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文档简介

1、2 群和域及空间的概念2.1 群和域2.2 向量空间2.3 度量空间和赋范空间2.4 函数空间2.5 点集拓扑的几个概念2.6 线形变换2.1 群和域结合律交换律单位元逆元素分配律左分配律右分配律群域2.2 向量空间2.3 度量空间和赋范空间范数2.4 函数空间不同的度量方法会产生很大的差别2.5 点集拓扑的几个概念 这里聚点(注意与1.3.2的定义实质是一样，只是表述方式不同，这也是初学者容易困惑的地方)2.5 点集拓扑的几个概念2.5 点集拓扑的几个概念开集和闭集2.5 点集拓扑的几个概念集合的内部、边界和闭包2.5 点集拓扑的几个概念内点、外点、边界点和闭包点2.5 点集拓扑的几个概念2

2、.5 点集拓扑的几个概念孤立点闭包点中不是极限点的点称为孤立点。闭包点要么是极限点，要么是孤立点。同胚完备度量空间和压缩映射定理柯西收敛完备度量空间巴拿赫(Banach)空间一个完备的赋范向量空间称为巴拿赫(Banach)空间 柯西序列可以在“有洞” 的度量空间中存在，而一般的极限序列则不具备。只在完备度量空间时二者相同。算子和压缩映射定理算子从度量空间到它自己的函数T：X X有时也称为算子(Operator)压缩(Contraction)压缩映射定理例压缩映射紧集覆盖和开覆盖紧集几个结论定理2.8.14 紧空间中任意闭子集都是紧的集。定理2.8.15 度量间中紧集都是闭的。定理2.8.16

3、度量间中一个集合是紧集的充要条件是它是完备且有界的。几个结论（续）定理 度量间中紧集是完备。（问题2.8.17）定理2.8.19 任意一个闭且有界的实数集合都是紧集。定理2.8.20 Rm中任意一个闭且有界的子集合都是紧集。连通集定理2.9.2 实数集合S是连通的充要条件是： S是一个区间。定理2.9. 令f ：X Y是两个度量间中的连续映射，若C是X中连通子集，则f（C）也是连通的。2.6 线性变换两个向量空间之间的函数有时称为变换。下面我们将介绍一类能保持集合的代数性质非常重要的变换。线性函数的像和核线性映射的范数 令X和Y是两个向量空间。从X到Y的线性变换的集合L（X，Y）是一个向量空间。若X和Y是赋范空间，很自然就会问能否在L(X，Y)中定义一个范数，即能否使L(X，Y）成为赋范空间。由于没有一个“自然”的方法来定义一个映射的“长度”，我们试图根据映射所作用的向量的范数来定义线性变换T的范数。这样，我们记：注意到上式中的符号有三个不同的意义：x是X中向量的范数， T(x)是Y中向量的范数， T是线性映射的“范数”，（这还需要证明它确实是范数）。定理3.4.7 令T : XY是有界线性映射，x是X中任意向量，则 T(x) Tx。

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