2S >D 34 (2016 浙江 )设函数f (x) = x31 1) f (x)> 1 x x ;2, x 0,1证明:3 3 (2)() f x < . 4 2 n n n1 35 (2015 湖北)已知数列a 的各项均为正数,b n(1

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