《一元二次方程的实根分布问题》

1、一元二次方程的实根分布问题一元二次方程的实根分布问题问题问题 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求实数，求实数mm的的 取值范围。取值范围。条件条件1：若方程有两个正根。：若方程有两个正根。0)0(02304) 3(2mfmmm10 mOxy如右图知如右图知分析分析 设设f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+m条件条件2：若方程的两个根均小于：若方程的两个根均小于1。022) 1 (12304) 3(2mfmmm9m如右图知如右图知分析分析 设设f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+mOxy1问题问题 已知方程已知方程x x+(m+(m3)

2、x+m=)x+m=0，求实数，求实数mm的的 取值范围。取值范围。条件条件3：若方程的一个根大于：若方程的一个根大于1，一个根小于，一个根小于1。1m如右图知如右图知分析分析 设设f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+mOxy1022) 1 (mf问题问题 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求实数，求实数mm的的 取值范围。取值范围。条件条件4：若方程的两个根均在：若方程的两个根均在( ( 0，2) )内。内。023)2(0)0(223004)3(2mfmfmmm132 m如右图知如右图知分析分析 设设f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+

3、mOxy2问题问题 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求实数，求实数mm的的 取值范围。取值范围。条件条件5：若方程的两个根有且仅有一个在：若方程的两个根有且仅有一个在( ( 0，2) )内。内。132 m如右图知如右图知分析分析 设设f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+mOxy232m0)23()2()0(mmff3 3、12300)0(mf且1 1、22310)2(mf且2 2、由于由于1 1，2 2，3 3知知mm的取值范围是的取值范围是132 m问题问题 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求实数，求实数mm的的 取值范

4、围。取值范围。条件条件6：若方程的一个根在若方程的一个根在( (2 ，0) )，另一个根，另一个根 在在( (0 ，4) )。045)4(0)0(010)2(mfmfmf054m如右图知如右图知分析分析 设设f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+mxOy42问题问题 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求实数，求实数mm的的 取值范围。取值范围。条件条件7：若方程的一个根小于若方程的一个根小于2，另一个根大于，另一个根大于4。045)4(023)2(mfmf54m如右图知如右图知分析分析 设设f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+mOxy24

5、问题问题 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求实数，求实数mm的的 取值范围。取值范围。条件条件8：若方程有一个正根，一个负根且正根若方程有一个正根，一个负根且正根 的绝对值较大。的绝对值较大。0230)0(mmf0m如右图知如右图知分析分析 设设f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+mOxy问题问题 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求实数，求实数mm的的 取值范围。取值范围。 一元二次方程的根，其实质就是其相应二次函数的图象一元二次方程的根，其实质就是其相应二次函数的图象与与x x轴交点的横坐标，因此，可以借助于二次函数及其

6、图象，轴交点的横坐标，因此，可以借助于二次函数及其图象，利用数形结合的方法来研究一元二次方程的实根分布问题，利用数形结合的方法来研究一元二次方程的实根分布问题，下面通过例题具体情况来说明。下面通过例题具体情况来说明。设二次方程设二次方程 )0(02acbxax的二实根为的二实根为 )(,2121xxxxacb42方程对应的二次函数为方程对应的二次函数为 )0()(2acbxaxxf小结小结两个根均小于两个根均小于k k两个根均大于两个根均大于k k一个根小于一个根小于k k，一个根大于一个根大于k k。Oxyk0)(20kfkabOxyk0)(20kfkabxOyk0)(kf小结：小结：一般地

7、，一元二次方程一般地，一元二次方程axax+ +bxbx+c=0(a0)+c=0(a0)的实根分布的实根分布两个根均在两个根均在 (m(m，n)n)内内X X1 1(m(m，n)n) ，X X2 2(p(p，q)q) 。0)(0)(20nfmfnabm小结：小结：一般地，一元二次方程一般地，一元二次方程axax+ +bxbx+c=0(a0)+c=0(a0)的实根分布的实根分布0)()0(nfmf两根均在两根均在mm，nn外两旁外两旁OxynmnOxymOxypmqn0)(0)(0)(0)(qfpfnfmf小结：小结：一般地，一元二次方程一般地，一元二次方程axax+ +bxbx+c=0(a0)

8、+c=0(a0)的实根分布的实根分布两个根有且仅有一个在两个根有且仅有一个在(m(m，n)n)内内0)()(nfmf220)(nmabmmf 且或或nabnmnf220)(且或或nOxymnOxymnOxym注意：注意： 由函数图象与由函数图象与x x轴交点的位置写出相应的充要条件，一般轴交点的位置写出相应的充要条件，一般考虑以下三个方面：考虑以下三个方面： 判别式判别式 的符号；的符号； acb42对称轴对称轴 abx2的位置分布；的位置分布； 二次函数在实根分布界点处函数值的符号。二次函数在实根分布界点处函数值的符号。 k课堂练习：课堂练习：1. 1.若方程若方程7x7x(m+13)x+m(m+13)x+mmm2=0在区间在区间( (0，1) 1)、 (1 (1，2) )上各有一个实根，求实数上各有一个实根，求实数mm的取值范围。的取值范围。 )4 , 3() 1, 2(2.2.若方程若方程2x x(m(m2)x2)x2mmm=m=0的两根在区间的两根在区间 0，1 1 之外两旁，求实数之外两旁，求实数mm的取值范围。的取值范围。), 1 ()2,(4.4.若方程若方程x x2mx+m2mx+m1=1=0在区间在区间( (2 2，4)4)上有两根，上有两根， 求实数求实数mm的取值范