高数上册第一章第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1第九节第九节 连续函数的运算连续函数的运算一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性四、小结四、小结 思考题思考题与初等函数的连续性与初等函数的连续性机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2一、连续函数的四则运算的连续性【定理【定理1】例例 如如 . ),(cos,sin内连续内连续在在xx. csc,sec,cot,tan在在其其定定义义域域内内连连续续xxxx（上节已证）（上节已证）由函数由函数“点连续点连续”的定

2、义和极限四则运算法则，立的定义和极限四则运算法则，立得得: :【推广【推广】 有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。【结论【结论】三角函数在其定义域内连续三角函数在其定义域内连续.若若f(x) , g(x)在点在点x0处连续，则处连续，则f(x)g(x) ，f(x)g(x) , f(x)/g(x)g(x0)0在点在点x0处也连续处也连续.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3二、反函数与复合函数的连续性【定理【定理2】严格单调的连续函数必有严格单调的严格单调的连续函数必有严格单调的 连续反函数连续反函数. .（证明略）（证明略）

3、例如例如上单调增加且连续上单调增加且连续在在2,2sin xy上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故1 , 1arcsin xy上上单单调调减减少少且且连连续续在在同同理理1 , 1arccos xy上上单单调调且且连连续续在在,cot,arctan xarcyxy【结论【结论】反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续. . 1. . 反函数的连续性反函数的连续性机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4).(lim)()(lim)(lim, )(,)(lim0000000 xgfufufxgfuufuxgxxuuxxxx 则有则有连续连续在点在点

4、函数函数若若【定理【定理3】【证【证】,)(0连续连续在点在点uuuf . )()(, 0, 000成立成立恒有恒有时时使当使当 ufufuu,)(lim00uxgxx 又又,0, 0, 00时时使使当当对对于于 xx2、复合函数的连续性、复合函数的连续性机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5.)(00成立成立恒有恒有 uuuxg将上两步综合起来将上两步综合起来: :,0, 0, 00时时使当使当 xx)()()()(00ufxgfufuf .成立成立 )()(lim00ufxgfxx ).(lim0 xgfxx 【注意【注意】 本节本节定理定理3是是5定理定理6（复合

5、函数求极（复合函数求极限的法则）的特例，外层函数由原来限的法则）的特例，外层函数由原来的极限的极限存在存在加强为加强为连续连续。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 6【意义【意义】.)(. 1的理论依据的理论依据变量代换变量代换xu 【例【例1】.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 【解【解】)(lim)(lim 200 xgfxgfxxxx 由由可知可知极限符号极限符号 可以与函数符号可以与函数符号 f 交换次序交换次序; ;0limxx条件是：条件是：内层函数极限存在、外层函数在对内层函数

6、极限存在、外层函数在对 应点连续；则可交换次序应点连续；则可交换次序. .同理同理xxax)1(loglim0 aln1 （即教材例（即教材例6）利用利用lnu的的连续性连续性机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 7【教材教材例例3】93lim 23 xxx求求【解【解】932 xxy可视为由可视为由、 uy 932 xxu复合而成，复合而成，6193lim 23 xxx又又 61 连续连续在点在点而而 uuy ) 0 lim 5 (0030 xxxxx已证已证例例则则93lim23 xxx93lim23 xxx交换次序交换次序6661 机动机动 目录目录 上页上页 下页

7、下页 返回返回 结束结束 8又如又如)arccos(lim2xxxx xxxxx 2arccoslim1111arccoslim xx1111limarccos xx21arccos 3 交换次序：交换次序：用用arccosu的的连续性连续性分子有理化分子有理化分离无穷小量分离无穷小量机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 9.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxgfyuuufyuxgxxxgu 【定理【定理4】【注意【注意】定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.

8、.简言之：简言之：内、外层函数在对应点都连续，则复内、外层函数在对应点都连续，则复合函数连续合函数连续机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 10例如例如xy1sin 是由连续函数链是由连续函数链),(,sin uuy,1xu *r x因此因此xy1sin 在在*r x上连续上连续 .复合而成复合而成 ,xyoxy1sin机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 11【关系【关系】5 定理定理6：内、外层函数内、外层函数极限极限都都存在存在，则，则复合函数复合函数极限存在极限存在.(.(叙述不严格叙述不严格) )本节定理本节定理3：内层函数内层函数极限存在

9、极限存在、外层函数、外层函数加强为加强为连续连续，则复合函数，则复合函数极限存在极限存在，且极限，且极限符号和函数符号可符号和函数符号可交换次序交换次序. .本节定理本节定理4：内、外层函数都加强为内、外层函数都加强为连续连续，则复，则复合函数也合函数也连续连续（极限存在且等于函数值、极限极限存在且等于函数值、极限符号和函数符号可交换次序符号和函数符号可交换次序）. . 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 12三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的. .（已证）（已证）)1, 0( aaayx指指数数

10、函函数数内单调且连续内单调且连续在在),()1, 0( log aaxya对数函数对数函数内单调且连续内单调且连续在在), 0( （指出但不详细讨论）（指出但不详细讨论）（由（由【定理【定理2】反函数的连续性可得）反函数的连续性可得）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 13【定理【定理5】 基本初等函数在基本初等函数在定义域内定义域内是连续的是连续的. . xy xaalog ,uay .log xua , ), 0(内连续内连续在在 ,不同值不同值讨论讨论 ( (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 ) )定义区间定义区间是指包含在定义域是指包含在定义域内内的区间的区

11、间. .由由【定理【定理4】复合函数的连续性复合函数的连续性基本初等函数在基本初等函数在定义域内定义域内连续连续连续函数经连续函数经四则运算四则运算仍连续仍连续连续函数的连续函数的复合函数复合函数连续连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间内定义区间内连续连续【定理【定理6】 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 141. .初等函数仅在其定义初等函数仅在其定义区间内区间内连续连续, , 在其定义在其定义域内域内不一定连续不一定连续; ;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xd在这些孤立点的某个去心邻域内没有定义在这些孤立点的某个去心邻域内没有定义. .,)1(3

12、2 xxy, 1, 0: xxd及及在在0 0点的某去心邻域内没有定义点的某去心邻域内没有定义. . . ), 1 上连续上连续函数在区间函数在区间【注意【注意】【注意【注意】2. .初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法. .则既不是连续点也不是间断点则既不是连续点也不是间断点又如又如机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 15【例【例3】. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e【例【例4】.11lim20 xxx 求求【解【解】【解【解】)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 .

13、0 )()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx型型00有理化后消去有理化后消去0因子因子机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 16【教材教材例例8】xxxsin30)21(lim 求求【解【解】xxsin3)21( 6sin21)21( xxxxxxxsin30)21(lim 6e 【解【解】xxxsin30)21(lim )21ln(sin3 lim 0 xxxe 62sin3 lim 0eexxx ln(1+2x) 2x (x0)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 17【补充【补充】,0)(lim 0 xuxx若若则有则有 )(

14、)(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe )(1ln)(lim0 xuxvxx e )()(lim0 xuxvxxln1+u(x) u(x) (u(x)0)型型 1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 18【一般地【一般地】)1)(, 0)( )( )( xuxuxuxv形如形如的函数称为的函数称为幂指函数幂指函数若若0)(lim axubxv )(lim则则bxvaxu )()(lim【注意【注意】. .lim表示自变量的同一变化过程中的极限表示自变量的同一变化过程中的极限. .（是定式情况下成立）（是定式情况下成立）.不能分两步写作：不能分两步写作：)

15、()(limxvxu)( limxva ba 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 19【思考题【思考题】 设设xxfsgn)( ，21)(xxg ， 试研究， 试研究复合函数复合函数)(xgf与与)(xfg的连续性的连续性. . 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 20【思考题解答【思考题解答】21)(xxg )1sgn()(2xxgf 1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上处处处处连连续续 )(xgf在在)0 ,(), 0( 上上处处处处连连续续 )(xfg0 x是它的可去间断点是它的可去间断点 0, 10, 00,

16、1)(xxxxf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 21【思考题【思考题】 若若)(xf在在0 x连续，则连续，则 | )(|xf、)(2xf在在0 x是否连续？又若是否连续？又若 | )(|xf、)(2xf在在 0 x连续，连续，)(xf在在0 x是否连续？是否连续？ 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 22【思考题解答【思考题解答】)(xf在在0 x连续连续， )()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02

17、xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都连续都连续. . 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 23但反之不成立但反之不成立. .例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不连连续续 但但| )(|xf、)(2xf在在00 x连连续续 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 24教材习题教材习题19 p69 第第2题题 解答解答 , )()( . 20证明函数证明函数点连续点连续在点在点与与设函数设函数xxgxf , )(),(max)(xgxfx )(),(min)(xgxfx . 0也连续也连续在点在点 x【证明【证明】 连连续续在在

18、仅仅证证0 )(),(max)( xxxgxfx 0 xx 在在 点，有且仅有三种情形：点，有且仅有三种情形：);()( )1(00 xgxf );()( )2(00 xgxf ).()( )3(00 xgxf ; )()( )1(00时时当当xgxf )()(),(max)(0000 xfxgxfx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 25又由假设又由假设)()(lim , )()(lim0000 xgxgxfxfxxxx 故故)(lim)(lim00 xgxfxxxx 即即 0)()(lim0 xgxfxx由函数极限的局部保号性立知由函数极限的局部保号性立知 0 ,

19、 0 101时时当当 xx)1( 0)()( xgxf0)()( 00 xgxf又又也成立也成立式对式对 )1( 0 xx 10时时即即当当 xx(2) )()(xgxf , ),( 10时时则当则当 xux 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 26连续连续在在又又 )( 0 xxxf , 0, 0 202时时当当 xx (3) )()(),(max)(xfxgxfx (4) )()(0 xfxf今取今取 21,min 4( 3 0）两式同时成立）两式同时成立）（时，时，则当则当 xx故故 )()()()(00 xfxfxx此即此即)()(lim00 xxxx 则则 )(0点连续点连续在在 xx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 27 )1( )()( )2(00可证可证类似类似，时时当当xgxf , )()( )3(00时时当当xgxf )()()(000axgxfx )()( 0可知可知点的连续性点的连续性在在、由由xxgxf，时时当当 , 0101 xx axf)(0 ，时时当当 , 0202 xx axg)( ,min 21 取取, 0时时则当则当 xx上两式同时成立上两式同时成立 ),( )()(