函数的基本性质奇偶性陈秀群

1、1.3 1.3 函数的基本性质函数的基本性质人教人教A A版数学必修版数学必修1 1黄山中学 陈秀群复习回顾复习回顾单调性单调性n增函数：n一般地，设函数f(x)的定义域为I：n 如果对于定义域I内某个区间区间D D上的任意任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间区间D D上上是增函数。函数的单调性函数的单调性不是不是定义域上的定义域上的整体性质整体性质在初中你学习过轴对称图形和中心对称图形吗？在初中你学习过轴对称图形和中心对称图形吗？轴对称图形轴对称图形： 如果一个图形上的如果一个图形上的任意一点任意一点关于关于某一条直线某一条直线

2、的对称点仍的对称点仍是这个图形上的点，就称图形关于该直线成轴对称图形，这是这个图形上的点，就称图形关于该直线成轴对称图形，这条直线称作轴对称图形的条直线称作轴对称图形的对称轴对称轴。中心对称图形：中心对称图形： 如果一个图形上的如果一个图形上的任意一点任意一点关于关于某某 一点一点的对称点仍是的对称点仍是这个图形上的点，就称图形关于该点成中心对称图形，这个这个图形上的点，就称图形关于该点成中心对称图形，这个点称作中心对称图形的点称作中心对称图形的对称中心对称中心。复习回顾复习回顾图像的对称图像的对称1.3 1.3 函数的基本性质函数的基本性质奇偶性奇偶性观察下面几个函数的图象，它们是否具有对称

3、性？观察下面几个函数的图象，它们是否具有对称性？1-1yxO)0(1)(xxxmx0-x0 3xxf xxgxyO 2xxh1-1yxO)0(1)(xxxmx0-x0 3xxf xxgxyO 2xxh（1）（2）两类具有对称性的函数图象两类具有对称性的函数图象例如：画函数例如：画函数 的图象的图象S S1 1：列表：列表：S S2 2：描点：描点S S3 3：连线：连线x-3-2-10123 3xxf xf概念生成概念生成例如：画函数例如：画函数f(xf(x)=x)=x3 3的图象的图象S S1 1：列表：列表：S S2 2：描点：描点S S3 3：连线：连线x-3-2-1012f(x)-27

4、-8-1018327 332211ffffff概念生成概念生成 xfxxxf33 xfxf函数函数f(xf(x)=x)=x3 3的图象特征的图象特征 关于原点对称关于原点对称-xx xfxf奇函数奇函数概念生成概念生成xf xf xfx, xfx ,xfx , 3xxf xfx, xfx ,关于原点对称关于原点对称奇函数定义奇函数定义: : 如果对于函数f(x)定义域定义域内的任意任意一个一个x x, , 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数奇函数.概念生成概念生成奇函数性质奇函数性质: : 函数f(x)是奇函数是奇函数 函数函数f(x)f(x)的图象关于原点对称的图象关于原

5、点对称 数形结合数形结合函数函数f(xf(x)=x)=x2 2的图象特征的图象特征 关于关于y y轴对称轴对称 393242111ffffff xfxxxf22 xfxf xfx, xfx,关于关于y y轴对称轴对称概念生成概念生成-xx偶函数偶函数xfx , xfx, xfx,奇函数定义奇函数定义: : 如果对于函数f(x)定义域定义域内的任意任意一个一个x,x, 都有f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x) ),那么函数f(x)就叫奇函数奇函数。概念生成概念生成偶函数定义偶函数定义: : 如果对于函数f(x)定义域定义域内的任意任意一个一个x,x, 都有f(-x)=f(xf(-x)=f(

6、x) ),那么函数f(x)就叫偶函数偶函数。偶函数性质偶函数性质: : 函数f(x)是奇函数是奇函数 函数函数f(x)f(x)的图象关于原点对称的图象关于原点对称 奇函数定义奇函数定义: : 如果对于函数f(x)定义域定义域内的任意任意一个一个x,x, 都有f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x) ),那么函数f(x)就叫奇函数奇函数。概念生成概念生成偶函数定义偶函数定义: : 如果对于函数f(x)定义域定义域内的任意任意一个一个x,x, 都有f(-x)=f(xf(-x)=f(x) ),那么函数f(x)就叫偶函数偶函数。奇偶性奇偶性: : 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函

7、数f(x) 具有奇偶性具有奇偶性。问题问题1 1： 奇函数、偶函数的定义中有奇函数、偶函数的定义中有“定义域内任意定义域内任意”几个字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与几个字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？单调性有何区别？ 强调定义中强调定义中“定义域内定义域内任意任意”二字，说明函数二字，说明函数的奇偶性是定义域上的一个的奇偶性是定义域上的一个整体性质整体性质，而函数的单，而函数的单调性调性不是定义域上的一个整体性质不是定义域上的一个整体性质. .概念剖析概念剖析问题问题2 2： x与与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有

8、何特征？的定义域有何特征？奇函数与偶函数的定义域的特征是奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称关于原点对称. .概念剖析概念剖析例例1 1、判断下列函数的奇偶性：、判断下列函数的奇偶性： 2541)( 4 1)(3)( 2 )(1xxfxxxfxxfxxf典例分析典例分析偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数判断函数的奇偶性，首先判断判断函数的奇偶性，首先判断定义域是否关于原点对称定义域是否关于原点对称. .例例2 2、判断下列函数的奇偶性：、判断下列函数的奇偶性： RxxfxxfxxfRxxfxxxf, 1)(51 ,0, 1,2,0)(41 , 1,0)(3,0)(21 ,

9、1(,)(12典例分析典例分析非奇非偶函数非奇非偶函数既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数定义域关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件是函数具有奇偶性的前提条件既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数偶函数偶函数1.1.用定义判断函数奇偶性的步骤：用定义判断函数奇偶性的步骤：(1) (1) 先求定义域，看是否关于原点对称；先求定义域，看是否关于原点对称；(2) (2) 再判断再判断f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)是否恒成立是否恒成立. .规律总结规律总结2.2.从函数的奇偶性，函数可以分为四类

10、：从函数的奇偶性，函数可以分为四类： 是奇函数但不是偶函数；是奇函数但不是偶函数； 是偶函数但不是奇函数；是偶函数但不是奇函数； 既是奇函数又是偶函数；既是奇函数又是偶函数； 既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数. .3.3.既是奇函数又是偶函数的函数解析式为：既是奇函数又是偶函数的函数解析式为： f(x)=0 f(x)=0 ( (前提是定义域关于原点对称前提是定义域关于原点对称) ). .1.判断下列说法是否正确练练 习习(1)如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称;(2)如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数； (3)如果一个函数的图象关于y轴对称，

11、则这个函数为偶函数； 当堂检测当堂检测（4）若f(x)为奇函数, 则f(-x)=f(x)一定成立. 的奇偶性。判断函数112.xxxf通过本堂课的探究：通过本堂课的探究：（1 1）你学到了哪些知识？）你学到了哪些知识？（2 2）你最深刻的体验是什么？）你最深刻的体验是什么？（3 3）你心里还存在什么疑惑？）你心里还存在什么疑惑？课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结知识知识1 1、两个定义：、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-xf(-x)=-f(x)=-f(x) f(x)f(x)为为奇函数奇函数 都有f(-xf(-x)=f(x) )=f(x) f(x)f(x)为为偶函数偶函数2

12、 2、两个性质：、两个性质： 一个函数为奇函数奇函数 它的图象关于原点原点对称 一个函数为偶函数偶函数 它的图象关于y y轴轴对称3 3、用定义判断函数奇偶性的步骤：、用定义判断函数奇偶性的步骤：(1) 先求定义域，看是否关于原点对称；(2) 再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.4 4、重要数学思想、重要数学思想 数形结合数形结合“以形助数”、“以数解形”课堂小结课堂小结思想方法思想方法5 5、研究问题的重要思路方法、研究问题的重要思路方法 从特殊到一般，从具体到抽象，归纳概括； 感受数学的对称美，研究数学中的对称。课后思考课后思考 已知奇函数已知奇函数f(x)f(x

13、)在在a,ba,b上是减函数，试判断上是减函数，试判断f(x)f(x)在在-b,-a-b,-a上是增函数还是减函数。并证明你上是增函数还是减函数。并证明你的结论。的结论。作业：作业：习题习题1.3 A1.3 A组组 第第6 6题题 B B组组 第第3 3题题 课后作业课后作业例例2 2、 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性深化提高深化提高合作探究合作探究 113121112223xxxfxxxxfxxxf偶函数偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数动动手：动动手：已知函数已知函数y=f(x)是偶函数，它在是偶函数，它在y轴右轴右边的图象如下图，画出在边的图

14、象如下图，画出在y轴左边的图象轴左边的图象.xy0解：画法略相等相等xy0相等相等若函数y=f(x)是奇函数是奇函数课堂练习课堂练习 P361)() 4(1)() 3 (2)() 2(32)() 1 (223 24xxfxxxfxxxfxxxf(1)判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：课堂练习课堂练习 P36（2）将函数图象补充完整）将函数图象补充完整作业：作业：1.习题习题13 A组组 第第6题题2.课后思考课后思考：(一一).有既是奇函数，又是偶函数的函数吗？若有，有多少个？有既是奇函数，又是偶函数的函数吗？若有，有多少个？(二二).设设f（x），），g（x）分别是）分别是R上的奇

15、函数，偶函数，试研究上的奇函数，偶函数，试研究（1）F（x）f（x）g（x）的奇偶性）的奇偶性（2）G（x）f（x）g（x）的奇偶性）的奇偶性问题问题3 3：如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？概念剖析概念剖析 如果一个函数是如果一个函数是奇函数奇函数，则这个函数的图象，则这个函数的图象以以坐标原点为对称中心的中心对称图形坐标原点为对称中心的中心对称图形. . 反之，如反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数心对称图形，则这个函数是奇函数. . 如果一个函数是如果一个函数是偶函数偶函数，则它的图形是，则它的图形是以以y y轴轴为对称轴的轴对称图形为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的；反之，如果一个函数的图象关于图象关于y y轴对称，则这个函数是偶函数轴对称，则这个函数是偶函数. . 奇函数与偶函数图象的性质奇函数与偶函数图象的性质（1）奇奇函数的图象关