2022年广东省广州外国语2021-2021学年高二下学期期末考试数学试题

1、20162017学年广州外国语学校第二学期期末质量检测一、选择题1复数21i的共轭复数是（） a1ib1ic1id1 i【答案】 a 【解析】222(1i)2(1i)1i1i1i2，故共轭复数是1i 故选 a 2412xx的二项式系数之和为（） a81b16c27d32【答案】 b 【解析】412xx，023404132231404444411111c(2 )c(2 )c(2 )c(2 )c(2 )xxxxxxxxxx，而二项式系数和为01234444444ccccc216故选 b 3甲、乙等5人在南沙聚会后在天后宫沙滩排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有（） a 24种b48种c72种d

2、120种【答案】 b 【解析】由题意，利用捆绑法，甲、乙两人必须相邻的方法数为2424aa48 种故选 b 4用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)()2nnnnnl*时，第一步验证1n时，左边应取的项是（） a 1b 12c123d1234【答案】 d 【解析】在等式(3)(4)123(3)()2nnnnnl*中，当1n时，34n，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，故1n时，等式左边的项为：1234，故答案为：1234故选 d 5已知随机变量服从二项分布14,3b:，则(3)p（） 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，

3、共 12 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - -a3281b1681c2481d881【答案】 d 【解析】14,3b:表示 4次独立实验，每次成功概率为13，则31341228(3)c4338181p故选 d 6盒子里共有7个除了颜色外完全相同的球，其中有 4 个红球3个白球， 从盒子中任取3个球， 则恰好取到2个红球1个白球的概率为（） a2435b1835c1235d635【答案】 b 【解析】214337cc6363618765c76535

4、321p故选 b 7在平面直角坐标系oxy 中，直线1y与抛物线2yx 所围成的封闭图形的面积为（） 【答案】c 【解析】21yxy，解得( 1,1)a，(1,1)b，123 111174(1)d|2333sxxxx故选c8在3(1)(1)xx的展开式中，2x 项的系数为（） a0b3c6d6【答案】 a 【解析】33(1) (1)xx的二次项系数，211233c( 1)c( 1)3( 1)3 10 故选 a 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - -

5、 - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - -9以下四个命题中，真命题有（） a:sinpyx 是周期函数，q：空集是集合a 的子集，则pq为假命题b“xr，210 xx” 的否定是 “0 xr，20010 xx”c“ab” 是 “33loglogab ” 的必要不充分条件d已知命题p：“ 如果0 xy，那么0 x或0y” ，在命题p的逆命题，否命题，逆否命题三个命题中，真命题的个数有2 个【答案】 c 【解析】ap为真，q为真，则pq为真，a错b 否定应是 “0 xr，20010 xx” b 错cab不能0a或0b，故不充分，3

6、3loglog(0)abab ab、，故“ab” 是 “33loglogab ” 的必要不充分条件d 逆命题，否命题，逆否命题都为真，有3个真命题，d 错故选c10已知双曲线222:14xyca的一条渐近线方程为230 xy，1f，2f分别是双曲线c的左， 右焦点，点 p 在双曲线c上，且1|2pf，则2|pf等于（） a0.5b12.5c 4 或10d0.5或12.5【答案】 d 【解析】2f2f1o230 xy，223yxxa，3a，12|2pfpfa 或21|2pfpfa ，2|0.5pf或2| 12.5pf故选 d 11以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的

7、“ 杨辉三角形 ” 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - -16116806080564031402940272016201520142013282016128975312345该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“ 肩上 ” 两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（） a201520172b201420172c20

8、1520162d201420162【答案】 b 【解析】如下图：11264483628202016128119753123456当第一行3个数时，最后一行仅一个数为3 282(31)，当第一行4个数时，最后一行仅一个数为4 2202(41)，当第一行5个数时，最后一行仅一个数为5 2482(51)，当第一行6个数时，最后一行仅一个数为4 21122(41) ，当第一行5个数时，最后一行仅一个数为5 2482(51)，当第一行6个数时，最后一行仅一个数为6 21122(61)，归纳推理，得：当第一行2016个数时，最后一行仅一个数为2016 22(20161)故选 b 数表的观察数表，可以发现规

9、律：每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2 ，第三行公差为 4 ，l l，第2015行公差为20142，第2016行（最后一行）只有一个数为20142014(12016)220172故选 b 12函数( )f x 与它的导函数( )fx 的图象如图所示，则函数( )( )exf xg x的单调递减区间为（） 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - -

10、 - - - - -43x yo124a(0,4)b(,1)，4,43c40,3d(0,1) ， (4,)【答案】 d 【解析】由图分析，过(2,0) 点的为( )f x 的函数图象，导数( )fx 的函数图象过点4,03，2( )e( )e( )( )( )(e )exxxxfxf xfxf xgx， e0 x恒成立，( )g x 单调递减区间即令( )( )fxf x ，则由图可得为：(0,1)(4,)u故选 d 二、填空题13设2(5,2 )n:，则(37)p_【答案】0.6826【解析】()0.6826px ，(37)(5252)0.6826pxpx14函数lnyxx 的单调减区间为_

11、【答案】1(0,e)【解析】函数的定义域为0 x，ln1yx，令ln10 x得：10ex，函数lnyxx 的单调递减区间是1(0,e) ，故答案为1(0,e) 15观察以下各等式：223sin 30cos 60sin30 cos604，223sin 20cos 50sin 20 cos504，223sin 15cos 45sin15 cos454，分析上述各式的共同特点，则能反映一般规律的等式为_精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - -

12、- - - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - -【答案】223sincos (30 )sincos(30 )4nnnn【解析】本题主要是考察三角函数式的恒等变形已知三角函数值的大小，然后可以求解出来角的正弦值和余弦值，然后带入到公式中，利用诱导公式进行求解，因为可以把sin x看做是变量，然后进行等量代换，就可以转换为给求给定定义域的值域的大小16已知抛物线的方程为22(0)ypx p，o为坐标原点，a， b 为抛物线上的点，若oab为等边三角形，且面积为48 3，则p的值为 _【答案】2【解析】设11(,)b xy，22(,)a xy， | |

13、oaob ，22221122xyxy又2112ypx，2222ypx，2221212 ()0 xxp xx即2112()(2 )0 xxxxp又1x、2x与p同号，1220 xxp210 xx，即12xx 由抛物线对称性，知点b，a关于x轴对称，不妨设直线ob的方程为：33yx，联立22ypx ，解得(6,2 3 )bpp ，面积为48 3，23(4 3 )48 34p，24p，2p三、解答题17 （本小题满分10分）设函数3( )44fxaxx过点(3,1)p（i）求函数的极大值和极小值（ii）求函数( )fx 在 1,3上的最大值和最小值【答案】见解析【解析】（i）将点p代入，(3)127

14、124278faa，13a，31( )443f xxx，2( )4fxx，当3x或2x时，( )0fx，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - -当2x或2x时，( )0f x，当22x时，( )0f x，( )f x 在 (, 2)(2,)u上，在 ( 2,2) 上，如图所示：2222( )f x 的极大值128( 2)( 8)8433f，极

15、小值14(2)88433f（ii）由（ i）可得：( )f x 在1,2上，右 2,3 上，( )4(2)min3f xf，123( 1)4433f，(3)91241f，( )23( 1)max3f xf18 （本小题满分12分）已知双曲线c和椭圆22141xy有公共的焦点，且离心率为3（i）求双曲线c的方程（ii）经过点(2,1)m作直线l交双曲线c于 a， b 两点，且 m 为 ab 的中点，求直线l的方程【答案】见解析【解析】（i）椭圆22141xy焦为点(3,0)f，2(3,0)f，2413c，则设双曲线22221(0,0)xyabab，2223cab，33cecaa，222233ca

16、ab，21a，22b，双曲线方程为2212yx（ii）由（ i）设22:12:(2)1yc xlyk x，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - -2222(2)( 24)4430kxkkxkk，21224242kkxxk，28k，4k直线:4(2)1lyx，47x19 （本小题满分12分）某水产养殖基地要将一批海鲜用汽车从所在城市甲运至销售商

17、所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由水产养殖基地承担若水产养殖基地恰能在约定日期（ 月 日）将海鲜送达，则销售商一次性支付给水产养殖基地40万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给水产养殖基地2万元； 若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给水产养殖基地2 万元 为保证海鲜新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送海鲜，已知下表内的信息：统计信息汽车行驶路线不堵车的情况下到达城市乙所需时间（天）堵车的情况下到达城市乙所需时间（天）堵车的概率运费（万元）公路 123182公路 214121（注：毛利润销售商支付给水产养殖基地的费用运费

18、）（i）记汽车走公路1时水产养殖基地获得的毛利润为（单位：万元） ，求的分布列和数学期望e（ii）假设你是水产养殖基地的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能让水产养殖基地获得的毛利润更多？【答案】见解析【解析】（i）40238不堵车万元， 【注意有文字】402236堵车万元，【注意有文字】的分布列为：3836p781871151383637.75884e万元（ii）设走公路2利润为，402141不堵车万元， 【注意有文字】4022135堵车万元， 【注意有文字】的分布列为：4135p1212精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共

19、12 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - -1141353822e万元， ee走公路2可让水产养殖基地获得更多利润20 （本小题满分12 分）如图在直三棱柱111abca b c中，1abbcbb， d 为ac中点dabcc1b1a1（i）求证：bd平面11a acc （ii）若1ab，且1ac ad，求二面角11ba db的余弦值【答案】见解析【解析】证明： （i）连结 ed ，ea1b1c1cbad平面1ab c i 平面1a bded ，1b

20、 c平面1abd ，1b ced， e 为1ab中点， d 为ac中点，abbc，bdac，法一：由1a a平面abc， bd平面abc，得1a abd，由及1a a，ac是平面11a acc内的两条相交直线，得bd平面11a acc 法二：由1a a平面abc，1a a平面11a acc ，平面11a acc平面abc，又平面11a acc i平面abcac得 bd平面11a acc精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - -

21、- - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - -解： （ii）由1ab，得11bcbb，由（ i）知12daac ，又1ac da，得22ac，2222acabbc ，abbc，如图以b为原点，建立空间直角坐标系bxyz ，如图示：zx ydabcc1b1a1e则1(1,0,1)a，1(0,0,1)b，1 1,02 2d，得11(1,0,0)b auuuu r，11 1, 12 2b duuuu r，则( , , )mx y zu r是平面11a b d的一个法向量，则111011022m b axm b dxyzuuu u ru r uuu u r，令1z

22、，得(0,2,1)mu r，设( , , )na b cr为平面1a bd的一个法向量，则10220abn bdn baacruuu rruuu r，令1c，得( 1,1,1)nr，根据题意知二面角11ba db 为锐二面角，设其大小为，则|315cos| cos,|5| |53n mn mnmru rr u rru r，即二面角11ba db的余弦值为155其它解法请参照给分21 （本小题满分12 分）设椭圆222:1(2)2xymaa的右焦点为1f，点22,02aaa，若112off au uuruuu r（其中o为坐标原点） 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - -

23、 - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - -（i）求椭圆 m 的方程（ii）设 p 是椭圆 m 上的任意一点，ef 为圆22:(2)1nxy的任意一条直径（e 、 f 为直径的两个端点），求pe pfuu u ruuu r的最大值【答案】见解析【解析】（i）由题设知，22,02aaa，21(2,0)fa，由1120ofafuuuruuur，得22222222aaaa，解得26a，所以椭圆m的方程为22:

24、162xym（ii）设圆22:(2)1nxy的圆心为n，则() ()pe pfnenpnfnpuuu ruuu ruu u ru uu ru uu ruu u r，() ()nfnpnfnpuuu ru uu ruuu ruuu r，2221npnfnpu uu ru uu ruu u r从而求pe pfuuu ruu u r的最大值转化为求2npuu u r的最大值因为 p 是椭圆 m 上的任意一点，设00(,)p xy，所以2200162xy，即220063xy，因为点(0,2)n，所以222000(2)2(1)12npxyyu uu r因为02,2y，所以当01y时，2npuuu r取得最大值12，所以pe pfuu u ruuu r的最大值为 1122 （本小题满分12 分）已知函数2( )2f xxax，( )e (2)xg xbx，若曲线( )yf x 和曲线( )yg x 在0 x处的切线都垂直于直线40 xy（i）求a，b的值（ii）若2x时，( )( )f xkg x，求k的取值范围【答案】见解析【解析】（i）(0)2f，(0)2g，11404xyk，则4kfkg，( )2(0)4fxxafa，( )e (2)e(0)242xxgxbxbgbb，4a，2