高等数学上册课件：7-6 曲面与空间曲线

1、科学出版社 第七七章 第六节曲面与空间曲线曲面与空间曲线科学出版社曲面方程的概念曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的222)3()2() 1(zyx26270 xyz化简得即注注:实例实例: :显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.222)4() 1()2(zyx解解: :, ),(zyxM,BMAM 则轨迹方程. 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.设轨迹上的动点为科学出版社定义定义1. 0),(zyxF如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程

2、则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.两个基本问题两个基本问题 : :1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程 求曲面方程.2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状( 必要时需作图 ). SzyxO科学出版社即( , , )P x y z0000(,)P xy z设0.PPrPOxyz0P222000()()(),xxyyzzr2222000()()()xxyyzzr考虑以点为球心, r为半径的球面的方程.是球面上的任一点, 则可得方程反过来, 若点( , , )P

3、 x y z的坐标满足方程(1),(1)则0.PPr即点 P 在球面上.因此方程(1)是球面的方程.科学出版社例例1. 22244230 xyzxyz解解: :2 3(2, 2,1),可见此方程表示一个球面注注: :都可通过配方研究它的图形.其图形可能是什么曲面? 表示半径为0)(222GFzEyDxzyxA球心为 球面 , 或点 , 或虚轨迹.222(1)(2)112.xyz讨论方程下面形式的三元二次方程 ( A 0 )配方得科学出版社空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S

4、例如,方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线 C. xzy1OC2科学出版社例例2. 所表示的曲线.2228,2xyzz解：解：第一个方程表示半径为2 2的球面.第二个方程表示平行于平面 xOy 的平面. 由于球心O 到平面z = 2的距离为2, 故平面与球面相交,交线是平面 z = 2上的一个圆, 圆心是(0,0,2), 半径为 2822.考察方程组科学出版社zyxO空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标 x, y, z表示成称它为空间曲线的)(txx 例如,圆柱螺线vbt,令bzayaxsincos,2 时当2hbtaxcostaysin t vz 的参数方程为上升高度, 称为螺距 .)(tyy )(tzz M参数 t 的函数:参数方程.科学出版社例例3. 写出圆2228,2xyzz的参数方程.解：解：再作点Q 到Ox 轴上的射影 R， 由例2，可知2 .QPk 2cos,2sinORRQ ij所以OPORRQQP 2cos2sin2ijk设圆上任一点P