2020年北京市西城区高考数学一模试卷Word解析版

1、2020年高考数学一模试卷、选择题（共10小题）.侧UO觊帕A . 2? ?且？?V?SC . ?/?且?/? ?B . 2 ? ?且？Q?ESD . ?>? ?且？历?1.设 A = xxv 3, B = xx V 0,或 x> 2,贝U A B =()A (-,0)B.( 2, 3)C (-,0)(2, 3)D.(-,3)2.若复数Z=(3- i)(1 + i),则 |z|=()A. ?/?B. ?/?C. /?D . 203.下列函数中,值域为R且为奇函数的是（)A . y= x+2B. y= SinxC . y= X - x3D . y= 2x4设等差数列an的前n项和为S

2、n,若a3= 2,a1+a4= 5,贝V S6=()A. 10B. 9C . 8D . 75.设 A (2,-1), B（4, 1）,则以线段AB为直径的圆的方程是（)A .( X - 3)2+y2= 2B.( X - 3) 2+y2= 8C.( x+3)2+y2= 2D .( x+3) 2+y2= 86.设 a, b, C为非零实数，且a> c, b> c,则( )?+?1 1 2A . a+b > CB. ab> CC.> ?D . 一 + > -2 ? ? ?7.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）8设? ?为非零向量，则“

3、 I?+ ? = I?+ |?”是"？与?共线”的（）A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件9已知函数？?(?= 1+2?的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是() 绕着X轴上一点旋转180 ° ； 沿X轴正方向平移； 以X轴为轴作轴对称； 以X轴的某一条垂线为轴作轴对称.SJII t ,IiVIl,I UIC;iJA .B .C .D .?+ ? ?w ?10.设函数f (X) = ，若关于X的方程f (X) = a (aR)有四个实|?>?数解 Xi ( i = 1 , 2,

4、3 , 4),其中 X1V X2V X3V X4,则(X1+X2)( X3- X4)的取值范围是 ( )A.( 0, 101B.( 0, 99C.( 0, 100D.( 0, + )二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11 .在(?+ 1?的展开式中，常数项为 .(用数字作答)12.若向量？?= (?尹，?, ?=(?, ?满足?<?则实数X的取值范围是 .13 .设双曲线? - ? = ?(?>?)的 一条渐近 线方程 为?= 2 ?则双曲线的离心率4?!' 丿2为.?14. 函数?(?= ?(?的最小正周期为 ;若函数f ( x)在区间(0, a)上单调递

5、增，则a的最大值为.15. 在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为70% ,女生成绩从优秀率为50% ;乙校男生成绩的优秀率为60% ,女生成绩的优秀率为40% ,对于此次测试，给出下列三个结论： 甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率； 甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率； 甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共85分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16.如图，在四棱柱 ABCD - AiBiCiDi中，AAi 平

6、面 ABCD ,底面ABCD满足AD / BC,且 AB = AD = AAi = 2, BD = DC = 2?(I)求证：AB丄平面ADDiAi;17.已知 ABC满足()求直线 AB与平面BiCDi所成角的正弦值.,且b= ?A=攀求SinC的值及 ABC的面积.从B= 4;a= ?a= 3PsinB这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.i8.20i9年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有 50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随 机选取20人进行英语

7、水平测试，所得成绩(单位：分)统计结果用茎叶图记录如图：(I)试估计在这 50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；()从选出的8名男生中随机抽取 2人，记其中测试成绩在 70分以上的人数为 X ,求 X的分布列和数学期望；(川)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于 5000),并在每组中随机选取 m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有 i人的英语测试成 绩在70分以上的概率大于90% .根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值.(结 论不要求证明)IJJ4735Q *614T1356 S5£1M19. 设函数 f (X)=

8、alnx+x2-( a+2) x,其中 aR .?(I)若曲线y= f (X)在点(2, f (2)处切线的倾斜角为，求a的值；4()已知导函数 f' (X)在区间(1, e)上存在零点，证明：当 x (1, e)时，f (x) > -e2.20. 设椭圆？ ?+ ?= ?直线l经过点M (m, 0),直线2经过点N (n, 0),直线 1 /直线2,且直线11、2分别与椭圆E相交于A, B两点和C, D两点.(I)若M , N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线l1 X轴，求四边形ABCD的面积； ()若直线l1的斜率存在且不为 0,四边形ABCD为平行四边形，求证： m+n =

9、0； (川)在()的条件下，判断四边形 ABCD能否为矩形，说明理由.21. 对于正整数n,如果 k (kN*)个整数a1,a2,ak满足 1 a1 a2akn,且a1+a2+ak = n ,则称数组(a1, a2,，ak)为n的一个"正整数分拆”.记a1, a2,， ak均为偶数的“正整数分拆”的个数为fn; a1, a2, ak均为奇数的“正整数分拆”的个数为gn .(I)写出整数 4的所有“正整数分拆”；()对于给定的整数 n (n 4),设(a1, a2, ak)是n的一个“正整数分拆”， 且a1= 2 ,求k的最大值；(川)对所有的正整数 n,证明：fn gn ；并求出使得

10、等号成立的 n的值.(注：对于n的两个“正整数分拆”(a1,a2,ak)与(b1,b2,bn),当且仅当k = m且a1 = b1 , a2= b2,，ak= bm时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，复合题目要求的一项1. 设 A = xxv 3, B = xx V 0,或 x> 2,贝U A B =()A .(-, 0)B. ( 2, 3)C.(-,0)( 2, 3)D.(-,3)【分析】进行交集的运算即可.解： A = xxV 3, B = xxv 0,或 X > 2,. A B =(-,0

11、)( 2, 3).故选：C.2. 若复数 z=( 3- i)( 1 + i),则 z=()A . ?访？B . ?访？C . V?D . 20【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.解：T z=( 3 - i)( 1 + i)= 4+2i,.z= 刃+ ?= ?/?故选：B.3. 下列函数中，值域为 R且为奇函数的是()A . y= x+2B. y= SinxC. y= X - x3D. y= 2x【分析】分别结合奇偶性及函数的值域判断各选项即可求解.解：A: y= x+2为非奇非偶函数，不符合题意；B: y= Sinx的值域-1, 1,不符合题意；C： y= X -

12、 x3为奇函数且值域为 R,符合题意；D: y= 2x为非奇非偶函数，不符合题意.故选：C.4. 设等差数列an的前n项和为Sn,若a3= 2, a1+a4= 5,则S6=()A . 10B . 9C . 8D . 7【分析】先求出公差，再根据求和公式即可求出.解：等差数列an的前n项和为Sn,若a3= 2, a1+a4= 5, a3 - 2d+a3+d = 5,. 4 d= 5,解得d=- 1,a= 2+2 = 4, a6= a+5d = 4- 5=- 1,.S6= 6（?1+?6）= 6 × （4-1） = 92 2 ,故选：B.5设A （2, - 1）, B （4, 1）,则以

13、线段 AB为直径的圆的方程是（）A . （ X- 3）2+y2= 2B.（ X - 3）2+y2= 8C. （ x+3） 2+y2= 2D. （ x+3） 2+y2= 8【分析】由题意求出直径，进而求出半径，再求中点坐标，进而求出圆的标准方程.解：弦长AB= （? ?+（?+ ?= 2?所以半径为?中点坐标（3, 0）,所以圆的方程（X- 3） 2+y2= 2,故选：A.6.设a, b, C为非零实数，且 a> c, b> c,则（）A . a+b > CB. ab> c2?+?112C.> ?D. - +>2?【分析】禾U用不等式的可加性得a+b>2

14、c,由此可判断选项 C正确.解：T a>c, b>c, a+b > 2c,?+? > ?2故选：C.7.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）止（主）视圈A . 2? ?且？?J? SC . ?/?且?/? ?B . 2 ? ?且 7SD . ?>? ?且？/?【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出个各棱长. 解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体, 如图所示：所以：AB = BC = CD = AD = DE = 2,AE = CE = 2? BE = V（?V?y?+ ?= ?/?故选：D.8设? ?为非零向量

15、，则"|?+ ? = I?+ |?”是"？与？共线”的（）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.解：若 “ |?+ ? = I? + I?"，平方得?+2? ?+ ?= ?+2|? |?t+ + ?,即? ?=|?|? 又? ?=I?|?cosB=I?I?,则cos = 1, 即卩= 0 ,则"？与？共线”，即充分性成立，当= 时满足“ ？与？共线”，但I?+I?> I+ ?,即必要性不成立，即“ i+ ?=?+ i?”是“ 与共线

16、”的充分不必要条件，故选：A.9.已知函数？?（?= +；的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是（） 绕着X轴上一点旋转180 ° ; 沿X轴正方向平移； 以X轴为轴作轴对称； 以X轴的某一条垂线为轴作轴对称.JLr丨丨11 II!丨IIjI1II ；丨IIIIUlUI丿IJOtIiii IA .B .C .【分析】结合图象直接观察得解.解：由图象可知，函数 f (X)具有周期性，且有对称轴，故正确.故选：D.?+ ?w ?10.设函数f (X)= ，若关于X的方程f (X)?>?数解 Xi ( i = 1 , 2, 3, 4)

17、,其中 Xiv X2V X3V X4,则(X1+X2)( ( )A.( 0, 101B.( 0, 99C.( 0, 100【分析】由函数的图象及性质判断出X1 , X2 , X3, X4之间的关系，为函数y= X- 1在丄，1)上取值范围，即可得到所求范围.? 10?+ ? ? ?解：函数f (X) = ,的图象如右：|? A?D.=a (aR)有四个实X3- X4)的取值范围是D .( 0, + )进而把所求式子转化关于X的方程f (X)= a (a R)有四个实数解， 可得y= f (X)的图象与直线y= a有四个交点， 可以判断 0v a 1, X1+X2= 2×(- 5)=

18、10,lgx3= g4 1,口 1且一X3V 1, 1 vX4 10,可得-lgx3= lgx4,10即 lgx3+lgx4= 0,即有 X3X4= 1 ,?'1故 ( Xl + X2)( X3 - X4)=- 10 ( X3-又由函数y= X- 1在,1）上递增，? 10可得函数y= X-在丄，1）上的值域为-9.9, 0）,? 10可知-10 （X3- ?）的取值范围为（0, 99.故选：B.二、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分.11.在（?+扌?的展开式中，常数项为20 .（用数字作答）【分析】求出通项，并令X的指数为零即可.解：？?+?= ?"?= ?裁

19、?-?令 6 - 2k= 0 得，k= 3.常数项为T4= ?第=?故答案为：20.12.若向量?= (?, ?, ?=(? ?满足?Z ?则实数X的取值范围是(-3, 1)【分析】先利用向量数量积的坐标运算得出r?再解关于X的不等式即可.解：因为：向量?=（? ?, ?= （? ?） k >, , P k > /2 c ?= X +2x;2 ?< ? x2+2x< 3? - 3v X V 1;故实数X的取值范围是：(-3 , 1) 故答案为：(-3 , 1).13 .设双曲线_予=?(?2?的一条渐近线方程为？?= 2 ?则双曲线的离心率为v62 一【分析】根据题意，

20、由双曲线的渐进性方程分析可得b,进而由双曲线的几何性质可得C ,由双曲线的离心率公式计算可得答案.解：根据题意，双曲线? -= ?(?>?的一条渐近线方程为？?= * ?则有?= V,解得b= v?又a= 2,所以C= V?2 2则该双曲线的离心率 e= 6;2故答案为：v6.2?14. 函数?(?= ?(?4?的最小正周期为 ；若函数f (X)在区间(O , a)上单调?递增，贝U a的最大值为一.8 【分析】由题意利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论.?解：函数?(?= ?(?的最小正周期为；若函数f( X)在区间(O , a)上单调递增，r , ? ? , , ? ?当 X =

21、O 时，2x+ ?= ?当 X= a 时，2x+ ' = 2a+ 7 4444? ? 一 ? 2a+ 4 2， O< a 8?故答案为：; 一.815. 在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有 100名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为70% ,女生成绩从优秀率为 50% ;乙校男生成绩的优秀率为60% ,女生成绩的优秀率为40% ,对于此次测试，给出下列三个结论： 甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率； 甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率； 甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确的序号是【分析

22、】根据给出条件，利用统计学知识逐一加以判断.解：由题意得，甲校学生成绩优秀率在 50%与70%之间，乙校学生成绩的优秀率在 40%与60%之间，不能确定哪个学校的优秀率大，错误； 甲乙两校所有男生的优秀率在60%与70%之间，甲乙两校所有女生成绩的优秀率在40%与50%之间，所以甲乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲乙两校所有女生成绩的优秀率，正确； 甲校学生成绩的优秀率与学校的男女生的比例有关，不能由甲乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系确定，正确；所有正确的结论序号是.故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共85分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16.如图，在四棱柱 ABCD -

23、AiBiCiDi中，AAi 平面 ABCD ,底面ABCD满足AD / BC,且 AB = AD = AAi = 2, BD = DC = 2?(I)求证：AB丄平面ADD iAi；()求直线 AB与平面BiCDi所成角的正弦值.,AB丄AD ,由此能证明 AB丄平面 ADDiAi.()以A为原点，AB为X轴，AD为y轴，AAi为Z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 AB与平面BiCDi所成角的正弦值.解：（I）证明：在四棱柱ABCD - AiBiCiDi 中，AA i平面 ABCD ,底面 ABCD 满足 AD / BC,且 AB = AD = AAi = 2, BD = DC =

24、 2? AB 丄 AA, AB2+AD2= BD2, AB 丄 AD ,AA AD = A, AB 丄平面 ADD A.（）解：以 A为原点，AB为X轴，AD为y轴，AAi为Z轴，建立空间直角坐标系,A（ 0，0，0），B（2，0，0），Bi（ 2, 0，2），C（2, 4, 0），Di（ 0，2，2），Sin = |?|?22 666 ?= (2，0， 0)，?= (o，4，2)，?=(-2, 2, 2),设平面BiCDi的法向量为？?= （X，y，z)， _ ?= -?+ ?S ?取y= i,得?=(i, i, 2),?>= -?- ? ?S ?设直线AB与平面BiCDi所成角为,则

25、直线AB与平面BiCDi所成角的正弦值为:?i7.已知 ABC满足 ，且b= ?A= 2?；求SinC的值及 ABC的面积.从B=刁；a= ?a= 3SinB这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【分析】选，由SinC= Sin （A+B），利用正弦的和角公式展开求解即可得到SinC，再?承+ 4?=由正弦定理求得 a ,由此即可求得三角形面积.解:选，由 A+B+C= 可知，？=?+ ?) = ?+?) =2?2? 32i>6- ?9?+ ?>=××=-343 4 22224?v6由正弦定理有= ，即

26、=?解得a= 3,? ? ?3'46- 29-3 3?× v?X厂=1? ? 2?18. 2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有 50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位：分)统计结果用茎叶图记录如图：80分以上的女生人数;70分以上的人数为 X ,求(每组人数不少于5000),(I)试估计在这 50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在()从选出的8名男生中随机抽取 2人，记其中测试成绩在X的分布列和数学期望；(川)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者

27、随机分成若干组并在每组中随机选取 m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有 1人的英语测试成以频率作为概率，给出m的最小值.(结绩在70分以上的概率大于90% .根据图表中数据,论不要求证明)IJJ4737Q W6S61斗1356 a512【分析】(I)由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为一=?再20求出结论即可；(II )根据题意，选取的 8名男生中，成绩在 70分以上的有3人，70分及其以下的有 5人，X = 0, 1, 2,求出分布列和数学期望;(Hl )根据题意，求出即可.解：2(1)由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有 2人，占比为一=?20在这50万青年学生志

28、愿者中，英语测试成绩在 80分以上的女生人数约为50× 0.1= 5万人；(Il )由图表得，选取的 8名男生中，成绩在 70分以上的有3人，70分及其以下的有 5 人，记其中测试成绩在 70分以上的人数为 X,选出的8名男生中随机抽取 2人，则X = 0,1 ,2,则 P( X = 0)P (X= 1)=P (X= 2)=X的分布列如下:15142828故 E (X)= 0?令+?4| +?唱=3(HI) m的最小值为4.19.设函数 f (X)= alnx+x2 (a+2) x,其中a 、选择题.(I)若曲线y= f (X)在点(2, f ( 2)处切线的倾斜角为?,4求a的值;

29、()已知导函数 f' (X)在区间(1, e)上存在零点，证明:x (1, e)时，f (x)>e2.?【分析】(I)求出函数在 X= 2处的导数f'( 2) = - ?'+ 2= tan =1 ,解得a= 2;24?()根据导函数在(1, e)上存在零点，贝y f'(X )= 0在(1, e)上有解，则有1 V三V e,即2v av 2e,得到函数f (x)的最小值，构造函数g( X) = XlnX- ? - (1 + ln2) X,42v XV 2e,利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证.【解答】(I)解：根据条件f'( X) = ?+

30、 2x ( a+2),则当X= 2时，f'? ? .(2) =2 + 4( a+2) = - 2 +2= tan； = 1 ,解得 a = 2;()证明：因为f'( X) = ?+ 2x -( a+2) =(2?-?)(?-1)又因为导函数f'(x)在(1, e)上存在零点,?所以f'( X)= 0在(1, e)上有解，则有1V 2 V e,即2v a V 2e,且当 IVX V?时f'( X)V0,f(X)单调递减，当JV XV e 时，f'(X)> 0 , f ( X)单调递增,所以? ?o<2f (x) f (一)= an_?+

31、 一 - ?' (a+2) = ana- ?- (1 + n2) a,22424?(X)= xnx- ?-(1 + n2) X, 2 V XV 2e,4? ?(X) = nX+1- 2'- (1 + n2)= InX-才 n2,g ''( X) =1 V0,所以g '( X)在(2, 2e)上单调递减,所以g (X)在(2, 2e)上单调递减,则 g (2e)= 2eln2e e2 - 2e (1 + 1 n2)= e2v g (2),所以 g (X) > e2,则根据不等式的传递性可得，当X (1, e)时，f (X)>-e2.2 20.设

32、椭圆？ ?+ ?= ?直线|1经过点M ( m, 0),直线2经过点N (n, 0),直线1 /直线12,且直线1、|2分别与椭圆E相交于A, B两点和C, D两点.(I)若M , N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线 X轴，求四边形 ABCD的面积;()若直线1的斜率存在且不为 0,四边形ABCD为平行四边形，求证:m+n = 0;(川)在()的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由.【分析】(I)易知，此时四边形ABCD为矩形，且|?F ? |?F?由此求得面积;()设直线的方程，并与椭圆方程联立， 可得到AB的长度，同理可得ICDl的长度,由AB= |CD|,可得m2= n2,进而

33、得证;(川)运用反证法，假设平行四边形ABCD为矩形，但此时推出直线 X轴，与题设矛盾，进而得出结论.解：(I)由题意可得，I ? F ?x#= ? I ? F I ? I= ? ?且四边形 ABCD为矩形,. ?四边形? | ? | ? F ?()证明：由题可设，丨1： X= ty+m (tR), A ( X1, y1), B (X2, y2),?F ? 由?+ ?= ?得,( "+2) y2+2mty+m2- 2= 0, ?+ ?3?f - "2?, ?_?= ? ,且厶=4m2t2-4( t2+2) ( m2-2) > 0,即 t2- m2+2?+2?+2|?F

34、 ? ?(?+ ?- ?= ?+ ? (2?2 2?I= ?B B By/ B B B?+21+?乡. V . ?+2 同理可得 |?= ? 1+?- ?/?_?+?V ?+2四边形ABCD为平行四边形，AB= |CD| ,即 m2= n2,由m n,故m= - n,即m+n = 0，即得证;(川)不能为矩形，理由如下:点O到直线Ii,直线12的距离分别为1?1 1+?2>1?1 1+?2>，由()可知，m=- n,点O到直线Ii,直线2的距离相等，根据椭圆的对称性，原点O应为平行四边形 ABCD的对称中心,假设平行四边形 ABCD为矩形，则IoAI= OB,那么?家+ ?暮=禳+ 凉则?+ ?-竽=?孑+ ?-孚 Xi = X2,这是直线1X轴，这与直线Ii的斜率存在矛盾，故假设不成立，即平行四边 形ABCD不为矩形.21.对于正整数 n,如果 k (kN*)个整数 ai, a2, ak满足 i a a2 ak n,且 a+a2+ak = n ,则称数组