【开题报告】凸函数的开题报告

1、凸函数的开题报告一、文献综述凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen1905著述中。它在纯 粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策 论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。为了理论 上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。凸函数有许多良好的性质，例如，其中一个很重要的性质就是：在凸集 中，凸函数的任何局部最小也是全局最小。它在数学的许多领域中都有着广泛 的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科 的理论基础和有力工具。但是凸函数的局限性也很明显，因为在实际问题中，大量的函数都是非凸 的。为了理论上

2、的突破，加强它们在实践中的应用，20xx年代中期产生了凸分 析，凸函数的概念也按多种途径进行推广，或对于抽象空间的推广，或对于上 面提到的不等式的推广，然后提出了广义凸函数的概念。20xx年代后期，先是 有Mangasarian把凸函数的概念推广到拟凸函数(quasi-convexfunctions)和伪凸函 数(pseudo-convexfunctions)。我们知道，在数学规划的理论及算法中，函数的凸 性只是一个充分条件，而不是必要条件。如何推广函数的凸性概念，使得在更 广泛的函数范围内，凸函数的许多重要性质仍然得以保留，凸规则的大多数结 果能推广到非凸规则，己构成了数学规划研究领域的当前

3、趋势之一，所以研究 广义凸函数的一些定义和性质就显得十分必要了。拟凸函数(quasi-convexfunctions)是一类非常重要的广义凸函数,己有大量 文献对此作了研究，拟凸函数可以定义为：如果对任意及任意的，有，则称 为上的拟凸函数。先是杨新民教授给出了拟凸函数、严格拟凸函数及强拟凸 函数的性质，讨论了他们之间的关系，得到了某些有意义的结论。拟凸函数的 定义具有多种形式且相互之间有等价关系。同时又有许多专家研究拟凸函数的 上半连续性和下半连续性。伪凸函数(pseudo-convexfunctions)是另一类重要的 广义凸函数，其中强伪凸函数和严格伪凸函数尤其被数学工作者所研究o强伪 凸

4、函数恰好是二次函数的严格伪凸性的推广，所有关于二次函数严格伪凸的特 征同样也是二次函数强伪凸的特征。二、立题背景及意义凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen1905著述中。它在纯 粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策 论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。为了理论 上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。本文主要是研究几 类凸函数的性质与应用。探讨拟凸函数、严格拟凸函数及强拟凸函数的定义、 性质以及这三类函数之间相互转换的充分必要条件，也讨论拟凸函数的连续性 和可微性。同时也对强伪凸函数性质进行研究，得到一些有意义的

5、结论。凸函数是一类重要的函数，在数学的许多领域中都有着广泛的应用，但是 它的局限性也很明显。如何推广函数的凸性概念，使得在更广泛的函数范围 内，凸函数的许多重要性质仍然得以保留，所以研究广义凸函数的一些定义和 性质就显得十分必要了。三、研究内容与研究方法研究内容：一是对研究的背景和意义进行分析论述，二是对凸函数的定义 及其相互关系分析论述，三是对凸函数的性质分析，四是对凸函数的应用分 析。i/i研究的方法：主要是运用了文献综述的理论论述和定量分析的方法，具体 步骤为：1 .查阅有关凸函数的性质与应用的书籍和文献资料，结合教学实习了解中学 数学教学中教师对凸函数的性质与应用及效果情况，对其过程、

6、环节和情况做 出分析。2 .写出开题报告，指出现今文献中对凸函数的性质与应用的探讨研究情况， 分析文献资料，并基于文献提出有关值得探讨和挖掘的问题，列出论文提纲。3 .在论文写作过程中注意理论与实践相联系，解决提出的问题，寻求恰当切 入点，进行论述，并提出自己的论点和相关的改革建议。4 .参加论文答辩四、预期结果（预期达到的技术性能指标及提供的成果形式）本文研究几类广义凸函数的定义和性质。探讨拟凸函数、严格拟凸函数及 强拟凸函数的定义、性质以及这三类函数之间相互转换的充分必要条件，也讨 论拟凸函数的连续性和可微性。同时也对强伪凸函数性质进行研究，得到一些 有意义的结论。五、参考文献列表1. 刘

7、三阳.凸函数的新发展J.西安电子科技大学学报,1990, 17：4548.2. LIU Xuefei, HU Xiahong. Some Control Inequalities for Generalized Convex FunctionJ. 2019.3. Neculai Andrei.Convex functions J. 2019.4.邱根胜.拟凸函数的几个性质J.南昌航空工业学院学报,1998,1998(2卜 3639.5 .郝彦.关于拟凸函数几个定义的讨论J.浙江海洋学院学报,2019, 21： 388390.6 .杜江.函数广义凸的充要条件J.江汉石油学院学报,1994, 16

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