2020年中考数学培优专题：四边形压轴专练(含答案)

1、2020年中考数学 培优专题:四边形压轴专练1 .如图，在平行四边形 ABCDK / BAD勺平分线交 BC于点E,交DC的延长线于F,以ECCF为邻边作平行四边形 ECFG(1)证明平行四边形 ECFO菱形；(2)若/ ABC= 120 ,连结 BG CG DG求证： DGCA BGE求/ BDG勺度数；(3)若/ ABC= 90 , AB= 8, AD= 14, M是 EF的中点，求 DM勺长.2 .如图，在平行四边形 ABCD, E、F分别为边 AB CD的中点，BD是对角线，过点 A作AG/ B改 CB的延长线于点 G(1)求证：DB BF.(2)若/ G= 90° .求证：

2、四边形 DEB提菱形；当AG= 4, BG= 3时，求四边形 DEBFF勺面积.3 .如图1,在矩形 ABCW,点P是BC边上一点，连接 AP交对角线 BD于点E, BP= BE作线段AP的中垂线 MN别交线段 DC DB AP AB于点M G F, N.(1)求证：/ BAP= / BGN(2)若 AB= 6, BC= 8,求电；EF(3)如图2,在(2)的条件下，连接 CF,求tan /CFM勺值.4.如图所示，已知正方形 ABC时正方形AEFG连接DG BE (1)发现：当正方形 AEFGg点A旋转，如图所示.线段DG与BE之间的数量关系是 ;直线DG与直线BE之间的位置关系是 ；(2)

3、探究：如图所示，若四边形 ABCDI四边形AEFGTB为矩形，且 AD= 2AB AG= 2AE 时，上述结论是否成立，并说明理由.(3)应用：在(2)的情况下，连接 BG DE若AE= 1, AB= 2,求BG+DE的值(直接写出结果)5 .在四边形ABCM, E为BC边中点.(I)已知：如图 1,若AE平分/ BAD /AE氏90° ,点F为AD上一点，AF= AB求证：(1) ABE AFE(2) AD= ABfCD(n)已知：如图 2,若AE平分/ BAD DE平分/ ADC / AED= 120° ,点F, G均为AD上的点，AF= AB GD= CD求证：(1)

4、 GE耽等边三角形;6 .如图将正方形 ABC酷点A顺时针旋转角度 “(0° vav 900 )得到正方形 AB' C D'(1)如图1, B' C'与AC交于点 M C D'与AD所在直线交于点 N若MIN/ B' D',求a ；(2)如图2, C B'与C或于点Q延长C B'与BC交于点P,当a = 30。时.求/ DAQ勺度数；若AB= 6,求PQ的长度.图1图27 .如图，在梯形 ABCW, AD/ BG Z C= 90° , AD= 2, BC= 5, DG= 3,点 E在边 BC上， tan

5、 Z AEC= 3,点M是射线DC±一个动点（不与点 D C重合），联结BM交射线AE于点N, 设 DM= x, AN= y.（1）求BE的长；（2）当动点M在线段DC±时，试求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当动点M运动时，直线 BM与直线AE的夹角等于45° ,请直接写出这时线段 DM的 长.8 .在正方形 ABCW, AB= 6, M为对角线BD上任意一点（不与 B、D重合），连接CM过点M作MN_ CM交AB（或AB的延长线）于点 N连接CN感知：如图，当 M为BD的中点时，易证 C0 MN （不用证明）探究：如图，点 M为对角线BD上任

6、一点（不与 B D重合）.请探究MNW CM勺数量关 系，并证明你的结论.应用：（1）直接写出 MNC勺面积S的取值范围 ;（2）若DM DB= 3: 5,则AN与BN的数量关系是 .DC DC图 图9 .矩形ABCD3, AB= 2, AD= 4,将矩形 ABC晓点C顺时针旋转至矩形 EGCF其中E GF分别与A B、D对应).(1)如图1,当点G落在AD边上时，直接写出 AG的长为(2)如图2,当点G落在线段AE上时，AD与CG交于点H,求GH的长；(3)如图3,记O为矩形ABCD寸角线的交点，S为AOGE勺面积，求S的取值范围.10 .如图，已知在 Rt ABO43, / C=90

7、76; , AC= 8, BC= 6,点 P、Q分别在边 AC 射线 CB 上，且AP= CQ过点P作PMLAB,垂足为点 M 联结PQ以PM PQ为邻边作平,行四边 形PQNM设AP= x,平行四边形 PQNMJ面积为y.(1)当平行四边形 PQN阮矩形时，求/ PQM勺正切值；(2)当点N在ABCft,求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域;(3)当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形 PQN册边的中点时，直接写出x的值.11 . (1)问题探究：如图，在四边形ABCM, AB/ CD E是BC的中点，AE是/ BA曲平分线，则线段 AB AD DC之间的等量关系为 ;(2)方法迁移：

8、如图，在四边形 ABC珅，AB/ CD AF与DC的延长线交于点 F, E是BC的中点，AE是/ BAF的平分线，试探究线段 AB, AF, CF之间的等量关系，并证明你的 结论；(3)联想拓展：如图， AB/ CF E是BC的中点，点 D在线段AE上，/ EDF= / BAECF之间的数量关系，并证明你的结论.试探究线段AB, DF12.如图，在菱形 ABCD3,对角线 AC与BD相交于点 M已知BC= 5,点E在射线BC上， tan / DCE=f，点P从点B出发，以每秒2d后个单位沿BD万向向终点 D匀速运动，过点P作PQL BD交射线BC于点Q以BP BQ为邻边构造？PBQF设点P的运

9、动时间为t (t >0).(1) tan / DBE=;(2)求点F落在CD上日t的值；(3)求？PBQ臼BCD1叠部分面积 S与t之间的函数关系式；(4)连接？PBQFF勺对角线BF,设BF与PQ于点N,连接MN当MNW ABC勺边平行(不 重合)或垂直时，直接写出t的值.0AD15.如图，已知 ABC中，/ ACB= 90° , AC= 4, BC= 3,点M N分别是边 AG AB上的动秒2个单位长度的速度向终点 B运动，点Q为线段AP的中点，过点P向上作PMLAB,且P阵3AQ以PQ PM为边作矩形 PQNM设点P的运动时间为t秒.(1)线段MP的长为 (用含t的代数式

10、表示).(2)当线段MNW边BC有公共点时，求t的取值范围.(3)当点N在ABCft部时，设矩形 PQNMT ABC®叠部分图形的面积为 S,求S与t 之间的函数关系式.(4)当点M到ABCe意两边所在直线距离相等时，直接写出此时 t的值.14.如图，在 ABC, / BAC= 90。，/ B= 45。，BC= 8.过点 A作 AD/ BC 且点 D在点 A的右侧.点P从点A出发沿射线 AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点 Q从点C 出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段 QCh取点E,使得Q9 2,连结 PE设点P的运动时间为t秒.(1)直接写出线段 AP, CQ的

11、长.(用含t的代数式表示)(2)当PE! BC时，求t的值.当t值取问结果时，判断四边形 APEQ勺形状，并说明理由.(3)是否存在t的值，使以A B E、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由.(4)若将点Q沿射线CBT向运动的速度改为每秒 a个单位，当四边形 APC助菱形时， 直接写出a的值.点，连接MN将AMN& MNf在直线翻折，翻折后点 A的对应点为A图图图0)(1)如图1,若点A'恰好落在边 AB上，且AN= yAC；求AM勺长;(2)如图2,若点A'恰好落在边 BC上，且A N/ AC试判断四边形 AMA N的形状并说明

12、理由；求AM MN勺长；(3)如图3,设线段NM BC的延长线交于点 P,当粤咔且粤=|时，求CP的长.AB 5 AC 7参考答案1 .解：（1）证明：. AF平分/ BAD / BAF= / DAF .四边形ABCDI平行四边形，. AD/ BC AB/ CD/ DAF= / CEF / BAF= / CFE ./ CEF= / CFE. CE= CF,又四边形ECFO平行四边形， 四边形ECFG;菱形；（2）四边形 ABCD1平行四边形, .AB/ DC AtDC AD/ BGABC= 120° , ./ BCD= 60° , / BCF= 120°由（1）知

13、，四边形 CEG陛菱形，. CE= GE / BCG=_BCF= 60° ,CG= GE= CE / DCG= 120° ,. EG/ DF, ./ BEG= 120° =Z DCG .AE是/ BAD勺平分线，/ DAE= / BAE. AD/ BC/ DAE= / AEB/ BAE= / AEB .AB BE, .BE= CDDG等 BGE （SAS;. DG仁 BGEBG= DG / BGE= / DGC .Z BGD= / CGE. CG= GE= CE .CEG1等边三角形， ./ CGE= 60° ,bG BGD= 60° ,. B

14、G= DG . BDG1等边三角形， ./ BDG= 60° ;(3)如图2中，连接BM MCG F133 /ABC= 90。，四边形ABCD1平行四边形, 四边形ABCD1矩形,又由(1)可知四边形 ECFM菱形，/ECF= 90 , 四边形ECF正方形. / BAF= / DAFBE= AB= DCM为EF中点, ./ CEIM= / ECIM= 45 , / BEIM= / DCM： 135 ,在 BM序口 DMCKrBE=CD /BEM =/DOI,L EM=CM.BM自 DMCSAS,/ DM8 / BME / BMD B BMEZ EMD D DMCZ EMD 90 ,

15、. BM国等腰直角三角形. . AB= 8, AD= 14,BA 2 . ! ，DM= BD-/130.2.证明：(1) 四边形 ABCDI平行四边形， .AB/ CD AB= CD E、F分别为AB CD的中点,DF=DC BE= -AB 12 DF/ BE, DF= BE 四边形DEB叨平行四边形，DE/ BF;(2): AG/ BDG= / DBC= 90 ,DBE直角三角形，又F为边CD的中点.BF= -DC= DF,又四边形DEB叨平行四边形，四边形DEBF1菱形；AD/ BG AG/ BD Z G= 90 ,四边形AGBDI矩形，S»AABL S>A ABG= 2

16、X 3 X 4 = 6 ,.E为边AB的中点，- S»abdE= ","'S»aabD= 3,，四边形 DEBF勺面积=2Sabde= 6.3.四边形ABC/矩形,/ ABC 90° , / BA2 / APB= 90°. BP BE. / AP& BEP= / GEF .M麻直平分线段 AP ./ GFE= 90° , ./ BGNZ GEF= 90 , / BAP / BGN(2)解：二四边形ABC/矩形，/BAD= /ABe 90° , AD/ BC AD= BC= 8,BO VaB2+AD2

17、= 762+32 =10，AD/ BC/ DAE= / APB. / APB= / BE2 / DEA/ DAE= / DEA .DA= DE= 8,BE= BP= BD- DE= 10-8=2,P VaB2+-BP2= ,6*/ = 2/10, .M麻直平分线段 APAF=PF= >/15， PB/ ADMLPB.2 1雨知54'. PE= PA=., 55 .EF= PF- P&i- 2M 10,55工二C二Z"即 3 3 ' 5(3)解：如图3中，连接AM MP设CMh x. /ADM /MCP90 , AB= CD= 6, AD= BC= 8,.

18、M麻直平分线段 AP,.MA= MP.aD+dMu pC+cMI82+ ( 6-x) 2=62+x2,16/ PFMh / PCM 90 , .P, F, M C四点共圆,Z CFMh / CPM_ f CM.tan / CFMktan / CFIVIkhr L4.解：(1)如图中, 四边形ABC口口四边形AEFO正方形，AE=AG AB=AD Z BAD=Z EAG= 90 ,Z BAE= Z DAG在 ABMA DAGK产ADZBAE=ZDAG,ae=ag/.A ABA DAG( SAS,. BE=DQ如图2,延长BE交AD于T,交DGF H.由知， ABA DAQZ ABE= Z ADG

19、 / ATBZABE=90° , .Z ATBZ AD(B=90 , Z ATB= Z DTHDTH/ADG 90 ° , ./ DHB=90 ,. BE1DQ故答案为：B&DG BE1DQ(2)数量关系不成立，DG=2BU位置关系成立.如图中，延长 BE交AD于T,交DGF H. Z BAO ZEAQAEFCWB为矩形,DAGAD=2ABAQ=2AE- A ABEA ADQ . Z ABE= Z ADQBEDG设 ET=x, Aly.GH AH AGETATAE=2,. DG=2BE . Z ATB-Z ABE=90 , .Z ATBZ AD=90 , / ATB

20、=Z DTH Z DTHZAD=90 , ./ DHB=90 , . BE1DQ (3)如图中，作 E7XAD于T, GHLBA交BA的延长线于 H. GH= 2x, AH= 2y,4x2+4y2= 4,x2+y2= 1,B(g+DEz= ( 2x) 2+ (2y+2) 2+x2+ (4-y) 2= 5x2+5y2+20= 25.5.(I )证明：(1)如图1中，. AE平分/ BAD/ BAE= / FAE在 abe AFE 中，'AB小，ZBAE=ZFAE, ;AE=AE. AB降 AFE (SAS,(2) .AB眸 AFE ./ AEB= / AEF be= bf. AE平分BC

21、be= ce. FE= CE . / AED= / AEF/ DEF= 90° , / AEB/ DEC= 90 ,/ DEF= / dec在 DE林口 de计，4 /DE F =N DEC,;DE=EEDEg DEC (SAS, .DF DC. A> AF+DF, .AD- A9CD BE= CE= 3BC2同(1)得： AB凄 AFE (SAS, ADE窿 DEC (SAS,，BE= FE, Z AEB= / AEF CE= EG / CEd /GED. BE= CEEF= EGZ AED- 120° , / AEB/ CEm 180° 120 = 60

22、 , ./ AEF+Z GE® 60 , ./ FEG= 60° , . FE%等边三角形.(2)由(1)可知 FG= GE= EF= yBC. AD- AGGHHD .AD- ABbCOyBC6.解：（1）如图1中, MIN/ B' D',，/C' MN= / C' B' D' =45 , / C' NMh Z C D' B' = 45Z C MN= / C NM.C' M C N,. C B = C D',.MB = ND ,. AB =AD' , Z AB Mh Z AD

23、N= 90° ,. .AB 庐 AD N (SAS,. / B' A阵 / D' ANB' AD = 90 , / MAN= 45 ,/ B' AMh / D' AN= 22.5 ,BAC= 45° ,b / BAB = 22.5 ,. a = 22.5 ;(2)如图2中,. Z AB Q= /ADQ= 90 , AQ= AQ AB = AD .RtAAQB RkAQD(HL), .Z QAB = / QAD . / BAB = 30 , / BAD= 90° ,.B' AD= 30° , .Z QAD=j

24、/B' AD= 30 .PB= a.如图2中，连接AP,在AB上取一点E,使得AE= EP,连接EP /ABa /AB P= 90 , AP= AP AB= AB',RtAAPB RtAAPB (HD, ./ BAP= / PAB = 15 ,. EA= EP, ./ EAP= / EPA= 15 .Z BEP= / EAR/ EPA= 30 , PE= AE= 2a, BE=/a,. AB= 6,2a+/a= 6,a= 6 (2 - </3).PB= 6 (2-t/3),PC= BC- PB= 6- 6 (2-右)=673-6, /CPQ/ BPB = 180 , Z

25、BAB +/ BPB = 180 ,./ CPQ= / BAB = 30 ,7. PO cag30如=12-4/l.解：（1）如图1中，作AHL BC于H. AD/ BC / C= 90 ./ AHC= / C= / D= 90° ,四边形AHC遑矩形，. AD= CHh 2, AHh CD= 3, . tan Z AEC= 3,.AHEH3,EH= 1, CE= 1+2=3,BE= BC- CE= 5- 3=2.(2)延长AD交BM的延长线于 GAG/ BC,DG DMCMBC .DGT.DG=m4 AG= 2+- Mr.AM； AGNEBEa/To-Y3一工x+12(0<x

26、<3).(3)如图3-1中，当点M在线段DC上时,B. EBNh EABBNE= / ABC= 45. E= ENAE2VIq(3-R) 4-12+x解得x=.如图3-2中，当点 M在线段DC勺延长线上时，/ AN&/ABE= 45.AB2= AE?AN，（M） 2=国?尺+平尸解得x= 13,综上所述DM勺长为方或13.8.DC产 货B图解：探究：如图中，过 M分别作MB AB交BC于E, MF/ BC交AB于F,则四边形BEMFI平行四边形,四边形ABCDI正方形， . Z ABG= 90° , / ABD= / CB段 Z BME45 , .ME= BE，平行四边

27、形 BEM屋正方形，.ME= MF .CML MN / CMN 90 , / FM号 90° , CM£ / FMN . MF阵 MEQ ASA, .MN= MC应用：（1）当点M与D重合时， CNM勺面积最大，最大值为 18,当DM= BM时， CNM勺面积最小，最小值为 9,综上所述，9< S< 18.（2）如图中，由（1）得 FM/ AD EM/ CD.AT CE DM 3_"AB BC BD 5'. AN= BC=6,AF= 3.6 , CE= 3.6 ,MF岫 MEC，FN= EC= 3.6,，AN= 7.2 , BN= 7.2 -

28、6=1.2 ,，AN= 6-BN故答案为AN= 6BN9.解：（1）如图1中，图1四边形ABC匿矩形，. BC= AD= CG= 4, B B= 90° , .AB= CD= 2,DG= /cG2-CD2=山 2 - & 2= 2M,. AG=AB- BG=4- 2禽,故答案为4-如.由四边形CGE层矩形，得到/ CGE= 90 点G在线段AE±, / AGC 90° ,. CA= CA CB= CGRtAACGRtAACB(HD ./ ACB= / ACG. AB/ CD / ACG= / DAC / ACH= / HAC .AH= CH 设 AH= C

29、H= m 则 DH= AD- AH= 5一3 在 RtADHO, CH= DC+DH,-吊=22+（ 4 - m 2,m=.at-ag*=f .工 x OG EG x 2 22(3)如图，当点 G在对角线AC上时， OGE勺面积最小，最小值=X（4-/5）=4-遍.当点G在AC的延长线上时， OE G的面积最大.最大值=* x E' G x OG = 2X2 2X（4+石）=4+75综上所述，4-超& SW4+、尾.10,解：（1）在 RtAACEJ, - . Z C= 90 , AC= 8, BC= 6,AB= Jac2+Bc2= V8+M= 10，当四边形PQM睡矩形时，P

30、Q/ AB.tan / PQM更PQIcq25(2)如图1中，延长Q岐AB于K.Ml AB AMM BQ_ 4 _ x, KQ= BO 524-4xQ,BQBCk518-3x32-k24-4x524.y=PM!MK=g6L3 /25(0<x<241(3)如图3 - 1中，当平分 MN寸，D为MN的中点，作 NE/ BC交PQ于E,彳NHL CB交CB的延长线于H, EGL BC于G.EGQ B Hp PD/ BC EN/ BCPD/ NE . PE/ DN四边形PDNEi平行四边形,PE= DN DN= DM PQ= MNPE=EQ. EG/ PCCG= GQ EO -PC.四边形

31、EGH睡矩形,925E?(8-x), >1.NH= EG= N(Q=凶PM= 55PC= 8-x,解得x=上一.如图3-2中，当平分 NQ时，D是NQ的中点，作 DHLCB交CB的延长线于 H.回力2l- 8 x=59 '11综上所述，满足条件 x的值为200 J40043.解：（1）探究问题：结论： AD= ADDC. DH= PC解得x =理由：如图中，延长 AE DC交于点F,. AB/ CDZ BAH / F,在 AB呼口 FCE中，CE= BE / BAF= / F, / AEB= / FECABEE FEC (AAS,. CF= AB.AE是/ BAD勺平分线，/ B

32、AF= / FAD ./ FAD= / F,. AD= DF,D3CF= DF,D(+AB= AD故答案为AD= AB-DC(2)方法迁移：结论： AB= AF-CF证明：如图，延长 AE交DF的延长线于点 G.E是BC的中点，. CE= BE,. AB/ DC / BAE= / G 且 BE= CE /AEB= / GEC.AE单 GEC (AAS.AB= GC.AE是/ BAF的平分线/ BAG= / FAG. / BAG G,/ FAG= / G, .FA FGCG= CF+FG .AB= AF+CF.(3)联想拓展：结论； AB= DF+CF证明：如图，延长 AE交CF的延长线于点 G

33、. CE= BE,. AB/ CF, / BAE= / G,在 AE所口 GEC3, rZBAE=ZG4 ZAEB=ZGEC,lbe=ce. AE望 GEC.AB= GC. / EDF= / BAE/ FDG= / G,FD= FG .AB= DF+CF.01H一 _ _4在 RtBCD中，. / DH仔90° ,CD= 5, tan / DCH" ,3DH= 4, CH= 3,BH= BGCH= 5+3=8,.tan / DBE=DH_4BH 8故答案为2(2)如图2中,四边形ABCDI菱形，.ACLBDrir 1. BC= 5, tan/CBM=5， BM 2.CM=

34、'BM= DM= 2 !，,. PF/ CBPF DP.=BC DE ',5t 限52后T=-，2解得t =.PBQFS= PB?PQ=2 ?t?. Ht(3)如图3 - 1中，当0vtw春时，重叠部分是平行四边形= 10t2.如图3-3中，当1vtW2时，重叠部分是四边形，一,2 _2如图3-2中，当二Vtwi时，重叠部分是五边形PBQRTS= S平行四边形pbqL Sa trf= 10t-?5 t ( 5 - t ) ? 5 t - ( 5-t) = -t 2+30t 10.2252ZPBCT S=工 BCD)- SAPD产X5X4-J- ?5-二t)?(4-2t)(4)如

35、图4 - 1中，当 MN/ AB时，设CM及BF于T.04-1 PN/ MT,PN BP. MN/ ARMT INI PB .=即画而2.PB=-BM如图4-2中，当MNL BCM,易知点F落在DWf,图42. PF/ BHPF| |DP .=BH DB '解得t =如图4-3中，当MINL AB时，易知/ PNM= /ABD可得tan / PN限肃=jQ解得t=二,当点P与点D重合时,综上所述，满足条件的MN BC 此时 t =2,t的值为2.13.解：（1）由题意 AP= 2t, AQ= PQ= t,. PMk 3PQ PMk 3t .故答案为3t .(2)如图2 - 1中，当点M

36、落在BC上时, PM/ ACAC:BA'4-21解得t=如图2-2中，当点N落在BC上时,. NQ/ ACNQ BQ- AC = BA，.4-tV=-T,4解得t= 丁，一 24综上所述，满足条件的 t的值为一wtw.35，一 ，2 一一 -2(3)如图3-1中，当0V tw段时，重叠部分是矩形 PQNMS= 3t2CKXH 0 P回3T，一 ,214 _ _如图3-2中，当wtw=时，重叠部分是五边形 PQNEFS= S矩形 pqnmSaef尸 3t2-y?3t(4-2t) ?! 3 t(42t)=一号t2+18t 6,3t2C0<t<1)综上所述，S=.l 上J3(4)

37、如图4-1中，当点M落在/ ABC勺角平分线BF上时，满足条件.作 F红BC于E.图4-1. / FAB= / FEB= 90° , F FBA= / FBE BF= BF,BF庠 BFE (AAS,.AF= EF, AB= BE= 4,设 AF= EF= x, . / A= 90° , AC= 3, AB= 4,bc=Vac2b2= 5,EC= BC- BE= 5 - 4= 1,在 RtEFC中，则有 x2+12= (3 x)4解得x=,PM/ AF,理=理AF BA3t 鱼4TT如图4-2中，当点M落在/ ACB勺角平分线上时，满足条件作EF± BCT F.同法可证： ECjAECF(AAS, .AE= EF, AC= CF= 3,设 AE= EF= y,BF= 5-3=2,在 RtEFB中，则有 x2+22= (4-x) 2,解得x=,. PM/ AC,PH PE.而一屈，.,3t 2 s工，解得t =.如图4-3中，当点M落在ABC勺/ACB勺外角的平分线上时，满足条件.图Td设MC勺延长线交 BA的延长线于 E,彳EF，BC交BC的延长线于