(完整版)高考平面向量公式(教师)

1、1,基本概念向量的概念：有大小有方向的量称为向量。2,向量的表示：几何表示为有向线段（如图）3,向量的大小：即是向量的长度（或称模）4,5,6,第七辑平面向量专题零向量：长度为 0的向量称为零向量，记为;字母表示为a或者AB 。或者IabI o0 ,零向量方向是任意的。单位向量：长度为一个单位的向量称为单位向量，一般用e、 i来表示。平行向量（也称共线向量）：方向相同或相反的向量称为平行向量，规定零向量与任意向量平行。若a平行于示为a / b o7,相等向量：方向相同，大小相等的向量称为相等向量。若a与b相等，记为a = b8,相反向量：大小相等，方向相反的向量称为相反向量。若a与b是相反向量

2、，则表示为 a = b ；向量ABBA二，几何运算1,向量加法：(1)平行四边形法则（起点相同），可理解为力的合成，如图所示:(2)三角形法则（首尾相接），可理解为：位移的合成，如图所示,(3)两个向量和仍是一个向量;(4)向量加法满足交换律、结合律:a b b a , (a b) c a (bc)(5)加法几种情况（加法不等式）2,减法:（1）两向量起点相同，方向是从减数指向被减数，如图 AB AC CB（2）两向量差依旧是一个向量;（3）减法本质是加法的逆运算：AB ACCB AB CA CB3,加法、减法联系:（1）加法和减法分别是平行四边行两条对角线,AB AD AC , ABAD D

3、B若有AB ADAB ADABCD为矩形-6 -4,实数与向量的积:(1)实数 与向量a的积依然是个向量，记作a,它的长度与方向判断如下:当0时，a与a方向相同；当 0时,a与a方向相反;0时,(2)实数与向量相乘满足：(a) ( )a( )a(a b) a b5,向量共线:(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数使得b(2)如图，平面内A, B,C三点共线的重要条件是存在三个不为零的实数m, n,q ,使得qOA mOBq 0 ,反之也成立。(3) ABAC ,则 ob (i )OAOC (证明略)6,向量的数量积(1)数量积公式:a b |a| b coscos a b(

4、2)向量夹角：同起点两向量所夹的角，范围是000 ,180(3)零向量与任一向量的数量积为0,即0 a 0(4)数量积与夹角关系:a b(5)(6)(7)a*-b-+00投影：bcosa b0b成为a在b的方向上的投影b+1800a b 一 一若称为b在a的方向上的投影;a 22 2重要结论：直角三角形 ABC中，AC AB AB向量数量积的运算律:(向量e为与a方向相同的单位向量)(a) b(a b) a ( b)(ab)b-f2-2rf22(a b)a 2ab b(ab)2 ac acosa. 22a b b2- 2(a b) (a b) a bi,平面向量基本定理：如果 ei, e2是同

5、一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数，,使得aeie2 ,我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。(证明略)2,坐标定义：如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底。任作一个向量a ,由向量的基本定理可知，有且只有一对实数，使得:a xi yj ,我们把(x,y)叫做向量的(直角)坐标，记作 a (x, y),其中x、y分别为向量的横纵坐标。这个式子叫做向量的坐标表示。3,如图，已知点 A (xi,yi), B (X2,y2),由向量的坐标定义可知,OA (xi ,yi) , OB (x2,

6、 y2) , AB OB OA(x2 xi, y2 yi)由此可知，一个向量的坐标表示等于此向量的终点坐标减去起点坐标，即,AB (x2 xi, y2yi)4,向量的加减乘坐标运算：已知a(%, yi),M, y2)(i)加、减、乘：a b (xiX2,yiv2b (xi x2, yi y2)a b xyiy2(2)实数与向量乘积的坐标运算:(Xi ,yi)(3)向量模(大小)的坐标形式:xyi2, b2V2(4)a,b夹角余弦值cosxi x2%丫2222yix2y25,向量间关系的坐标形式，已知 a(x/), b (X2,y2)(i) a/b,(b 0)的充要条件是,xy2x2yi0若ab,则有a b 0 ,即xx2YiY206,柯西不等式的向量形式设向量 m (a,b), n (c, d),则有