直击上海历年高考数列计算题及答案

1、1（2009年上海高考文23）已知an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列（1）若，是否存在，有请说明理由；（2）若bn=aqn（a、q为常数，且aq0），对任意m存在k，有bm·bm+1=bk，试求a、q满足的充要条件；（3）若an=2n+1，bn=3n，试确定所有的p，使数列bn中存在某个连续p项的和是an中的一项，请证明2（2009年上海高考理23）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列（1）若，是否存在，有说明理由；（2）找出所有数列和，使对一切,并说明理由；（3）若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明3（2010年上海高考文21）已知

2、数列的前项和为，且，（1）证明：是等比数列；（2）求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数 4（2010年上海高考理20）已知数列的前项和为，且，（1）证明：是等比数列；（2）求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由5（2011年上海高考文23）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。（1）求三个最小的数，使它们既是数列中的项，又是数列中的项；（2）中有多少项不是数列中的项？说明理由；（3）求数列的前项和（）6（2011年上海高考理22）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。（1）求；（2）求证：在数

3、列中、但不在数列中的项恰为；（3）求数列的通项公式7（2012年上海高考文23）对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5 （1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（4分） （2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,m）求证：（k=1,2,m）；（6分） （3）设m=100，常数若，是的控制数列，求8（2012年上海高考理23）对于数集，其中，定义向量集 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P 例如具有性质P（1）若x2，且，求x的值； （2）若X具有性质P，

4、求证：1ÎX，且当xn1时，x1=1；）（3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列的通项公式 9（2013年上海高考文22）已知函数，无穷数列满足，（1）若，求；（2）若，且成等比数列，求的值；（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由 10（2013年上海高考理23）给定常数，定义函数数列满足，（1）若，求及；（2）求证：对任意，；（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由11（2014年上海高考理23）已知数列满足，（1）若，求的取值范围；（2）设是公比为的等比数列，若， 求的取值范围；（3）

5、若成等差数列，且，求正整数的最大值， 以及取最大值时相应数列的公差12（2014年上海高考文23）已知数列满足，（1）若，求的取值范围；（2）设是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比；（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围1（1）由得，整理后，可得、，为整数不存在、，使等式成立。（2）当时，则即，其中是大于等于的整数反之当时，其中是大于等于的整数，则，显然，其中、满足的充要条件是，其中是大于等于的整数（3）设当为偶数时，式左边为偶数，右边为奇数，当为偶数时，式不成立。由式得，整理得当时，符合题意。当，为奇数时， 由，得当为奇数时，此时，一定有和使上式一定成立。当为奇数时

6、，命题都成立。2. 解（1）， 整理后，可得，为整数，不存在，使等式成立。 5分（2）解法一 若即， （*）（i）若，当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。7分（ii）若，（*）式等号左边取极限得（*）式等号右只边只有当时，才可能等于1，此时等号左边是常数，矛盾。综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。10分解法二 设，若，对都成立，且为等比数列，则，对都成立，即， ，对都成立，7分（i）若，。（ii）若，则综上所述，使对一切，（3），设， 取，由二项展开式可得整数，使得， 存在整数满足要求。故当且仅当，命题成立说明：第（3）题，若学生从以下角度解题，可分别得部分分

7、（即分步得分）若为偶数，则为偶数，但为奇数。故此等式不成立，一定为奇数。 当，而 当为偶数时，存在，使成立， 当 ，也即，由已证可知，当为偶数即为奇数时，存在，成立，当，也即，而不是5的倍数，当所要求的不存在，故不是所有奇数都成立。 3. 解：(1)由 （1）可得：，即。同时 （2）从而由可得：即：，从而为等比数列，首项，公比为，通项公式为，从而（2）即，解得 ，从而。4.（1）略 （2） 取得最小值5.（1） 三项分别为。（2）分别为（3） ， 。6.（1）；（2） 任意，设，则，即 假设（矛盾）， 在数列中、但不在数列中的项恰为。（3）， 当时，依次有， 。7.（1）数列为：2, 3, 4

8、, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3； 2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. （2）因为，所以. 因为，所以，即. 因此，. （3）对，；.比较大小，可得. 因为，所以，即；，即. 又，从而，. 因此=. 8.（1）选取，Y中与垂直的元素必有形式. 所以x=2b，从而x=4. （2）证明：取.设满足.由得，所以、异号.因为-1是X中唯一的负数，所以、中之一为-1，另一为1，故1ÎX. 假设，其中，则.选取，并设满足，即，则、异号，从而、之中恰有一个为-1.若=-1，则2，矛盾；若=-1，则，矛盾.所以x1=1. （3）解法一猜测，i

9、=1, 2, , n. 记，k=2, 3, , n.先证明：若具有性质P，则也具有性质P.任取，、Î.当、中出现-1时，显然有满足；当且时，、1.因为具有性质P，所以有，、Î，使得，从而和中有一个是-1，不妨设=-1.假设Î且Ï，则.由，得，与Î矛盾.所以Î.从而也具有性质P. 现用数学归纳法证明：，i=1, 2, , n.当n=2时，结论显然成立；假设n=k时，有性质P，则，i=1, 2, , k；当n=k+1时，若有性质P，则也有性质P，所以.取，并设满足，即.由此可得s与t中有且只有一个为-1.若，则1，不可能；所以，又，所以.

10、综上所述，i=1, 2, , n. 解法二设，则等价于.记，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称. 注意到-1是X中的唯一负数，共有n-1个数，所以也只有n-1个数.由于，已有n-1个数，对以下三角数阵注意到，所以，从而数列的通项公式为，k=1, 2, , n. 9.（1），（2）， 当时，所以，得 当时，所以，得（舍去）或综合得或（3）假设这样的等差数列存在，那么，由得（）以下分情况讨论： 当时，由（）得，与矛盾； 当时，由（）得，从而 ，所以是一个等差数列； 当时，则公差，因此存在使得此时，矛盾综合可知，当且仅当时，构成等差数列10.（1）（2）当时，；当时，；当时，所以，对任意，（3）由（2），结合得，即为无穷递增数列又为等差数列，所以存在正数，当时，从而，由于为等差数列，因此其公差 若，则，又，故，即，从而当时，由于为递增数列，故，所以，而，故当时，为无穷等差数列，符合要求； 若，则，又，所以，得，舍去； 若，则由得到，从而为无穷等差数列，符合要求综上，的取值集合为11. （1）由条件得且，解得所以的取值范围是（2）由，且，得，所以又，所以当时，由得成立当时，即 若，则由，得，所以 若，则由，得，所以综上，的取值范围为 （