复变函数华中科技大学

1、引 言 在十六世纪中叶，g. cardano (1501-1576) 在研究一元二次方程 时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为 。在当时，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，复数被cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 l.euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的euler公式 揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而一直到c.wessel (挪威.1745-1818)和r.argand(法国.17

2、68-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及k.f.gauss (德国1777-1855)与w.r.hamilton (爱尔兰1805-1865)定义复数 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。1040 xx515515与cossinieiaib 复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展 。第一章 复数与复变函数1.1复数及其表示法 一对有序实数（ ）构成一个复数，记为 .

3、iyxzyx, 自变量为复数的函数就是复变函数, 它是本课程的研究对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充; 然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念, 为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础.x, y 分别称为 z 的实部和虚部, 记作x=re(z), y=im(z), .1i zxiy称为 z 的共轭复数。与实数不同, 一般说来, 任意两个复数不能比较大小.两个复数相等他们的实部和虚部都相等特别地，00yxiyxz1.代数形式 :iyxz复数的表示法1)点表示iyxz复数( , )xoyz x y 平面上的点yz(x,

4、y)xx0yr复平面实轴虚轴2) 向量表示-复数复数z的辐角的辐角(argument) 记作arg z= .任何一个复数z0有无穷多个幅角,将满足 p p 0 p p 的的 0 称为称为arg z的主值的主值, 记作0=arg z .则arg z=0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数)复数z=x+iy矢径z0 xyxyz=x+iy|z|=rz22zzrxy-复数复数z的模的模zx与 轴正向的夹角|,| |,| | |,| |22zzz zyxzzyzx在第三象限在第二象限在第一、四象限zxyzxyzxyz,arctan,arctan,arctanargpp当 z = 0 时, |

5、 z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:arctan22yxpp其中说明：当 z 在第二象限时，arg022zpppptan()tan()tanyxpparctanyxparctan.yxp2.指数形式与三角形式),(zargzr)sin(cosirzirez 利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cos, y = r sin, 可以将z表示成三角表示式:利用欧拉公式 e i = cos + i sin 得指数表示式:例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.1)122 ;2)sincos.55zizipp 解 1)|1244.rzz在第三象限, 因此235arc

6、tanarctan.3612ppp 因此56554cos()sin()466izieppp2) 显然, r = | z | = 1, 又3sincoscos,525103cossinsin.52510pppppppp因此31033cossin1010izieppp练习：练习：写出 的辐角和它的指数形式。132iz解：3 22argarctanarctan3,1 233zppppp 2arg22,3argzzkkkzppp1,rz23.izep1.2复数复数的运算222111,iyxziyxz设)0()()()(22222211222222121211221212121212121zyxyxyx

7、iyxyyxxzzyxyxiyyxxzzyyixxzzz1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .复数运算满足交换律,结合律和分配律:1 . 四则运算加减法与平行四边形法则的几何意义:乘、除法的几何意义:111izr e222izr e12()121 2iz zrr e,121 2121212rgz zr rzzargz zazargz,1z2z12zz12zz,定理定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和. 等式 ar

8、g(z1z2)=arg z1+arg z2,的意思是等式的两 边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边 的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然.几何上 z1z2 相当于将 z2 的模扩大 |z1| 倍并旋转一个角度arg z1 .011z2z1 2z z1r2r1 2rr12112 xy1iz12z例2：设121,.zzi 求：1 2;1 2.z zargz z21 2;iz ziep 12,argznpp22,2argzmpp解：1 21222,argz zargzargzkk m nzpp 若取1,k 则1,1,;nmnm 若取0,mn则1.k 221122111

9、22110zzzzzzzzzzargzargargzz21()2211izrezr22112211zzzzzargargzargzz;按照乘积的定义, 当z10时, 有定理定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商, 两个复数 的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.2 . 乘方与开方运算1）乘方cossinnninnzr erninde moivre 公式：cossincossinninin2 ）开方: 若满足，则称w为z的n次方根，nwz记为 .nwzziargwinargnezew2(0,1,2,1)nwzargzkargwnknp于是推得2122cossin(0,1,1)arg zkinn

10、nnzzeargzkargzkrinnknppp从而几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n为半径的圆 的内接正n边形的n个顶点。例2 求41. i解 因为12 cossin,44iipp 所以84224412 cossin,(0,1,2,3)44kkiikpppp 即808182832 cossin,1616992 cossin,161617172 cossin,161625252 cossin.1616wiwiwiwipppppppp四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.2821+iw0w1w2w3oxy1.31.3复数形式的代数方程与平面几何图形 很

11、多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表 示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定 它所表示的平面图形.例3 将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方 程来表示.解 通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为121121(),()().xxt xxtyyt yy 因此, 它的复数形式的参数方程为z=z1+t(z2z1). (t+) 由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成z=z1+t(z2z1). (0t1)取12t 得知线段1 2z z的中点为122zzz 例4 求下列方程所表示的曲线:1)| 2;2)|2 | |2|;3)

12、im()4.ziziziz解：1)| 2zi设设 z = x + i y , 方程变为2222|(1) | 2(1)2,(1)4xyixyxyioxy2)|2 | |2|ziz 几何上, 该方程表示到点2i和2的距离相等的点的轨迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和2的线段的垂直平分线, 方程为 y x , 也可用代数的方法求出。oxy22iyx3)im()4.iz设设 z = x + i y , 那末(1)im()1izxy iizy 可得所求曲线的方程为 y 3 .oyxy31.4 复数域的几何模型-复球面 0nx1x2x3oz(x,y)xyp(x1,x2,x3)x1x2x3n(0,0,

13、2r)除了复数的平面表示方法外, 还可以用球面上的点来表示复数.对复平面内任一点z, 用直线将z与n相连, 与球面相交于p点, 则球面上除n点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系, 而n点本身可代表无穷远点, 记作.这样的球面称作复球面.扩充复数域-引进一个“新”的数: 扩充复平面-引进一个“理想点”: 无穷远点 .约定: ),0(0aa),(0aa)(aa)0( aaa)(aaa 1.4 区域1. 区域的概念 平面上以 z0为中心, d (任意的正数)为半径的圆: |zz0|d 内部的点的集合称为z0的邻域邻域, 而称由不等式 0|zz0|m 的所有点的集合, 其中实数 m0 , 称

14、为无穷远点的邻域无穷远点的邻域. 即它是圆 |z|=m 的外部且包含无穷远点本身. 不包括无穷远点本身的仅满足 |z|m 的所有点称为无穷远点的去心邻域无穷远点的去心邻域, 也记作 m|z|m 设g为一平面点集, z0为g中任意一点. 如果存在z0的一个邻域, 该邻域内的所有点都属于g, 则称z0为g的内点内点. 如果g内的每个点都是它的内点, 则称g为开集开集 平面点集d称为一个区域区域, 如果它满足下列两个条件:1) d是一个开集;2) d是连通连通的。就是说d中任何两点都可以用完全属于d 的一条折线连接起来. 设d为复平面内的一个区域, 如果点p不属于d, 但在p的任意小的邻域内总包含有

15、d中的点, 这样的点p称为d的边界点边界点. d的所有边界点组成d的边界. 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的. 区域 d与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作d.如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面, 即存在正数 m, 使区域 d的每个点z都满足 |z|m, 则称 d为有界的, 否则称为无界的.2. 单连通域与多连通域平面曲线 在数学上, 经常用参数方程来表示各种平面曲线. 如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数, 则方程组x=x(t), y=y(t), (atb)代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令z(t)=x(t)+iy(t)则此曲线可用一个方程z=z

16、(t) (atb)来代表. 这就是平面曲线的复数表示式. 设c: z=z(t) (atb)为一条连续曲线, z(a)与z(b)分别为c的起点与终点. 对于满足 at1b, at2b 的 t1与 t2, 当 t1t2而有 z(t1)=z(t2) 时, 点 z(t1)称为曲线 c的重点. 没有重点的连续曲线 c, 称为简单曲线或若尔当(jardan)曲线. 如果简单曲线 c的起点与终点闭合, 即 z(a)=z(b) , 则曲线 c 称为简单闭曲线简单闭曲线.z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b) 任意一条简单闭曲线 c 把整个复

17、平面唯一地分成三个互不相交的点集, 其中除去 c 外, 一个是有界区域, 称为 c 的内部, 另一个是无界区域, 称为 c 的外部, c 为它们的公共边界. 简单闭曲线的这一性质, 其几何直观意义是很清楚的.内部外部c定义 复平面上的一个区域 b, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于b, 就称为单连通域单连通域, 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域多连通域.单连通域多连通域1.5 复变函数1. 复变函数的定义定义 设 d 是复平面中的一个点集, wzdf复数 ,wf zf xiyu x yiv x y称为复变函数.其确定了自变量为x和y的两个二元实变函数 u ,v .例

18、如, 考察函数 w = z2.令 z = x+iy, w = u+iv , 则u+iv = (x+iy)2 = x2y2+i2xy ,因而函数 w = z2 对应于两个二元函数:u = x2y2, v = 2xy 在以后的讨论中, d常常是一个平面区域, 称之为定义域, 并且, 如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数.2. 映射的概念 函数 w=f (z) 在几何上可以看做是把 z平面上的一个点集d(定义集合)变到 w平面上的一个点集g (函数值集合)的映射(或变换). 如果 d 中的点 z 被映射 w=f (z) 映射成 g中的点 w, 则 w 称为 z 的象(映象), 而 z 称为 w

19、的原象.xudgzzww=f(z)vyw设函数w = z =x iy ; u=x , v=-yxyouvoabcz1z2abcw1w2设函数 w = z2 = (x+iy)2 = x2y2+i2xy , 有 u = x2y2, v = 2xyxyouvoz1z2w2z3w3w1123121ziziz 1231341wwiw im0re01zyzxz22im201wxywuv 函数 w=z2 对应于两个二元实变函数: u=x2y2, v=2xy 把 z 平面上的两族双曲线 x2y2 = c1 , 2xy = c2 分别映 射成w平面上的两族平行直线 u=c1 , v=c2 .1011110864

20、2x2468v=101y108642u=02468uv10101010 如果函数(映射) w=f (z) 与它的反函数(逆映射) z =j (w)都是单值的, 则称函数(映射) w =f (z)是一一的. 此时, 我们也称集合d与集合g是一一对应的.举例：曲线在映射下的像 例题1 ?8:122zwyxc11zxiywuiv22vuivu2222,vuvyvuux81:22vu?:2bzwrzc例题2rbwzbw2:2例题3?)2(:2zwtizc22)43 ()2(titiwuv34:例题4 ?: izwxyc)(ixxiwixxuv:1.6 复变函数的极限和连续性1.函数的极限定义 设函数

21、w = f (z)定义在 z0的去心邻域 0|zz0|0, 相应地必有一正数d (e) (0 d r), 使得当 0 |zz0|d 时有| f (z)a |e ,则称a为f (z)当 z趋向于z0时的极限, 记作azfzz)(lim0或记作当 zz0 时 , f (z)a.几何意义几何意义: : xyoz0dzouvaef(z)0lim( )zzaf z意味着：0( )zzf z当 从平面上任一方向、沿任何路径、以任意方式趋近于 时，均以a为极限。等价定义： 设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , a = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 则0000000lim(,)lim().lim(,)xxyyzzxxyyuxyufzav xyv运算性质： )(lim)(lim)()(lim)1 (000zg