高等数学导数概念

1、第二章微积分学的创始人: 德国数学家 leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家 ferma 在研究极值问题中提出.英国数学家 newton目录 上页 下页 返回 结束 本章主要内容本章主要内容第一节第一节 导数概念导数概念第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则第三节第三节 高阶导数（二阶导数）高阶导数（二阶导数）第四节第四节 隐函数的导数及由参数方程所确定隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数的函数的导数第五节第五节 函数的微分函数的微分一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定

2、义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系第一节第一节导数的概念导数的概念 第二章 so一、一、 引例引例1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为)(tfs 则 到 的平均速度为0tt v)()(0tftf0tt 而在 时刻的瞬时速度为0t lim0ttv)()(0tftf0tt 0t)(0tf)(tft 2. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线)(:xfycnt0 xm在 m 点处的切线x割线 m n 的极限位置 m t(当 时)割线 m n 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 切线 mt 的斜率tank

3、tanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx xy)(xfy co两个问题的共性共性:瞬时速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切线斜率 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 所求为函数增量与自变量增量之比的极限 .nt0 xmxxy)(xfy coso0t)(0tf)(tft二、导数的定义二、导数的定义定义定义1 . 设函数)(xfy 在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并称此极限为)(xfy 记作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf

4、xyx0limxxfxxfx)()(lim000则称函数若的某邻域内有定义 , 在点0 x处可导可导, 在点0 x的导数导数. 运动质点的位置函数)(tfs 在 时刻的瞬时速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲线)(:xfyc在 m 点处的切线斜率 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx )(0tf )(0 xf so0t)(0tf)(tftnt0 xmxxy)(xfy co目录 上页 下页 返回 结束 .,00而变化的快慢程度因变量随自变量的变化它反映了的变化率处点的导数是因变量在点函数在xx关于导数的说明：关于导数的说明：0limxx00)()(xxxfxfxyx0li

5、m)()(0 xfxfy0 xxx不存在, 就说函数在点 不可导. 0 x若0lim,xyx 也称)(xf在0 x若函数在开区间 i 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:;y;)(xf ;ddxy.d)(dxxf就称函数在 i 内可导. 的导数为无穷大 .若极限目录 上页 下页 返回 结束 求简单函数的导数举例步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例1. 求函数cxf)(c 为常数) 的导数. 解解:yxccx0lim0即0)(c例例2. 求函数)()(nnxxfn.处的导数

6、在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limx说明：说明：对一般幂函数yx( 为常数) 1()xx 例如，例如，)(x)(21 x2121 xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后将证明）hxhxhsin)sin(lim0例例3. 求函数xxfsin)(的导数. 解解:,xh令则)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即xxcos)(sin类似可证得xxsin)(cos

7、h目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax xxee )( 特别地，特别地，.lnaax )( xa目录 上页 下页 返回 结束 例例5 5.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa xx1)(ln 特别地，特别地，在点0 x的某个右右 邻域内单侧导数单侧导数)(xfy 若极限xxf

8、xxfxyxx)()(limlim0000则称此极限值为)(xf在 处的右右 侧导数侧导数,0 x记作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左左)(左左)0( x)0( x)(0 xf0 x定义定义2 . 设函数有定义,存在,0()fx000()()limxf xxf xx 定理定理1. 函数在点0 x)(xfy ,)()(00存在与xfxf且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf简写为若函数)(xf)(af)(bf与都存在 , 则称)(xf在开区间 内可导,),(ba在闭区间 上可导.,ba可导的充分必要条件充分必要条件是且目录 上页

9、下页 返回 结束 例例6 6.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy三、三、 导数的几何意义导数的几何意义曲线)(xfy 在点),(00yx的切线斜率为)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲线过上升;若,0)(0 xf曲线过下降;xyo0 x),(00yx若,0)(0 xf切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf

10、切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xf,)(0时 xfxyo)(xfy ct0 xmxy0 xo目录 上页 下页 返回 结束 例例7 7求等边双曲线 在点 处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程 1yx1( ,2)2解 所求切线及法线的斜率分别为21yx 11221()4,xkx 21114kk 所求切线方程为 124()2yx 即440 xy 所求法线方程为112()42yx 即28150 xy目录 上页 下页 返回 结束 练习练习01232x xxyx x320()

11、()fxx 求曲线的通过点(0 4)的切线方程 解解 设切点的横坐标为 则切线的斜率为0 x00003()2yxxx xx000034(0)2xxxx 34 44(4)2yx 于是所求切线的方程可设为 根据题目要求 点(0 4)在切线上 因此解之得 于是所求切线的方程为04x 即 3xy40 032x处可导在点xxf)(四、四、 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理2.处连续在点xxf)(证证: 设)(xfy 在点 x 处可导,)(lim0 xfxyx存在 , 因为yyxx 故00limlimxxyyxx 0所以函数)(xfy 在点 x 连续 .注意注意: 函数在点 x

12、 连续连续，但在该点但在该点未必可导未必可导.反例反例:xy xy 在 x = 0 处连续 , 但不可导.即xyo00limlimxxyxx 目录 上页 下页 返回 结束 例例8 8 讨论函数 01sin)(xxxf00 xx0 x处的连续性与可导性.解解： xxxfxx1sinlim)(lim0000)0(f所以 0)(xxf在处连续. 011/1/xy在目录 上页 下页 返回 结束 0)0()(lim)0(0 xfxffx由于xxxx01sinlim0 xx1sinlim0,此极限不存在 所以 0)(xxf在处不可导 内容小结内容小结1. 导数的实质:3. 导数的几何意义:4. 可导必连续

13、, 但连续不一定可导;5. 已学求导公式 :6. 判断可导性不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等. )(c()x )(sin x )(cosxaxf)(02. axfxf)()(00 )(lnx;01;x;cosx;sin xx1增量比的极限切线的斜率;(变化率变化率)()xe xe思考与练习思考与练习1. 函数 在某点 处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 区别:)(xf 是函数 ,)(0 xf 是数值;联系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么区别与联系 ? )()(00 xfxf？与导函数2. 设)(0 xf 存在 , 则._)()(lim000

14、hxfhxfh3. 已知,)0(,0)0(0kff则._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 若),(x时, 恒有,)(2xxf问)(xf是否在0 x可导?解解:由题设0)0(f0)0()(xfxfx0由夹逼准则0)0()(lim0 xfxfx0故)(xf在0 x可导, 且0)0( f5. 设0,0,sin)(xxaxxxf, 问 a 取何值时,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解: 显然该函数在 x = 0 可导 .)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a时,1)0( f此时)(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x

15、作业作业 p65 2 , 5 , 6, 7(1)第二节 思考题思考题 解解: 因为1. 设)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f 0(1)(1)1lim2xffxx 所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx) 1 (21f )(xf在 0 x处连续, 且xxfx)(lim0存在， 证明:)(xf在0 x处可导.证证：因为xxfx)(lim0存在， 则有)(lim0 xfx又)(xf在0 x处连续,0)0(f所以xxfx)(lim0即)(xf在0 x处可导.2. 设xfxfx)0()(lim0)0(f 故xxxfx)(lim00目录 上页 下页 返回 结束 则令,0hxt原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作:3. 设)(0 xf 存在, 求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: 原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf )(210 xf )(0 xf )( 2 )(0hhxf)(0 xf目录 上页 下页 返回 结束 牛顿牛顿(1642 1727)伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文学家和自然科学家. 他在数学上的卓越贡