知识讲解-空间向量在立体几何中应用(基础)

1、空间向量在立体几何中的应用【考纲要求】1. 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及 其坐标表示.2. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3. 掌握空间向量的数量积及英坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.5. 能用向量方法证明有关直线和平而位置关系的一些定理.6. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量 方法在研究几何问题中的作用.【知识网络】【考点梳理】要点一、空间向量1 空间向量的概念在空间，我们把具有人小和方向的量叫做向量。要

2、点诠释：（1）空间的一个平移就是一个向量。（2）向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。相等向量只考 虑其定义要素：方向，大小。（3）空间的两个向量可用同一平而内的两条有向线段来表示。2. 共线向量（1）定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共 线向量或平行向量.五平行于厶记作allb.当我们说向量万、方共线（或a/b ）时，表示万、 b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.（2）共线向量定理：空间任意两个向量q、b （方工0）, a/b的充要条件是存在实数3. 向量的数量积(1) 定义：已知向量ci,b ,贝ia-b-

3、cos<a,b >叫做a,b的数量积，记作a b ,即ab = a'b-cos<a,b>o(2) 空间向量数量积的性质： a-e =a cos<a,e >； a 丄/? o ct b =0 ； | d fna .(3) 空间向量数量积运算律： (加) b =几 b) = a (ab)； ab =b a (交换律)； a(b + c) = a/?+qy (分配律)。4 空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组兀,y,z, 使p = xa + yb + zc。若三向量仏b,c不共面，我们把a.b.c叫做空

4、间的一个基底，a.b.c nn 做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。5 空间直角坐标系：(1) 若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1 ,这个基底叫单位正交基底，用ijk 表示；(2) 在空间选定一点0和一个单位正交基底以点0为原点，分别以ijk的方 向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角 坐标系o-xyz，点o叫原点，向量/,k都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平 而，分别称为兀oy平面，yoz平面，zox平面；6 空间直角坐标系中的坐标在空间直角坐标系o-xyz中，对空间任一点a ,存在唯一的有序实数组(x

5、, y, z)，使oa= xz+ 374- zk,有序实数组(x,y,z)叫作向量a在空间直角坐标系0-可迄中的坐标，记 作a(x,y,z),兀叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标.7. 空间向量的直角坐标运算律：(1)若您¥,刃,召)，b(x2,y2,z2),则 ab = (x2-x,y2-yl,z2-z).一个向量在直角坐标系川的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。(2)若a = (qw), b = ,z?2，bj,则a + z? = (q +%色 +/?2卫3 +肉)，ab = a-bciy -b),aa = (/uzj, aa2, azx, )(2 g r)

6、,ab = a、b +a2b2 + 径肉，a/boq =aba2 =视，色=ab3(aer),a丄b<=>ab 4-a,/?2 + 色2 =0；| a |= ja-a = jaj + a? + 色? , |b|= lh-h = jh； +财 +bj .夹角公式:a-h| a | | b |axbx + a2b2 + aqja： + af + 色? j/?, + bj + bj（3）两点间的距离公式：若/4（西，刃，可），b（x2,y2,z2）,则丨 ab 1= j ab = jg 一兀|） +（2 ）'1）2 +（z? z|）“或血,b = j（%2 -x1） +（丁2 x

7、） +（z2 _z1）2 °要点二、空间向量在立体几何中的应用1. 立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明.对于垂直问题，一般是利用d丄boa b = 0进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共而向量定理进行证明.2. 利用向量求夹角（线线夹角、线面夹角、面面夹角）有时也很方便.其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式cos& =abavb要点诠释：平面的法向量的求法：设n二（x,y,z）,利用n与平面内的两个不共线的向a, b垂直，其数量积为零，列出两个三元 一次方程，联立后取其一组解，即得到平

8、面&的一个法向量（如图）。线线角的求法：设直线ab、cd对应的方向向量分别为a、b,则直线ab与cd所成的角为arccos创。avb（注意：线线角的范围0°,90°）线面角的求法：设n是平面&的法向量，ab是直线/的方向向量，则直线/与平面q所成的角为 arcsin丄也吐（如图）。丨阿“丨二面角的求法：设川，112分别是二面角&一/一0的两个面0的法向量，则3”=如ccos g ® iqlg i就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）3. 用向量法求距离的公式设n是平面q的法向量，ab是平面q的一条斜线，则点b到平面a的距离为“厲川（如 1

9、1图）。要点诠释:点a到平面g的距离:abnd =，其屮b wa , 是平面&的法向量。丨川 直线q与平面q之间的距离：abnd =,其中aa.bea, n是平面&的法向量。丨1 两平行平面z0之间的距离:abnd =,其中j3 , 是平面q的法向量。丨丨【典型例题】类型一、空间向量的运算【例1】已知ab= (2, 2, 1), ac= (4, 5, 3),求平面abc的单位法向量。类型二：向量法证明平行或垂直tt【例2如图，在四棱锥o abcd屮，底面abcd四边长为1的菱形，a abc =-,4oa丄底面abcd, 04 = 2, m为0a的中点，n为bc的中点(i )证明

10、：直线mn平面ocd ；(ii) 求异面直线ab与md所成角的大小;(iii) 求点b到平面0cd的距离。o举一反三：【变式】如图，已知直三棱柱abc-a.biq屮，4abc为等腰直角三角形，zbac=90。,且ab=aalf d、e、f分别为耳人、c】c、bc的中点.求证：de平面abc；(2)bif丄平面 aef.类型三：异面直线所成的角【例3如图，在空间直角坐标系屮有直三棱柱abc-a.b.q, c4 = cc=2cb,则直线bc】与直线夹角的余弦值为a.逅b至53【变式】三棱柱abc-aeg中,底面边长和侧棱长都相等，zba4, =zc44 =60°,则异面直线a4与bc、所

11、成角的余眩值为类型四：直线与平面所成的角【例4】如图，在棱长为1的正方体abcd_aecd中，p是侧棱cc；上的一点,cp = m.试确定加，使直线4p与平面bdd、b所成角的正切值为30；【变式】如图，三棱锥p-abc中,zabc=90°, pa=1, ab, ac=2, pa丄面abc.(1)求直线ab和直线pc所成角的余弦值;求pc和面abc所成角的正弦值；类型五：二面角【例5】如图，在三棱柱abcbc中，h是正方形的中心，aa=2迈，c|h丄平面 aajbib,且 c、h=品(1) 求异面直线ac与儿5所成角的余弦值；(2) 求二面角a-alcl-bl的正弦值；(3) 设n为

12、棱5g的中点，点m在平面aa.b内，且mn丄平面儿厲0,求线段的长.【变式】在如图所示的儿何体中，四边形abcd是等腰梯形，ab /cdt zd43 = 60 ,fc丄平面 abcdae 丄 bd,cb = cd = cf.(i) 求证：bd丄平面aed ；(ii) 求二面角f-bd c的余眩值.类型六：空间距离【例5】已知正三棱柱abc-ac ab = 2f aa,=2迈，d是侧棱cc】的中点。(1) 求二面角a-bd-c的正切值;(2) 求点c到平面4bd的距离.【变式】设 a (2,3, 1), b (4, 1,2), c (6, 3, 7 ), d (- 5, -4,8),求 d 到平面 abc 的距离。类型七、利用空间向量解决立体几何中的探索问题