小学数学论文：对《寻找规律》的赏析再谈数学广角教学的有效策略

1、授生以“式s不如授生以“思"对寻找规律的赏析再谈数学广角教学的有效策略【内容摘要】人教版教材的总体思想z是系统而有步骤地向学生渗透数学思想 方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣 的事例呈现出来，让学生感受数学思想方法的奇妙和作用，受到数学思维的训练, 从而提高数学思维能力和解决问题的能力。而“数学广角”是其屮重要教学内容 之一。本文试从数学广角教学的现状进行反思，从老师的课堂演绎探寻对数学广 角教学的有效策略。【关 键 词】数学广角 数学思想 思维训练引子2011年宁波市小学数学教坛新秀高段组比赛时，出题老师将六年级的数学 思考及四、五年级数学广角中

2、的部分内容作为了选手赛课的内容，据说当吋发挥 出色的选手少z甚少，要么上成了奥数课，要么不知道在学生给出方法后如何引 导他们去经历思维展示的过程。选手们大多关注的是如何把“公式”架入学生的 头脑之中，以求达成所谓“良好”的教学效果。正是出于这样的原因，特级教师 特意对这部分内容进行了新的尝试，而笔者则有幸在大师的精彩课堂上聆听到了 关于数学广角教学新的思考，也由此对这部分内容的教学重新进行了审视和反 思，并认识到一一“数学广角”教学的真正意义不是单一地教给学生解题的方法, 而更应是对学生数学思想的渗透和促进思维的发展。反思错把“西湖”比“西子”，适得其反新课标的评价建议里指出，把“数学广角”单

3、元内容作为思维训练课。看到 思维训练课，很多老师便把它和“奥数课”联系在了一起，经常听到这样的声音 “唉，好的学生不教也会，差的学生教来教去都不会，奥数的知识干嘛让所有人 都学啊！”在这个声音中，我们看到了一线教师由于没有理解“思维训练”课真 正的含义而步入了教学的误区：误区一：追“功”一一越难越体现出数学广角的价值由于在如今的教学中，老师们往往把“西湖”一一数学广角比成了 “西子” 奥数课，很多时候，老师们会竭尽所能为学生创设尽可能多的展示“奥数” 才华的平台。因此，一堂课中，铺设了层层递进的思维题。而在这个过程中，学 过奥数的学生与未曾涉足的学生之间表现出了明显的差距。如此一来，所谓的奥

4、数生只是在原有的基础上有了更充分的练习机会，但在思维的发展和数学思想方 法上却未必能得到进一步的提升，有些甚至只会解题而无法解释，甚至只是原来 学过例题公式的依样画葫芦。而那些普通的学生则由于奥数生的牵鼻子，更是谈 不上思想方法的学习，充其量只是一个看台下的观众，纵然一时之间能够解答一 些例题的“李生兄弟”，却也只是昙花一现。如果抱着把奥数难题带进课堂进行教学的态度来对待数学广角，那么从课程 理念指出的“数学的学习要面向全体学生”角度分析，数学广角的教学完全失去 了它存在于义务教材中的意义，何不只让它待在奥数教材中为一部分学生所用 呢？由此可见，“数学广角”和“奥数”两者z间尽管有着密切的联系

5、，但却不 能实现像古诗之中所描述的那样“浓妆淡抹总相宜”。误区二：逐“利” 一一正确率越高越体现教学的效果虽然，课标并没有对“数学广角”有纳入考试评价的要求，但是为了提高练 习的质量和单元考试的成绩，老师们述是“公平”地对待班上每一个学生能不能 止确求岀问题的答案。而有的老师为了让毎个学生都能答对甚至从教学内容一开 始的学习到练习课、复习课，都是一路让学生画一画来解答，解决问题的策略都 是停留在直观状态，没有提炼岀思想方法。这样只有直观，没有抽象的解决方法, 就是缺少了数学思想方法的渗透，忽视了从直观上升到抽象的过程，从而也就忽 视了数学思想方法的感悟。尽管错把“西湖”比“西子”，一味地重“式

6、”而轻“思”，可以保证大部分 学生在直观形象的引领下，解决问题，提高答题的正确率，却让学生的成长价值 淹没在统一的衡量标准中。这样的结果，当然不是教材编排数学广角所追求的。借鉴学习过程和结果，并驾齐驱有幸聆听林老师的课，感受他的理念，不难发现，数学广角的教学目标定位 与我们的数学常规课和数学实践活动有所不同。教师的每一个问题都应顺着学生 思维的启发、数学思想的渗透而去，并非简单地解决一个问题，掌握方法便可。随堂快照1:以学定教切入主题师：12个点，最多可以连成多少条线段? 生1：猜测66条师：大家还有不同的想法吗？师：都认为是66,是不是因为她的手臂上有三条杠杠，这么信任她？那请 你解释一下是

7、怎么想的？生1：从一点岀发可以连11条线段，以此类推，11+10+1=66师：她用“以此类推”概括了她的方法，看來这里还藏着一些秘密哦，这个 秘密其实就是“规律”，这节课我们就一起来进行“数学思考一一探索规律”。【课堂感悟1：对于六年级学过奥数的学生而言，这个问题不是一个难题， 而林老师的引导让学生获得了本课一个重要的信息，那就是我们要的不是结果, 而是其中蕴含的规律，这个信息激发了学生的探究欲望，尤其是没有接触过奥 数的学生的学习热情。】随堂快照2：自主探究先学后导师：如果要找规律，怎么找比较好？生：2个点开始找师：是的，我们耍从简单的开始找，看看简单的能找到什么规律。 独立尝试在学习单上找

8、规律：请你画一画、记一记、找一找、说一说。点数o oo ooo oooo ooo ooooo o o总条数师：你发现了什么规律？你是怎样发现的，请和同学交流一下。（请生上台板演，边说边写。）师：同学们对他的话和记录有什么问题没有？生：我觉得他画的时候不够有规律，应该先连第一个点。师：你听懂他的质疑吗？你画的线段没有序，数学耍有序。师：还有其他想法吗？他写的这些总条数之间有没有什么规律？生：差2,差3,差4,差5,这是一条连续的数列。师：谁能讲的更清楚？生：2个点1条，3个点比2个点增加一个点多2条1+2, 4 个点比3个点再增加一个点又多3条1+2+3, 5个点比4个点 再增加一个点又多4条1

9、+2+3+4师：你能用一个算式来表示吗？【课堂感悟2：在这个自主探索、互动交流的过程中，林老师至始至终抛开 了原先的结果，引导学生从简单入手，从不同的角度去探索规律、发现规律、 感悟规律，有序思考，刨根问底，层层剥去学过奥数后的结果层，充分挖掘出公式背后的内在含义，让学生经历整个思维的暴露过程。】随堂快照3：启发思维渗透思想在学生充分探究之后，课件演示:78910通过数形结合进一步理解公式中为什么是“旷1” 师：n个点最多可以连成多少条线段？生 1： (n-1) xn4-2师：还可以列一个怎样的算式？生 2： (n-1) + (n-2) + (n-3) +1师：倒过来行不行？生 3： 1+2+

10、3+(n-1)师：为什么加到5-1”而不是加到“n” ?师：这节课我们是怎样学习的？遇到一个问题的吋候可以用什么方法来解决？在学生的整理中形成板书：简单入手寻找规律难易画图、列表、计算【课堂感悟3：在看似简单的一问一答过程中，其实是一个建模的过程。林老师没有因为学生归纳出计算公式而就此打住，而是在数形结合的过程中，通 过算式的分化、逆写以及对为什么要“n-1”而不是“n”的追问，来进一步理解规律的含义。而最后的对学习方法的梳理更是凸显了大师对于数学思考(数学广角)教学目标的准确定位。】在林老师的课中，我们看到了通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等 活动，学生感受数学思想方法的奇妙与作用，体

11、验运用数学思想方法解决问题的 策略、方法的酣畅淋漓。同时，也用真实的课例告诉我们，要明确数学广角的目标和要求，才能真正实现“数学广角”对学生数学思想的渗透和促进思维的发展。探寻数学思想与思维，如影随形有了大师的“美玉”在先，作为一线教师的我们如何能够不重新寻求“数 学广角”教学的策略呢？而这个策略的灵魂，不言而喻就是教学内容所涵盖的“数 学思想方法”的渗透了。从大师的课中，我们是不是可以勾勒出这样一条教学的优美曲线:提出问题 展开猪想独立思考合作交流探究方法形成方法经历思想方法的形成过程，理解内在思想、 >从现实情境中提岀问题进行猜想，无疑是引学生入学的一个高潮，而独立的 思考探索进入一

12、个课堂教学的低潮期，当方法相继得出时，彼此之间的碰撞与交 流使方法浮岀水面拉起一个小高潮，当抽象概括建立模型后对知识的灵活应用便 是对思想方法真止达到内化的阶段。这样一个曲线过程让学生经历了思想方法的 形成过程，理解了知识蕴含的内在思想。而要完成这样一条曲线，我认为以下三 个策略是重中之重：策略一：领会教材意图，教学定位张弛有度(-)理一一梳理中解读正确解读教材的编排意图，使教学fi标不失偏颇，是教师顺利有效开展教学 的首要和前提条件。因此，我们要对教材进行整体全面的梳理。当我们梳理教材, 明确内容和冃标之后就不难发现，其实数学广角的例题背后隐藏的不仅仅只是简 单的一个解题方法，而是一系列数学

13、思想的渗透及实施的要求：学段册数内容数学思想方法目标要求第学段一年级上册分类比较和分类思想方法让学生通过观察、操作、实验、猜测、推 理少交流等活动，初步感受数学思想方法 的奇妙与作用，受到数学思维的训练，逐 步形成有顺序、全而思考问题的意识，进 而达到数学课程标准第一学段的要求： 使学生“在解决问题的过程中，能进行简 单-的、有条理的思考”。一年级卞册找规律符号化思想方法二年级上册简单的排列组合逻辑推理排列组合思想方法逻辑推理思想方法二年级卞册找规律排列、推理三年级上册排列组合排列组合思想方法三年级下册重叠问题集合的思想方法等量代换等量代换思想第学段四年级上册烙饼问题排队论iti忌赛马运筹思想

14、、对策方论、优化思想渗透了优化思想、对策论，解决由植树引 发出来的问题、数字编码、假设法、抽屉 原理等数学思想方法，继续让学生感悟数 学思想方法，培养学生分析、推理的能力， 逐步形成探索数学问题的兴趣与欲望，另 一方血加强了综合运用知识解决问题和 解决问题策略多样化的教学，使学生逐步 提高数学思维能力和解决问题的能力。四年级下册植树问题植树问题的思想方法化归的思想方法五年级上册数字编码数字编码思想五年级下册找次品优化思想方法六年级上册鸡兔同笼问题假设法思想方法六年级下册抽屉原理抽屉原理因此，不能把重点放在机械的公式和抽象的模型上，而应把教学重点放在探 索和建立模型的过程和体验数学思想方法的应用

15、上，培养学牛运用数学的思维方 式进行思考，增强分析和解决问题的能力。(-)识一一辨析中定位教学目标的定位不仅影响着教学预设的质量，而口还左右着教学过程的展 开。教师要想还给学生数学广角的“原味”课堂，准确的定位是不可缺失的条件。1. 厘清两个概念 在实际的教学中，很多老师把数学思想方法与数学解题方法两 个概念等同起来，认为在课堂上教会了学生解题方法，就万事大吉，数学思想方 法也形成了，教学目标也达成了。殊不知，这是两个完全不同的概念。数学思想 方法是指对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，是经过思维活动而产生 的结果。数学解题方法是指解决数学问题的具体方法，是抽象出来的数学模型。 因此，错

16、误的理解，就是使数学广角变“味”的症结所在。2. 找准契合点 数学思想方法和数学解题方法虽然是两个不同的概念，但也是不 可割裂的，它们是一个共同体。数学思想方法引领着解题方法，在解题方法中又渗透着数学思想方法，它们相互依存，相互影响，只有找准它们的契合点，将它 们有效结合，才能将教学效果达到极致。基于以上的认识,笔者在教学数学广角一植树问题一课时,对教材作了如下处理:1 同学们在全100来的小路边城树每隔5木 拔一慄(两端要栽)。一共需要笋少探树苗？一亠亠 i i nr ii ? rrm把例题改为条件开放的植树问题，不规定间距，同时改大数据，将路的长度 变成2000米。如此修改的意图是，从学生

17、学习的契合点入手，让他们在开放的 情境中引起思维冲突：数据这么大，这要画到什么时候啊！从而引导学生进行数 学思考：可以先把数变得小一些，探究规律，再来解决数据大的问题。自然引出 在20米长的小路一边每隔10米种一棵树，你觉得可能种几棵？而且数据小了， 便于学生利用线段图进行操作，建立数形结合，使学生的思维由具体过渡到抽象。 这样，在解题过程中潜移默化地向学牛渗透着化繁为简、找规律、对应等数学思 想方法，不仅训练了学生的思维能力，又降低了学习的难度。而且，在渗透的同 时又水到渠成地得出了槓树问题的解题方法。像这样，遇到复杂问题时，引导学牛不妨先退到简单问题，然后从简单问题 的研究中找到规律，化繁

18、为简，最终找到解决问题的策略方法。这就是将数学思 想方法和解题方法有效结合的过程。通过这样解决问题过程的探究，使学生感受 到思想方法在问题解决中的重要作用。因此，只有定位准确了，才能使教学不偏 离方向。策略二：经历活动过程，思想方法有效渗透（一）行一一实践中体验数学思想方法其特点是呈隐蔽形式，它比数学知识更抽象。但是，基于小学 生形象思维的特点，“数学广角”的内容通过把这些抽象的数学思想方法以小学 生可以理解的直观形式，采用生动有趣的事例呈现出来。所以“数学广角”的教 学难点在于如何让学生从直观的解决问题中去感悟抽象的数学思想方法。解决这 个难点的关键就是让学生主动参与，因为没有主动参与就不可

19、能对数学知识、数 学思想方法产生体验。没有了体验，那数学思想方法的渗透只能是一句空话。如在教学数学广角一找次品一课时,我设计了这样一张表格:2 r在一些零ft-mkj 1个是次品（次品皿-些人 用大平称.至少祢儿次就-定能找出次品来？咱门从9个手件 开北试脸吧！毎次*2个称丸悄了.能 不施分成儿份你呢？把吊次你的过程 记录下来吧.请同学们利用学具摆一摆，并将找次品的结果填在下面表格里。零件个数分成的份数称1次确定 止品的个数保证能找岀次殆需要称的次数通过动手操作和主动探索，先让学生在3个零件中找次品，初步感知方法; 再在5个零件中找次品，进一步体验方法；然后在9个零件中找次品，得出优化 方法；

20、最后在8个零件中找次品，实际验证方法。这样，从简单入手，层层深入, 让学生经历整个思维的过程。因此在课堂上必须充分暴露学生的思维过程，让学生积极参与教学实践活 动，充分发挥他们的主体作用。在动脑、动手、动口的过程中领悟体验数学思想 方法的形成，揭示其中隐含的数学思想方法，并逐步掌握运用。（-）享一一合作中感悟在数学广角的教学中，学生的认知起点、知识结构、逻辑起点等都明显存在差异，有些学生还不能将知识结构逻辑起点与自己的认知起点相互结合，再加z 数学思想方法“随风潜入夜”的抽象隐蔽性，使教学效果存在明显的差异。要解 决这个矛盾，“合作”是一个良方。生生之间的差异是学习的资源，这种资源应在学生交流

21、的平台上得到充分的展示与合理的利用。通过这种有效的学习方式， 使学生不仅在合作交流屮学习有关知识，而且更让他们在合作交流屮互相感悟数 学的思想方法。把数学思想方法“润物细无声”地渗透到学生的头脑中去。如组内教师在数学广角一合理安排时间磨课中的设计片断:在创设情境环节后，要求设计最佳方案: 师：知道了做事的先后顺序，请设计一种能让客人尽快喝上茶的方案，并算出所花时间。老师把图片放到信封里了，请你和同桌合作，一个说方案，一个用图片摆出来。1.同桌摆、汇报方案方案一：洗水壶f接水f烧水f找茶叶f沏茶。洗茶杯1+1+8+1+1二12分钟（学生边说边摆工序图片）方案二：洗水壶f接水f烧水f沏茶 洗茶杯

22、找茶叶1+1+8+1=11分钟。（学生边说边摆）2. 方案优化师：你喜欢哪种？为什么方案二只 要11分钟？（生：同时做三件事。）小结：方案二是因为我们在做一件 事时没有浪费时间，还同时做了其他 事情，做到了“合理安排时间”（板书）3. 再次设计方案师：同桌一起再摆一摆，想想还能不 能通过同时做更多的事情来节约时间o1叽z" q +术 洽孑冋缆沏拒:茶.wm it. < 法仁昇人a 上茶？i 分饷 it x 2 分师冼* a代茶叶 1沏茶$ 1 ”仲lx卜过：可 5国n r加护你女小叨.你tr样安排?需誉务供时 何？和p）羊讨论.t.右血谊的才炙比枝合也11觀通过合作学习的方式让

23、学生在思维火花的碰撞中产生设计方案的多样性，同 时学生在岀现多种方法以后，务必会去寻找一种最简单的方法。在这个合作交流 的过程屮，学生主动意识到可以采纳最简单的方法，进一步体验到优化的数学思 想方法。同时，也提高了逻辑思维能力。策略三：反思与应用互动，思维水平不断提升（-）悟一一反思中提炼教师要引导学生白觉地检查白己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问 题的，运用了哪些基本的思想方法等，及时对某种数学思想方法进行概括与提炼,使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质，提高课堂教学的价值。如在教学数学广角一找次品一课时的总结片段师：刚开始上课时，有个同学猜2187个产品屮找到其屮一个次品需要10

24、00多次，那个同学还在吗？谈谈你的感受？生：我觉得非常无语，2187个产品要1000多次是不太现实的。（全体学生共同感悟、体验。）师：那刚才猜10来次的同学，还挺接近的，你当吋是怎么想的?生：我一开始没有任何依据，只是随便猜了一个！师追问：那你觉得从2187个产品中找到其屮一个稍轻的次品只需7次，你有什么感受呢？生：我觉得在学习了正确的思考方法以后，让我们在解决问题时，更加的方便了。师小结：是啊！同学们，2187个产品，多大的数据，但运用正确的数学思想 方法以后，我们7次就搞定了！学生在已经体验感悟了数学思想方法以后，通过反思，对本节课中所运用到 的数学思想方法（如优化的数学思想方法）进行再一次提炼，使学生对解决问题 时需要运用合理的数学思想方法的意识得到再次升华。这样，瞻前顾后，首尾呼 应，学生的数学思维得到持续地发展。（二）用一一应用中提升我们在教学“数学广角”时，不管是课堂上还是课堂外都应注意培养学生应 用数学思想方法解决问题的能力，在此过程中体会数学思想方法的应用价值。因 为从数学思想方法的特点和形成过程来说，对学生数学思想方法的渗透不是一朝 一夕就能见到学生数学思维水平提高的，而是需要有一个不断渗透、循序渐进、 由浅入深的过程。因此，在这一过程中，需要教师做一个“