北师大五年级上数学课外辅导讲义

1、北师大版五年级上数学课外辅导讲义第一单元  小数除法一个数除以小数 一个数除以小数被除数的小数位数比除数少小数除法 小数除以整数 整数部分够商1，整数部分不够商1，用0补有限小数循环小数(纯、混循环小数）不循环小数（有限小数、无限小数）小数分类无限小数四舍五入法（按要求）进一法去尾法 解决问题用连除的方法解决实际问题 “进一法”和“去尾法”在实际问题中的应用据实际情况求商的近似值 小数除法混合运算：和整数除法混合运算顺序相同一、计算小数除法：1、小数除法的意义：小数除法的意义与整数除法的意义相同，是已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。2、小数除以整数的计算方法：（1

2、）按整数除法的方法去除；（2）商的小数点要和被除数的小数点对齐；（3）整数部分不够除，商0，点上小数点；（4）如果有余数,要添0再除。3、除数是小数的计算方法：（1）用商不变定律；（2）按整数除法的方法去除；（3）商的小数点要和被除数的小数点对齐；（4）整数部分不够除，商0，点上小数点；（5）如果有余数，要添0再除。 【注意】人民币兑换：外币×汇率人民币 人民币÷汇率外币。二、小数四则混合运算：计算小数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同。整数的运算定律在小数运算中仍然适用。例如乘法的结合律，交换律，分配律等等。三、求商的近似值：根据要求除到所需保留位数的

3、后一位，再用“四舍五入”法求商的近似值；但有时要根据实际需要，用“进一法”或“去尾法”求商的近似值。四、循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。循环节：循环小数中重复出现的数字。循环小数的一般写法：写两个循环节，点上省略号。 简便写法:写一个循环节，在首位和末位点上循环点。 有限小数：小数位数是有限的小数。小数 纯循环小数（如：） 循环小数 无限小数：小数位数是无限的小数。 混循环小数（如： ）无限不循环小数五、被除数、除数、商的变化规律：被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。除数不变，被除数扩大（或缩小）

4、多少倍，商也扩大（或缩小）多少倍。被除数不变，除数扩大（或缩小）多少倍，商则缩小（或扩大）多少倍。六、小数除法中的比大小：当除数大于1时，商小于被除数。（被除数0） 如：÷当除数小于1时，商大于被除数。（被除数0） 如：÷当除数等于1时，商等于被除数。 如：÷1七、解决问题：根据实际情况取值，算式上用原数,答上最值；五步骤：审，找，列，算，答。1、 做一套衣服用布米，28米长的布最多能做多少套衣服?2、 五（1）班有51人，秋游去划船，每条船只能坐4人，他们一共要租几条船？3、 1、游艺会上有个节目是“吹气球“。买一包气球有200个，用去元。平均每个气球多少元（四

5、舍五入保留两位小数）第一单元测试卷一、填空题。（20分）1、 保留一位小数约是（ ），保留三位小数约是（ ），保留整数约是（ ）。2、在计算÷（ - ）时，应先算（ ）法，再算（ ）法，计算结果是（ ）。3、÷的商的最高位是在（）位上。4、保留两位小数约等于( ),保留整数约等于( )。5、 记作( ), 记作( )。 6、计算小数除法时，商的小数点一定要与( )的小数点对齐。 7、 除数是一位小数的除法,计算时除数和被除数同时扩大( )倍。8、25÷36的商用循环小数的简写形式表示是（ ），保留两位小数约是（ ）。9、在里填上“”、“”、或“=”÷ &

6、#247; 0÷ 10、把一个数的小数点向右移动两位后，得到的数比原来大201，原来的数是（ ）。11、在，5.，5.，5.这五个数中，最大的数是（ ），最小的数是（ ）。12、在（ ）里填上适当的数。÷=( )÷45 ÷= ( ) ÷1222÷ = ( )÷88 ÷= ( )÷8二、判断题。（对的在括号里打“”，错的打“×”。 ）（10分）1、在除数中 ，除不尽时商一定是循环小数。 （ ） 2、÷的商一定小于。 ( )3、1÷7的商是循环小数。 ( )4、一个小数保留一位小

7、数一定比保留两位小数小。 ( )5、÷的商是，余数是3。 （ ）三、选择题。（把正确的答案的序号填在括号里。）（10分） 1、在除法算式中，0不能做（ ）。 a、除数 b、商 c、被除数2、下列各数是循环小数的是（）a、 b、0. c、5115123、除数大于1时，商（ ）被除数。a、大于 b、小于 c、等于4、与的和除，商是多少？列式正确的是（ ）。a、+÷ b、（+）÷ c、÷（+）5、下列算式中，与÷相等的式子是（ ）。a、720÷36 b、72÷ c、÷四、计算题。34分1、口算。（10分）10÷

8、4= ÷= ÷= ÷= ÷2= ÷= ÷ = ÷=÷= ÷=2、竖式计算。（12分）带*的要验算。70÷ = *42÷12= ÷=÷= ÷= *÷= 3、脱式计算。（12分）×××4 （×）÷÷× ÷五、应用题。（1-3题每小题4分，4、5题每小题5分，共22分）1、张阿姨做的一套童装用布，50m最多可以做多少套这样的童装？2、服装厂购买一批布，原来做一件婴儿衣服需要

9、米，可以做720个。后来改进技术每件节约用布米，这批布现在可以做多少个？3、张华带了20元去超市买圆珠笔，毎枝笔元，她一共可以买多少枝？4、小明的爸爸要去欧洲旅游，准备拿6000元人民币去换欧元。你知道这些钱大约可以换多少欧元吗（1欧元兑换人民币元）5、 用一根铁丝正好折成一个长,宽的长方形，如果把这根铁丝拉直，再折成一个等边三角形，这个等边三角形的边长是多少厘米？第一单元：小数除法姓名： 得分： 一、 填一填（24分）1、90分（）小时3小时39分（）小时2、 ÷=( )÷3÷=( )÷( )3、用循环小数的简便记法写作（），保留三位小数是（）。4、在

10、圆圈里填上“”、“”或“”号。3÷5÷ ÷( )÷165、牛奶5角一袋，1元5角可以买（）袋，买7袋需要（）元。6、一个正方形的周长是10分米，它的面积是（）平方分米。7、根据÷2，写出一道乘法算式和一道除法算式。乘法算式：（），除法算式：（）。8、把、按照从小到大的顺序排列（ ）。9、4 ×（ ）134 （ ）÷ 8 10、 一个三位小数精确到百分位取近似值是，这个三位小数最小可能是（ ），最大可能是（ ）。11、÷，商是 时，余数是( )。12、给算式÷4+5×添上小括号，使它们符合下面的运

11、算顺序。 除加乘 算式：（ ）； 加除乘 算式：（ ）。二、 选择题。（把正确答案的序号填在括号里）（5分）1、与÷的商相等的式子是（）。a483÷7b÷7c÷72、两个数相除商是，把被除数和除数同时扩大10倍，商是（）。a b c423、2345.的小数部分第50位上的数字是（）。a3 b4 c54、一根18米长的绳子，对折再对折后，每段长是（）。a9米b6米 c米5、下面除法算式中，a表示大于0的数，商最大的算式是 ( )。 （1）a÷ （2）a÷ （3）a÷ 三、判断题。（对的打上“”，错的打上“×”）（5分

12、）1、把一个小数精确到百分位，也就是保留两位小数。（）2、小数除以小数，商一定是小数。（）3、每套西服用布米，30米布可以做11套这样的西服。（）4、一堆石子60吨，一辆卡车最多能装吨，运完这堆石子需要13趟。（）5、两个数相除的商是，如果被除数不变，除数扩大9倍，那么商是。（ 四、计算题：（共36分）1、 直接写得数（6分）03×÷124÷ × ÷7÷1 ÷32×（）（）×22÷42、 用竖式计。（15分） 483÷ ÷24 × ÷ ÷ 3、选

13、择自己喜欢的方法，计算下面各题。（15分）125÷÷ ×÷× (77+154)÷07÷（）×4 ×（÷×） 五、 解决实际问题（30分）1、一辆汽车2. 5小时行136. 5千米,照这样计算,8小时可行多少千米？2、一只河马的体重是吨，是一头水牛体重的15倍。这只河马比这头水牛重多少吨？ 3、妈妈在菜市场买了千克带鱼，交给售货员11元钱后，找回元。每千克带鱼多少元？4、一间教室长米，宽米，用每块平方米的方砖铺地，需要多少块？5、 两种规格的牙膏的售价情况如下：如果买3支小牙膏，售价是元

14、；如果买4支小牙膏，售价是元。购买哪种牙膏比较合算？ 6、小红和小丽住在同一幢楼的同一个单元，小红家住在四楼，小丽家住在七楼，这一次她们俩以同样的速度回家，小红用了分，小丽应该用多少秒？ 附加题：1、 工程队修一条公路,原计划每天修路千米，20天可以完成。实际只用了15天，实际平均每天多修路多少千米（10分）2、甲、乙两人同时从两地相对出发，甲每分钟行60米，乙每分钟行80米，经过40分钟后，两人还相距360米。（10分） 60 × 40 表示：（ ）；80 × 40 表示：（ ）；（6080）×40 表示：（ ）；（6080）×40360 表示：（ ）

15、；第二单元、倍数与因数(1） 自然数、整数1、自然数的概念：用以计量事物的件数或表示事物次序的数.即用数码0,1,2,3,4,所表示的数 .表示物体个数的数叫自然数,自然数由0开始（包括0）,一个接一个,组成一个无穷的集体. 2、整数的概念：像-2,-1,0,1,2这样的数称为整数.（整数是表示物体个数的数,0表示有0个物体）3、最小的自然数是（ ），（ )最大的自然数。4、我们只在自然数的范围内研究因数和倍（二）因数、倍数如果a×bc（a、b、c是非零自然数），那么a、b是c的因数，c是a、b的倍数。因数和倍数是相互依存的。例题：1、3×9=27，27是_和_倍数，_和_

16、是27的因数2、如果a、b、c是三个不等于零的自然数，那么在a÷b=c中，（ ）和（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）和（ ）的倍数。（三）因数、倍数的性质1、一个数的倍数的个数是无限的。一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 2、一个数的因数的个数是有限的。一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。（四）找因数的方法（注意有序思考，以防遗漏）列乘法算式：例120=1×120=2×60=3×40=4×30=5×24=6×20=8×15=10×12（有序思考，以防遗漏）列除法算式：用这个数除以非零自然数

17、，商是整数而没有余数，除数和商都是这个数的因数。一个数的因数的应用把块月饼装在盒子里，每个盒子装得同样多，有几种装法每种装法各需要几个盒子如果有块月饼呢×××4×12=6×8 47=1×47答；48块月饼有10种装法。每盒1块需要48个盒子，每盒2块需要24个盒子，每盒3块需要16个盒子，每盒4块需要12个盒子，每盒6块需要8个盒子，每盒8块需要6个盒子，每盒12块需要4个盒子，每盒16块需要3个盒子，每盒24块需要2个盒子，每盒48块需要1个盒子。47块月饼有2种装法：每盒1块需要47个盒子，每盒47块需要1个盒子。练习：1、100

18、以内16的倍数有（ ），其中最小的倍数是（ ）。 16的全部因数有（ ），其中最小的因数是（ ），最大的因数是（ ）。2、一个数既是16的倍数，又是16的因数，这个数是（ ）。16=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）3、 一个数最小的一个因数是_，最大的因数是_最小的倍数是_，这个数的倍数的个数是无限的4、 48名学生排队，要求每行的人数相同，可以排成几行有几种排法（每行最少2人）（五）倍数的特征2的倍数的特征：个位上的数字是0，2，4，6，8。 5的倍数的特征：个位上的数字是0或5。 3的倍数的特征：各个数位上的数字之和能被3整除。9的倍数的特征：各

19、个数位上的数字之和能被9整除。练习：1、在下面的横线里填上一个适当的数字（1）既是2的倍数，又是3的倍数 47_2（2）既有因数3，又有因数5 4_1_（3）既是2的倍数，又是5的倍数 529_（4）同时是2、3、5的倍数 7_（5）同时是3、5的倍数 12_5（6）有因数2，同时又是3的倍数 3_82、判断对错（1）一个数既是2的倍数，又是5的倍数，这个数的个位一定是0_ （2）在小于20的自然数中，既是2的倍数又是3的倍数的数有3个_（3）一个三位数各个数位上的数字都相同，这个数一定是3的倍数_（4）15的倍数一定也是3的倍数_（5）3的倍数一定是奇数_3、用0、5、8、4组成三位数：（1

20、）这个三位数有因数2：_（2）这个三位数有因数5：_（3）这个三位数有因数3：_（4）这个三位数既有因数2，又有因数5：_（5）这个三位数既有因数2，又有因数3：_（6）这个三位数既有因数2和5，又有因数3：_4、既有因数2，又有因数3的最小数是（ ）；既有因数2，又有因数5的最小的数是（ ），既有因数3，又有因数5的最小数是（ ）。5、商店运来45个柚子，如果每2个装一袋，能正好装完吗如果每5个装一袋，能正好装完吗如果每3个装一袋，能正好装完吗为什么（六）偶数：在自然数中，能被2整除的数，叫做偶数； 奇数: 不能被2整除的数是奇数。奇数偶数性质：偶数±偶数=偶数 奇数±奇

21、数=偶数 偶数±奇数=奇数 奇数×奇数=奇数 偶数×偶数=偶数 奇数×偶数=偶数练习：1、选出两张数字卡片，按要求组成一个数 3 0 4 5（1） 奇数：_ （2）偶数：_（3）5的倍数：_ （4）3的倍数：_（5）既是2的倍数，又是3的倍数：_ （6）同时是2、3、5的倍数：_2、判断对错（1）圆圆说：“所有的自然数不是奇数就是偶数”_（2）一个自然数不是奇数就是偶数，所以所有的偶数都是合数，所有的奇数都是质数_（3）两个奇数的积可能是奇数，也可能是偶数_（4）1既是奇数也是质数_3、 写出相邻的三个奇数4、 写出相邻的三个偶数5、 （1）有5个连续自

22、然数之和是135，这5个连续自然数是_6、 （2）有5个连续奇数之和是135，这5个连续奇数是_7、 晚上，小明正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了15下开关，这时灯是_着的，如果再按50下，这时灯是_着的（填“开”或“关”）8、 把一张卡片正面朝上放在桌上，翻动20次仍正面朝上_(七)质数、合数1、一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。2、一个数除了1和它本身外还有别的因数，这个数叫作合数。3、判断一个数是质数还是合数，主要看这个数的因数的个数。只有两个因数的数是质数；有两个以上因数的数是合数。4、1既不是质数也不是合数。最小的质数是（ ），最小的合数是（ ）。例题：1、20以内的全部质

23、数有（ ）2、 最小的自然数是（ ），最小的奇数是（ ），最小的偶数是（ ），既是偶数又是质数的数是（ ），最小的质数是（ ），最小的合数是（ ），（ ）既不是质数也不是合数。3、 在括号里填上合适的质数8=（ ）+（ ） 24=（ ）+（ ） 20=（ ）+（ ） 28=（ ）+（ ）4、分一分在17、22、29、7、37、87、93、96、41、58、61、14、57、19中奇数：_偶数：_质数：_合数：_5、王老师的qq号码是一个六位数第一位数：既是偶数又是质数第二位数：是最小的自然数第三位数：是4的倍数，又是4的因数第四位数：既是2的倍数又是3的倍数第五位数：是奇数又是合数第六位数：既

24、是质数，又是奇数，并且是12的因数你知道王老师的qq号码是多少吗？第二单元测试题班别： 姓名： 一、 口算（10分）×4÷×4 ÷÷4 ÷+ ÷ 10× ÷ ÷ ×80二、填空（28分，每空1分）1、在1、-5、2、8、13、-2这些数中，自然数有（ ），整数有（ ），质数有（ ），合数有（ ），奇数有（ ），偶数有（ ）。2、9是27的（     ），又是3的（     ）。3、一个数既是42的因数，又是

25、3的倍数，这个数可以是（        ）。4、15的最小因数是（      ），最大因数是（       ）。5在120的质数中，（     ）是偶数，（     ）是奇数。6要使四位数105，能同时是2和3倍数，里应填数字（     ）。7在435后面写出三个连续的偶数是（  

26、;   ），（     ），（     ）。824所有的因数有（                 ），在这些因数中：奇数有（          ），合数有（          ），

27、质数有（            ），偶数有（            ）。9在自然数120中，哪些数符合下列条件： （1）既是奇数又是合数（            ）。   （2）既是偶数又是质数（       

28、  ）。10两个都是质数的连续自然数是（       ）和（       ）。11一个两位质数，如果调换个位和十位的数字，还是一个质数，这个数是（      ）。12电灯开始是灭的，按1次开关灯亮，按2次开关灯灭。按26次开关灯是（    ）。三、判断题（16分）1、所有的质数都是奇数。       （ &#

29、160;  ）2、最小的质数是1，最小的合数是4。 （    ）3、相邻的两个自然数，一个是奇数，一个是偶数。     （    ）4、一个数的倍数一定比这个数的因数大。 （    ）5、 同时是2和5的倍数的数个位上一定是0。       （    ）6、因为6÷12=，所以6是的倍数。 （ ）7、一个数最大的因数和最小的倍数相等。 （ ）8、一个自然数不是质数就是

30、合数。 （ ）四、选择题(10分)1如果a表示自然数，那么偶数可以表示为（     ）。aa+2       b2a       ca-1      d2a-12用0，3，5，7四个数字，组成最小的奇数是（     ）。a7035      b3057     

31、;c3570     d30753m是合数，m有（      ）个因数。a2         b3        c至少3    d无数4一个两位数，个位上的数既是奇数又是合数，十位上的数既是偶数又是质数，这个数是（     ）。   a24  &#

32、160;     b42        c29       d925最小的质数与最小的合数的积是（     ）。a2         b4         c6      

33、;  d8624的因数有（     ）个。a8      b7      c6    d57正方形的边长是质数，它的面积一定是（     ）。a奇数      b偶数      c合数     d质数8已知两个质数的积是21，这两个质数的和

34、是（     ）。a9         b10        c11      d129一个两位数是5的倍数，两个数位上数字和是6，这样的两位数共有（     ）个。a1         b2     

35、;    c3        d410要在432中的里填上一个数字，使这个四位数能被3整除，有（）种填法。a1         b2         c3        d 4五、基本技能（20分）（一）上边哪些数是下边哪些数的倍数？ 用线连一连。（

36、8分）36 12 45 72 34 57 22 52 8 5 4 6 19 17 13 11 （二）把下列数按要求填入圈内（6分）  18  35  68  40  56  25  95  100  26  19  204 1085的倍数 2的倍数（三）用质数填空 （6分）18=（      ）×（      ）×（   

37、60;  ）     30=（      ）×（      ）×（      ）20=（      ）+（      ）             &#

38、160;   25=（      ）+（      ）+（      ）24=（ ）+ （ ） 21 = ( ) + ( )六、实际应用（16分）（3题6点，其余题5分）1王老师把五年一班的学生分成小组来植树，按4人一组，6人一组，都能正好分完，五年一班有多少人（班级人数在4050之间）2已知两个质数的和是43，这两个质数的积是多少？  3从3、6、9、0这四个数中，任意选出三个数字按要求组成三位数。（1）

39、是2的倍数。（写出3个） （2）是3的倍数。（写出3个）（3）是5的倍数。（写出3个）最大公约数与最小公倍数（一）一、基本概念知识1.公约数和最大公约数 如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12; 18的约数有：1，2，3，6，9，18。自然数的最大公约数通常用符号（）表示，例如，12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6。（8，

40、12）=4，（6，9，15）=3。2.公倍数和最小公倍数如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84， 18的倍数有：18，36，54，72，90，自然数的最小公倍数通常用符号表示，例如12和18的公倍数有：36，72，.其中36是12和18的最小公倍数，记作12，18=36。8，12=24，6，9，15=90。3.互质数 如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。 常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法

41、。用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：求个数的最大公约数：（1） 必须每次都用个数的公约数去除；（2） 一直除到个数的商互质（但不一定两两互质）；（3） 个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。求个数的最小公倍数：（1） 必须先用（如果有）个数的公约数去除，除到个数没有除去1以外的公约数后，在用个数的公约数去除，除到个数没有除1以外的公约数后，再用个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2） 只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到个数的商两两互质为止；（3） 个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积

42、。例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱分析与解： 因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶 叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是 144，180，240的最大公约数。是144，180，240的最大公约数。 所以（144，180，240）=2×2×3=12，即

43、每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5（元）。例2 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？分析与解：因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。498-450=48，450-414=36，498-414=84。所求数是（48，36，84）=12。 例3 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？分析与解： 只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们 的公

44、约数一定是1111的约数。因为1111=101×11，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数 都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909。所以所求数是101。例4 在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）分析与解：（30，24）=6，说明如果将方格纸横、竖都分成6份，即分成6×6个相同的矩形，那么每个矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×

45、4（个）小方格组成。在6×6的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线，所以经过5个格点（见左下图）。在对角线所经过的每一个矩形的5×4个小方格中，对角线不经过任何格点（见右下图）。所以，对角线共经过格点（30，24）-1=5（个）。例5 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？分析与解：甲、乙、丙走一圈分别需60秒、75秒和90秒，因为要在起点相会，即三人都要走整圈数，所以需要的时间应是60，75，90的公倍数。所求时间为60，75，90=900（秒）=15（分）。 例6 爷爷

46、对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？分析与解：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄差也是5，4，3，2，1的倍数。由此推知，他们的年龄差是6，5，4，3，2的公倍数。6，5，4，3，2=60，爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。所以现在小明的年龄=60÷（7-1）=10（岁），爷爷的年龄=10×7=70（岁）。二、随堂练习 最大

47、公约数与最小公倍数（二）摘要：这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法可知，（18，12）=2×3=6，18，12=2×3×3×2=36。如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么（18，12）×18，12=（2×3）×（2×3×3×2）=（2×3×3）×（2×3×2）=18×12。也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等

48、于18与12的乘积。当把18，12换成其它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论：两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即，（a，b）×a，b=a×b。例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。解：由上面的结论，另一个自然数是（6×72）÷18=24。例2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这

49、两个自然数。”改变以后的两个数的乘积是1×30=30，和是11。30=1×30=2×15=3×10=5×6，由上式知，两个因数的和是11的只有5×6，且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是7×5=35和7×6=42。例3 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是12，15=60的倍数。再由a，b，c=120知， a只能是60或120。a，c=15，说明c没有质因数2

50、，又因为a，b，c=120=23×3×5，所以c=15。因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或120，（a，b）=12，a，b=120，求a，b。”当a=60时，b=（a，b）×a，b÷a=12×120÷60=24；当a=120时，b=（a，b）×a，b÷a=12×120÷120=12。所以a，b，c为60，24，15或120，12，15。要将它们全部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：每瓶最多装多少千克？分析与解：如果三种溶液的重量都是整数，那么每瓶装的重量就

51、是三 种溶液重量的最大公约数。现在的问题是三种溶液的重量不是整数。要解决这个问题，可以将重量分别乘以某个数，将分数化为整数，求出数值后，再除以这个数。 为此，先求几个分母的最小公倍数，6，4，9=36，三种溶液的重量都乘以36后，变为150，135和80，（150，135，80）=5。上式说明，若三种溶液分别重150，135，80千克，则每瓶最多装5千克。可实际重量是150，135，80的1/36，所以每瓶最多装在例4中，出现了与整数的最大公约数类似的分数问题。为此，我们将最大公约数的概念推广到分数中。如果若干个分数（含整数）都是某个分数的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公约数。在所有公

52、约数中最大的一个公约数，称为这若干个分数的最大公约数。由例4的解答，得到求一组分数的最大公约数的方法：（1）先将各个分数化为假分数；（2）求出各个分数的分母的最小公倍数a；（3）求出各个分数的分子的最大公约数b； （4）即为所求。例5 求，的最大公约数。类似地，我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。如果某个分数（或整数）同时是若干个分数（含整数）的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个分数的最小公倍数。求一组分数的最小公倍数的方法：（1）先将各个分数化为假分数；（2）求出各个分数的分子的最小公倍数a；（3）求出各个分数的分母的最大公约数b

53、；一个陷井。它们之中谁先掉进陷井它掉进陷井时另一个跳了多远同理，黄鼠狼掉进陷井时与起点的距离为所以黄鼠狼掉进陷井时跳了31 1/2÷6 3/10=5（次）。黄鼠狼先掉进陷井，它掉进陷井时，狐狸跳了专题练习1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。2.两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几组？3.求下列各组分数的最大公约数：4.求下列各组分数的最小公倍数： 部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：最少要装多少瓶？于同一处只有一次，求圆形绿地的周长。随堂练习解答专题练习解答×120=（7，120）

54、×72，120=24×360。，72与24，36两组。提示：72÷12=6=1×6=2×3，所以有两组：12×1=12，12×6=72； 12×2=24，12×3=36。5.等于。瓶。米。 最大公约数与最小公倍数（三）【知识导引】一、约数的概念与最大公约数 约数又叫因数(在正整数范围内）整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。最大公约数:如果一个数既是数a的约数，又是数b的约数，称为a,b的约数。几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。1. 求最大公

55、约数的方法分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。例如：，所以；短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。例如：，所以；辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)。例如，求600和1515的最大公约数：；所以1515和600的最大公约数是1

56、5。2. 最大公约数的性质 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；几个数都乘以一个自然数，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以。3. 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；即为所求。二、倍数的概念与最小公倍数对于整数m，能被n整除（n/m）,那么m就是n的倍数。如15能够被3或5整除，我们就说15是3的倍数，也是5的倍数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。1. 求最小公倍数的方法分解质因数

57、法求最小公倍数例如：，所以；短除法求最小公倍数例如： ，所以；公式法：2. 最小公倍数的性质两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积。两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数。3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数；求出各个分数分母的最大公约数；即为所求。例如： 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数。例如：三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1. 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。如果为、的最大公约数，且，那么互质，所以、的最

58、小公倍数为，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；最大公约数是、及最小公倍数的约数。2. 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积，即。3. 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为：奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数，例如：，210就是567的最小公倍数。偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍，例如：，而6,7,8的最小公倍数为几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大。【例题解析】【a组基础夯实】例1 两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？解：由ab=a，b×（a，b）可得：另一个数为，2