佳一数学2014年秋季全国版教案 九年级-10 直线和圆的位置关系

1、第十讲 直线和圆的位置关系教学内容佳一动态数学思维秋季版，九年级第十讲“直线和圆的位置关系”.教学目标知识技能1.了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念；2.掌握切线的判定定理和性质定理，并能够灵活运用；3.初步了解切线长定理. 数学思考 通过解答涉及切线的有关问题，让学生经历观察、猜想、证明的过程；了解、认识常规证明的分析方法和一些常规辅助线的添法；了解开放性、运动型问题的基本分析思路.问题解决1.通过观察、实验、讨论、合作探究等数学活动了解探索问题的一般方法；2.由观察得到“直线与圆的位置关系和圆心到直线的距离的关系” ，从而实现位置关系与数量关系的转化，渗透运动与转化的数学思想.情感态度

2、 1.体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验； 2.通过“转化”数学思想的运用，让学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的辩证唯物主义思想.教学重点、难点重点：探索并理解直线与圆的三种位置关系，涉及圆的切线的有关证明与推论难点：直线与圆的三种位置关系性质和判定的正确运用教学准备动画多媒体语言课件第一课时教学路径导入师：上节课我们学习了圆的一些基本性质，谁能告诉老师圆都有哪些基本性质呢？生：（作出回答）师：同学们再想想，在同一平面内，直线和圆的位置有几种可能情况？在练习本上试着画一画.生：（得出结论有三种情况）师：好的，这就是我们这节课主要学习

3、的内容直线和圆的位置关系.启动型问题使至塞上(唐)王维单车欲问边，属国过居延.征蓬出汉塞，归雁入胡天。大漠孤烟直，长河落日圆.萧关逢候骑，都护在燕然. “大漠孤烟直，长河落日圆”这一联由两个画面组成.第一个画面是大漠孤烟.置身大漠，展现在诗人眼前的是这样一副景象：黄沙莽莽，无边无际,昂首看天，天空没有一丝云影,不见草木，断绝行旅,极目远眺，但见天尽头有一缕孤烟在升腾，诗人的精神为之一振，似乎觉得这荒漠有了一点生气.那是烽烟，它告诉诗人，此行快要到目的地了.烽烟是边塞的典型景物，“孤烟直”突出了边塞气氛.从画面构图的角度说,在碧天黄沙之间，添上一柱白烟，成为整个画面的中心，自是点睛之笔.另一个画

4、面是长河落日.这是一个特写镜头,诗人大约是站在一座山头上，俯瞰蜿蜒的河道,时当傍晚，落日低垂河面，河水闪着粼粼的波光,这是怎样美妙的时刻啊!诗人只标举一个“圆”字，即准确地说出河上落日的景色特点.由于选取这样一个视角，恍然红日就出入于长河之中，这就平添了河水吞吐日月的宏阔气势，从而整个画面更显得雄奇瑰丽.“大漠孤烟直”在数学家的眼里可以成为垂直于平面的直线，那么“长河落日圆”在数学家的眼里又会是什么样的数学图形呢？师：下面我们一起来对这节内容的基本知识进行回顾.回顾：1.直线和圆的位置关系设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d,则（1）直线和圆相离d _>_ r；（2）直线和圆相切d _=

5、_ r；（3）直线和圆相交d _<_ r.（下一步）2.圆的切线判定：经过半径外端并且垂直于半径的垂线是圆的切线.性质：圆的切线垂直于过切点的半径.推论：（1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.（2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. （下一步）3.切线长定理定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长_相等_，圆心和这一点的连线_平分_两条切线的夹角. （下一步）基本图形：如图,PA、PB切O于点A、B，AB交OP于点C，则（1）PA=PB；（2）APO=BPO=OAC=OBC，AOP=BOP=CAP=CBP；（3）ABOP，且AC=BC.师：下面我们就一起来看几道例题.初步性

6、问题探究类型之一 直线与圆的位置关系的判定例1 如图，在ABCD中，AB=10，AD=m，D=60°，以AB为直径作O.（1）求圆心O到CD的距离（用含m的代数式来表示）；解析：闪烁“AD=m，D=60°”变色后出示：过点A作AECD（在图中作出），则DAE=90°-D=30°；（下一步）DE=AD=，AE=.（下一步）闪烁“圆心O到CD的距离”变色后出示：过点O作OFCD（在图中作出），则OF的长即为圆心O到CD的距离；（下一步）由四边形ABCD是平行四边形可知ABCD，所以OF=AE.答案：解:如图，分别过A、O两点作AECD、OFCD，垂足分别是点

7、E、F，AEOF，OF就是圆心O到CD的距离.四边形ABCD是平行四边形,ABCD，AE=OF.在RtADE中，D=60°，则DAE=30°，DE=AD=,AE=,即圆心O到CD的距离OF为.（2）当m取何值时，CD与O相切？ 解析：闪烁“以AB为直径作O”变色后出示: O的半径OA=AB=5. （下一步）闪烁“CD与O相切”变色后出示:OF=OA；（下一步）=5，解得m=.答案：解：OF=,AB为O的直径，且AB=10,当OF=5时，CD与O相切于点F，即=5,m=,当m=时，CD与O相切.1.学生独立完成，教师指定学生讲解.2.教师小结：判断某直线与圆的位置关系，关键是

8、计算圆心到直线的距离，并与圆的半径进行比较.类似性问题1. 如图，O的圆心到直线l的距离为3 cm，O的半径为1 cm，将直线l向上（垂直于l的方向）平移，使l与O相切，则平移的距离是（ ）A.1 cm B.2 cm C.4 cm D.2 cm或4 cm解析：将直线l向上平移至圆下方与圆相切（在图中平移），此时平移的距离是2cm；（下一步）继续将直线l向上平移至圆上方与圆相切，此时平移的距离是4cm.学生独立完成解答，教师指定学生讲解.初步性问题探究类型之二 切线的判定例2 如图，已知AB是O的直径，点C在O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，COB=2PCB.（1）求证：PC

9、是O的切线；解析：闪烁“AB是O的直径”变色后出示：ACB=90°，即ACO+OCB=90°. （下一步）闪烁“COB=2PCB”变色后出示：由圆周角定理可知COB=2A，所以PCB=A；（下一步）由OA=OC可知ACO=A，所以PCB=ACO；（下一步）从而得到PCB+OCB=90°，即OCP=90°，OCPC.答案：证明:（1）OA=OC，A=ACO.又COB=2A，COB=2PCB，A=ACO=PCB.又AB是O的直径，ACO+OCB=90°,PCB+OCB=90°，即OCCP.OC是O的半径，PC是O的切线.（2）求证：BC=

10、AB.解析：闪烁“AC=PC”变色后出示：A=P；（下一步）又由（1）知PCB=A，所以OBC=PCB+P=2A=COB；（下一步）BC=OC=AB.答案：证明：（2）AC=PC，A=P，又由（1）知PCB=A，A=ACO=PCB=P.又OBC=PCB+P=2A=COB，COB=OBC，BC=OC，BC=AB.1.教师指定学生读题并分析题意.师：证明切线的一般方法是什么？生：（1）当直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；（2）当直线与圆的公共点未知时，作垂直证圆心到直线的距离等于圆的半径. 师：那么这道题目的第（1）问我们只需要证明什么就可以了？生：证明OCPC，即证明PCO=90°

11、.师：那么要证明BC=AB，我们只要证明什么就可以了？生：只要证明BC=OC就可以了.2.学生独立完成解答.3.教师小结：圆的切线的证明方法：（1）当直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；（2）当直线与圆的公共点未知时，作垂直证圆心到直线的距离等于圆的半径. 师：下面大家独立完成课后的类似性问题1吧.类似性问题2. 如图，D是半径为R的O上一点，过点D作O的切线交直径AB的延长线于点C，下列四个条件：AD=CD；A=30°；ADC=120°；DC=R,其中，使得BC=R的有（ ）A. B. C. D.解析：连接OD可得由条件均可证明BC=R成立.学生独立完成，教师指定学生讲

12、解.初步性问题探究类型之三 切线的性质例3 如图，O的弦ADBC，过点D的切线交BC的延长线于点E，ACDE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F. （1）求证：DF垂直平分AC；解析：利用垂径定理和切线的性质证明.答案：证明:DE是O的切线，且DF过圆心O,DFDE.又ACDE，DFAC，DF垂直平分AC.（2）求证：FC=CE；解析：我们易知四边形ACED为平行四边形，所以CE=AD，因此要证明FC=CE，需证明FC=AD；（下一步）利用ASA证明AGDCGF.答案：证明:由（1）知AG=GC.又ADBC，DAG=FCG.又AGD=CGF，AGDCGF（ASA），AD=FC.

13、ADBC且ACDE，四边形ACED是平行四边形,AD=CE，FC=CE.（3）若弦AD=5 cm，AC=8 cm,求O的半径.解析：在RtADG中根据勾股定理求出DG的长；（下一步）连接OA（在图上作出），在RtAOG中根据勾股定理列方程求解.答案：解:连接AO,AG=GC，AC=8 cm，AG=4 cm.在RtAGD中，由勾股定理得GD=3 (cm).设圆的半径为R cm,则AO=R cm，OG=（R-3）cm.在RtAOG中，由勾股定理得AO2=OG2+AG2，即：R2=(R-3)2+42，解得R=,O的半径为 cm.1.教师指定学生读题并让学生说说第（1）（2）问的解题思路.生：根据切线

14、的性质可得ODDE，根据平行线的性质可进一步得到ODAC，然后利用垂径定理即可证明（1）中结论.通过证明四边形ACED是平行四边形得到CE=AD，证明CFGADG得到CF=AD，从而通过等量代换得到CF=CE.师：同学们都听明白了吗？下面就请同学们自己独立完成第（1）（2）问吧.2.学生独立完成第（1）（2）问的解答.3.学生小组讨论尝试解答第（3）问，教师巡视并积极参与其中，对于没有思路的小组给予适当提示.4.教师指定小组代表汇报，其他小组仔细聆听并指正补充.5.教师讲解，学生独立完成规范解答.6.教师小结：利用切线得垂直，已知切线的问题中，常用的辅助线为连接圆心和切点，构造直角三角形.类似

15、性问题3. P为O外一点，PA、PB分别切O于点A、B，APB=50°,点C为O上一点（不与A、B重合），则ACB的度数为_.解析：如图（出示图形），分点C在优弧和劣弧上两种情况分别求解.学生独立完成，教师指定学生讲解.第二课时教学路径师：上节课我们一起学习了直线和圆的位置关系，谁能告诉老师直线和圆又哪几种位置关系？如何从数量的角度判断直线和圆的位置关系？生：（尝试作出回答）师：直线和圆相切时都有哪些性质？我们还学习过的一个判定切线的定理是什么？生：（尝试作出回答）师：同学们回答的非常好，这节课那我们就继续学习与圆的切线有关的知识.初步性问题探究类型之三 切线的性质例 4 如图，AB

16、，BC分别是O的直径和弦，点D为上一点，弦DE交O于点E，交AB于点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于点H，且HC=HG，连接BH，交O于点M，连接MD，ME.求证：（1）DEAB；解析：证明DEAB即证明FBG+FGB=90°；（下一步）连接OC（在图中作出），则OCHC，即OCG+HCG=90°；（下一步）由OB=OC得FBG=OCG，由HC=HG得HCG =HGC =FGB；（下一步）进行等量代换即可得出FBG+FGB=90°.答案：证明：（1）如图,连接OC.HC=HG，HCG=HGC.HC切O于点C，OCG+HCG=90°.OB=O

17、C，OCG=FBG.HGC=FGB，HCG=FGB，FBG+FGB=90°,BFG=90°，即DEAB.（2）HMD=MHE+MEH.解析：连接BE（在图中作出），利用圆内接四边形的性质及三角形的外角性质证明.答案：证明：（2）如图,连接BE.由（1）知DEAB.AB是O的直径，,BED=BME.四边形BMDE内接于O，HMD=BED，HMD=BME.BME是HEM的外角，BME=MHE+MEH，HMD=MHE+MEH. 1.教师指定学生读题并说说自己获得的信息.生：由HC=HG可以HCG=HGC师：要证明DEAB我们可以转化为证明什么？生：可以转化为证明FBG+FGB=9

18、0°.师：题中好像没有垂直的关系，这可怎么转化呢？生：有切线，所有我们连接圆心和切点的半径垂直于切线，然后根据等腰三角形的性质进行转化就可以了.师：你可以具体说说吗？生：连接OC，则OCHC，即OCG+HCG=90°师：下面大家就独自整理一下答案吧.2.学生独立完成第（1）问的规范解答.师：下面请同学们独立思考下第（2）问，然后在小组里相互讨论交流一下.3.学生先独立思考，然后小组讨论，尝试解答第（2）问，教师巡视并积极参与其中，对于没有思路的小组给予适当提示：MHE+MEH可以转化为哪个角？等弧有什么性质？4.教师指定小组代表汇报，其他小组指正并评价.5.教师讲解并小结：

19、连接圆心与切点是一条常用的辅助线，利用切线的性质可构造直角三角形，在圆的证明与计算中有广泛的应用. 6.学生独立完成规范解答.师：下面请大家独立完成课后的类似性问题4吧.类似性问题4. 如图，已知AB是O的直径，AP是O的切线，A是切点，BP与O交于点C.（1）如图(1)，若AB=2，P=30°，求AP的长（结果保留根号）；（2）如图(2)，若D为AP的中点，求证:直线CD是O的切线.解析：（1）结合切线的性质和含30°角直角三角形的性质，利用勾股定理求解；（下一步）（2）连接OC，AC（在图中作出），利用圆周角定理的推论、直角三角形的性质及等腰三角形的性质证明OCA+AC

20、D=90°.学生独立完成，教师指定学生讲解.初步性问题探究类型之四 切线长定理的运用 例5 如图，O的直径AB=2，AM和BN是它的两条切线，DE切O于E，交AM于D，交BN于C.设AD=x, BC=y.（1）求证：AMBN；解析：闪烁“AM和BN是它的两条切线”变色后出示：AMAB，BNAB；（下一步）AMBN .答案：证明：AB是O的直径，AM、BN是O的切线，AMAB，BNAB，AMBN.（2）求y关于x的关系式；解析：过D作DFBC于F（在图中作出），则DF=AB=2，BF=AD=x；（下一步）CF=BC-BF=y-x，根据切线长定理可知CD=DE+CE=AD+BC=x +

21、y；（下一步）在RtCDF中根据勾股定理建立关系式.答案：解：如图,过点D作DFBC于F，则ABDF.由（1）得AMBN，四边形ABFD为矩形,DF=AB=2，BF=AD=x.DE、DA、CE、CB都是O的切线，根据切线长定理，得DE=DA=x，CE=CB=y.在RtDFC中，DF=2，DC=DE+CE=x + y,CF=BC-BF=y-x,（x + y）2=22+（y-x）2，化简，得y=（x0）.（3）求四边形ABCD的面积S，并证明S2.解析：根据梯形面积公式得S=AB·（AD+BC）=×2（x + y）= x + y= x +；（下一步）利用作差法证明S2.答案：解

22、：由（1）（2）得四边形ABCD的面积S=AB·（AD+BC）=×2×（x +），即S= x +（x0）.证明：x +-2=x-2+=0，当且仅当x=1时，等号成立，x +2,即S2.1.教师指定学生读题，并说说自己获得的信息.生：根据切线的性质可以知道ABAM，ABBN,根据切线长定理可以得到AD=DE=x，BC=CE=y2.学生独立完成第（1）问.师：那么y与x的关系我们该如何来表示呢？自己在小组里讨论一下吧.3.学生小组讨论尝试解答第（2）问，教师指定小组汇报，其他小组指正并补充.生1：过点D作DFBC，易知DF=AB=2，CF=y-x，CD=x+y，在Rt

23、CDF中根据勾股定理找出等量关系，然后化简师：有何他们小组方法不一样的吗？生2：我们小组构造的直角三角形和他们不太一样，我们是过点A作AFCD，证明四边形AFCD是平行四边形得到AF=CD=x+y，BF=y-x，然后在RtCDF中根据勾股定理找出等量关系，然后化简师：两组同学的方法大同小异，都是很不错的方法，下面同学们就选择一种自己喜欢的方法解答第（2）问吧.4.学生独立完成第（2）问解答.5.教师讲解第（3）问，学生规范整理答案. 6.教师小结：了解平均值不等式:若a0,b0,则a+b2,当且仅当a=b时等式成立.例6 如图，AB是O的直径，BCAB于点B，连接OC交O于点E，弦ADOC，弦

24、DFAB于点G.（1）求证：点E是的中点；解析：连接OD（在图中作出），要证明点E是的中点，即证明，只需证明BOE=DOE即可.答案：证明：如图，连接OD.ADOC，BOE=OAD，DOE=ADO.OA=OD，OAD=ADO.DOE=BOE，即点E是的中点.（2）求证：CD是O的切线；解析：要证明CD是O的切线，只需证明ODCD即可；（下一步）利用SAS证明COBCOD.答案：证明：由（1）知DOE=BOE，又在COD和COB中，CO=CO，OD=OB，CODCOB，CDO=B.BCAB，CDO=B=90°,即CD是O的切线.（3）若，O的半径为5，求DF的长.解析：在RtADG中，

25、设DG=4x,AD=5x,则AG=3x，在RtODG中运用勾股定理求解. 答案：解：在ADG中，,设DG=4x,AD=5x.DFAB，根据勾股定理可得AG=3x.在RtODG中,OD=5,DG=4x,OG=5-3x,由勾股定理得OD2=DG2+OG2，即52=（4x）2+(5-3x)2,解得x1=,x2=0(舍去),DF=2DG=2×4×=.1.教师指定学生读题，并说说自己的思路.生：要证明点E是弧BD的中点，我们只要连接OD，证明COD=COB就可以了.再利用SAS证明CODCOB，根据全等三角形的性质及切线的性质得到CDO=CBO=90°从而说明CD是O的切线

26、.师：这位同学的思路很清晰，大家明白了吗？师：明白的话就抓紧时间自己独立完成第（1）（2）问吧.2.学生独立完成第（1）（2）问.师：第（3）问中DF的长我们又该如何来求呢？先自己独立思考一下，然后在小组里讨论一下吧. 3.学生小组讨论，讨论结束后教师指定小组代表汇报，其他小组指正并补充.4.教师讲解，然后学生独立完成规范解答.5.教师小结：在遇到有关求线段长度问题时，利用方程是解决几何计算问题的常用方法，即“方程思想”.类似性问题5.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点O为AB上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆交BC于点D，DEAC于点E.求证：DE是O的切线.解析：连接OD（在图

27、中作出），则由OB=OD可得B=ODB；（下一步）由AB=AC得B=C，所以ODB=C；（下一步）所以ODAC，又DEAC，所以 DEOD，所以DE是O的切线.学生独立完成，教师指定学生讲解.6. 如图(1)，AB为O的直径，AD与O相切于点A，DE与O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB.（1）求证：BC为O的切线；（2）连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G（如图(2)所示）.若AB=2，AD=2，求线段BC和EG的长.解析：（1）连接OE，OC（在图中作出）,由切线的性质可知OECD，即OEC=90°，利用SSS证明OECOBC，由全等三角形的性质可得OBC=

28、OEC=90°,即OBBC，所以BC为O的切线.（下一步）（2）过点D作DFBC（在图上作出），设BC=x，则CF=x-2，DF=AB=2,CD=x+2，在RtCDF中根据勾股定理列方程求解；（下一步）易知BC=CE=CG，所以BG=2BC，在RtABG中由勾股定理求出AG的长；（下一步）连接BE（在图中作出），在RtABG中利用等积法求出BE的长，在RtBEG中根据勾股定理求EG的长.学生独立完成，教师指定学生讲解.答案：【类似性问题】1. D2. D3. 65°或115°4. （1）解：AB是O的直径，AP是O的切线，BAP=90°.在RtPAB中，

29、AB=2，P=30°，BP=2AB=2×2=4.由勾股定理，得AP=.（2）证明：如图，连接OC、AC，AB是O的直径,BCA=ACP=90°.在RtAPC中，D为AP的中点，CD=AP=AD,DAC=DCA.又OC=OA，OAC=OCA.OAC+DAC=PAB=90°，OCA+DCA=OCD=90°,即OCCD,直线CD是O的切线.5. 证明：连接OD.OB=OD，B=ODB.AB=AC，B=C，ODB=C，ODAC.又DEAC，DEOD，DE是O的切线.6. （1）证明：如图(1),连接OE，OC.CB=CE，OB=OE，OC=OC,OBCOEC（SSS），OBC=OEC.又DE与O相切于点E，OEC=OBC=90°，BC为O的切线.（2）解：如图(2),过点D作DFBC于点F.AD，DC，BG分别切O于点A，E，B，DA=DE，CE=CB.易证四边形ABFD为矩形.设BC=x,则CF=x-2,DC=x+2.在RtDFC中,由勾股定理得CD2=CF2+DF2,即（x+2）²=(x-2)²+（）²，解得x=.ADBG，DAE=EGC.DA=DE，DAE=AED.AE