牛顿插值MATLAB算法

1、或学2计買Hl科寻学啜UM%MATLA程序设计期中作业编程实现牛顿插值成员：刘川( P091712797)签名汤意(P091712817)签名王功贺(P091712799)签名班级:2009信息与计算科学学院:数学与计算机科学学院日期:2012年05月02日牛顿插值的算法描述及程序实现一：问题说明在我们的实际应用中， 通常需要解决这样的问题， 通过一些已知的点及其对应的值, 去估算另外一些点的值，这些数据之间近似服从一定的规律，于是，这就引入了插值法 的思想。插值法是利用函数 f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数， 在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数

2、f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式， 就称它为插值多项式。 利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项 式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要 随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。算法分析newton插值多项式的表达式如下:Nn(X)=Co Ci(XX°)Cn(XX°)(X N) (XXn)其中每一项的系数Ci的表达式如下：Ci 二 fXo,Xi,Xi二f Xi, X2, ,Xi - fXo,Xi, ,Xi_JX Xo即为 f (x)在点 Xo,Xi,X处的 i 阶差商,(

3、f IXi 1= f (Xi)，=1, 2，n)，由差商 f Xo,x 的性质可知：iiifXo,Xi, ,Xi二' f(Xj)| 丨j=0心(Xj Xk )kj牛顿插值的程序实现方法：第一步：计算 fX)、f 20必、f l-X0,X1,X2 L、f l-X0, X-I ,X2/' , Xn lo第二步：计算牛顿插值多项式中f x0, Xn , x (x - x0)(x - xj (x - Xj斗)，i=1,2，n，得到n个多项式第三步：将第二步得到的n个多项式相加，得到牛顿插值多项式。第四步：利用所得到的插值多项式，估算 x取其它值时f x的值第五步：作出所求多项式在插值结

4、点周围的函数图像。三：编程实现function p2,z=newTon(x,y,t)%俞入参数中x,y为元素个数相等的向量，t为待估计的点，可以为数字或向量。%俞出参数中p2为所求得的牛顿插值多项式，z为利用多项式所得的t的函数值。n=len gth(x);chaS(1)=y(1);for i=2: nx1=x;y1=y;x1(i+1: n)=;y1(i+1: n)=;n1= le ngth(x1);s仁0;for j=1: n1t1=1;for k=1: n1if k=jcon ti nue;elset1=t1*(x1(j)-x1(k);endends1=s1+y1(j)/t1;endcha

5、S(i)=s1;b(1,:)=zeros(1,n-1) chaS(1);cl=cell(1,n-1);for i=2:nu1=1;for j=1:i-1u1=conv(u1,1 -x(j);cli-1=u1;endcli-1=chaS(i)*cli-1; b(i,:)=zeros(1,n-i),cli-1; end p2=b(1,:);for j=2:np2=p2+b(j,:);endif length(t)=1rm=0;for i=1:nrm=rm+p2(i)*tA( n-i);endz=rm;elsek1=length(t);rm=zeros(1,k1);for j=1:k1for i=1

6、:nrm(j)=rm(j)+p2(i)*t(j)A(n-i);endz=rm;endendplot(t ,z, 'y',x,y,'*r')四：实例验证clcclearx=0.4 0.55 0.65 0.80 0.90 1.05;y=0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 1.25386;t=0.4:0.1:1.05;u,v=n ewT on (x,y,t)执行结果:u =0.00850.00320.15870.00730.99710.0004v =0.41080.52110.63670.75860.88811.02651.

7、17521.33561.5095则所求得的牛顿多项式为：f (x) =0.0085x50.0032X40.1587x30.0073x20.9971x 0.0004牛顿多项式的函数图像及已知节点在坐标中的显示如下:1.81.61.41.2插值函数0.80.60.4 -0.40.50.60.70.80.9L11.11.21.3五：结果分析本程序给出了计算牛顿插值多项式的函数，通过调用函数可以求得牛顿多项式与待估算 点的值，作出了节点及待求多项式的函数图像，能够比较清晰的通过图像显示出来，总体来 说，计算结果是比较理想的，达到了我们的目的。然而程序在实现过程中，依旧存在着一些不足之处，总体反应在灵活性方面，参数的输 入