佳一数学2014年秋季全国版教案 九年级-11 三角形的内切圆

1、第十一讲 三角形的内切圆教学内容佳一动态数学思维秋季版，九年级第十一讲“三角形的内切圆”.教学目标知识技能1.理解并掌握三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形的内心概念；2.理解并会运用三角形内心的性质. 数学思考 应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力.问题解决学生通过自己画图、类比、分析、深刻理解三角形内切圆的概念及内心的性质.情感态度 通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心.教学重点、难点重点：三角形内切圆的概念及内心的性质难点：三角形与圆的位置关系中的“内”与“外”、“接”与“切”四个概念的理解和运用教学准备动画多媒体语

2、音课件第一课时教学路径导入师：在小学的时候，我们都知道要在一个正方形中剪出一个最大的圆，只要圆的直径等于正方形的边长即可，要在长方形中剪出一个最大的圆，只要圆的直径等于长方形的宽即可.那么如何在一个三角形中剪出一个最大的圆呢？学习了这节课相信同学们一定都能够做到.这就是我们这节课主要学习的内容三角形的内切圆.启动型问题在一座新建的立交桥下，有一块形状如图(1)所示的三角形空地，园林部门要在此空地中间建一个圆形花坛（剩余空地种草）.要使花坛面积最大，如果你是园艺师，请你在下面空地上画出花坛的示意图，你能求出圆形花坛的面积吗？ 小萍：作三角形内切圆O，如图（2）所示，设三角形的三边长为a,b,c,

3、花坛的半径为r,则SABC = （a+b+c）r.小亮：由此可得r=,利用圆的面积公式求圆形花坛的面积.师：下面我们一起来来看一下这节内容的基本知识.回顾：1.三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.性质：三角形的内心是三角形的三条内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等.（下一步）2.多边形的内切圆圆外切四边形的两组对边的和相等，其逆命题亦真，且是判定四边形是否有内切圆的重要方法.当圆外切三角形、圆外切四边形是特殊三角形、特殊四边形时，能得到隐含丰富结论的图形（如图所示）.师：下面我们就一起来看几道例题.初步

4、性问题探究类型之一 三角形的内切圆例1 如图，在直角三角形ABC中，C=90°,AC=3,BC=4,点O是ABC的外接圆的圆心，I切ABC的三边于点F、E、D，则OF=（ ）A.1 B. C.2 D. 1.教师指定学生读题，并说一说自己能够获得的信息及自己的解题思路.生：由“C=90°,AC=3,BC=4”根据勾股定理我们很容易知道AB=5；由“点O是ABC的外接圆的圆心”可以知道OA=OB=AB=；根据内切圆的性质可以知道AF=AD，BE=BF，CD=CE.师：那你觉得OF的长该怎么来求呢？生：用OA-AF（或者BF-OB）就可以了，也就是说我们只要求出AF（或BF）的长

5、就可以了.师：你分析的很好，已经帮大家找到了解题的思路，但是这个AF（或BF）的长我们该怎么来求呢？先自己独立思考一下，然后在小组内交流一下自己的想法吧.2.学生小组讨论探究如何求AF（或BF）的长，教师巡视并积极参与其中，对于没有思路的小组给予适当提示.3.教师指定小组代表汇报，其他小组指正并补充.生1：设AD=AF=x，BE=BF=y，CD=CE=z，然后根据AC，BC，AB的长列三元一次方程组求解.生2：连接ID，IE，容易得出四边形CDIE是正方形，从而得到CD=IE=r,然后根据三角形的面积与内切圆的半径之间的关系求出r，也就知道了CD的长，从而求出AF=AD=AC-CD的长.生3：

6、根据内切圆的性质我们发现AD+AF=AB+AC-BC，也就是2AF= AB+AC-BC，从而求出AF的长.师：经过同学们开动脑筋发现了这么多方法，你们真棒，下面就选择你喜欢的方法计算一下吧.4.学生独立完成计算，集体核对答案.5.教师小结:若在直角三角形ABC中，两直角边为a, b,斜边为c,则直角三角形ABC的内切圆的半径.解析:闪烁“C=90°,AC=3,BC=4”变色后出示：AB=5.（下一步）闪烁“点O是ABC的外接圆的圆心”变色后出示:OA=OB=AB=.（下一步）闪烁“I切ABC的三边于点F、E、D”变色后出示：AD=AF，BE=BF，CD=CE；（下一步）AC+BC-A

7、B= AD+ CD+ CE+ BE-（AF+BF）=2CD，CD=1；（下一步）AF= AD= AC- CD=2. （下一步）OF=OA- AF=-2=.答案：D类似性问题1. 如果正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）A.2 B.3 C. D.2解析：如图，连接OD、OA. 在RtAOD中，OD=1，OAD=30°,OA=2，AD=,AB=2AD=2.学生独立完成，教师指定学生讲解.例2 如图，在ABC中，AB=AC，A为锐角，CD为AB边上的高，I为ACD的内切圆的圆心，则AIB的度数是（ ）A.120° B.125° C.135°

8、 D.150°解析：连接IC（在图上作出），利用轴对称性可知AIB=AIC；（下一步）由三角形内切圆的性质可知IAC=DAC，ICA=DCA，又CD为AB边上的高，所以DAC+DCA=90°；（下一步）IAC+ICA=DAC+DCA=（DAC+DCA）=×90°=45°，所以AIB=AIC=180°-（IAC+ICA）=180°-45°=135°.答案：C1.教师指定学生读题，并分析题意.生：根据内切圆的性质可以得到BAI=CAI,根据等腰三角形的性质可以知道ABC=ACB.根据三角形的内角和定理可以得到

9、 DAC+ACD=90°.师：直接求AIB的度数可以吗？生：不可以.师引导：那么我们可以把AIB转化为哪个角（添加辅助线）？怎么求呢？先自己思考一下，然后同桌之间相互讨论.2.学生先独立思考，然后同桌之间讨论.3.教师指定学生讲解汇报.4.教师小结：在解决问题时，如果发现直接求解比较困难，我们一般要适当作辅助线进行角度转换，这体现了数学中的转化思想. 类似性问题2. 如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（ ）A.50 B.52 C.54 D.56 解析：利用切线长定理可推得圆外切四边形的两组对边的和相等；（下一步） 四边形ABCD的周长=2（AB

10、+CD）=2×（16+10）=52.学生独立完成，教师指定学生讲解.例3 如图，O的半径为1，点P是O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DEAB于点E，以点D为圆心，DE长为半径作D，分别过点A、B作D的切线，两条切线相交于点C.（1）求弦AB的长；解析：连接OA,设OP与AB的交点为点F（在图中作出）, 利用垂径定理与勾股定理求解.答案：解:(1)如图,连接OA,设OP与AB的交点为点F,则有OA=OP=1.弦AB垂直平分线段OP,OF=OP=,AF=BF.在RtOAF中,AF=,AB=2AF=.（2）判断ACB是否为定值，若是，求出ACB的大小

11、；否则，请说明理由；解析：点D是ABC的内心，即三角形三条角平分线的交点，连接DA,DB，OA，OB，利用三角形内角和可求ACB的大小.答案：解：(2)ACB是定值.理由如下:如图,连接AD，BD ，OA，OB，.由(1)易知AOB=120°.点D为ABC的内心,CAB=2DAB，CBA=2DBA.DAB+DBA=AOB=60°,CAB+CBA=120°,ACB=180°-CAB-CBA=60°.（3）记ABC的面积为S，若，求ABC的周长.解析：将S=（AB+BC+AC）·DE代入可得AB+BC+AC=DE；（下一步）设AC、BC与

12、D的切点分别为G、H，连接DG、DC、DH（在图中作出），则易求得CG=CH=DE，AB+BC+AC=2（AE+BE）+2CG=2+2DE；（下一步）DE=2+2DE，解得DE=，AB+BC+AC=DE=，即ABC的周长为.答案：如图,设AC、BC与D的切点分别为G、H，连接DG、DC、DH，则有DG=DH=DE，DGAC，DHBC，记ABC的周长为l，则S=AC·DG+BC·DH+AB·DE=l·DE.,，即l=DE.CG、CH是D的切线，CGD=90°，GCD=ACB=30°，CD=2DG=2DE，CG=DE，CG=CH=DE.由

13、切线长定理得AG=AE,BH=BE,l=AB+BC+AC=2+2DE=8DE,得DE=,ABC的周长为.1.教师指定学生读题，并讲解第（1）问的解题思路.2.学生独立完成第（1）问解答.3.小组讨论如何表示ACB，教师指定学生汇报.4.教师讲解，学生规范整理答案.5.学生讲解第（3）问，学生规范完成解答.6.教师小结：如图，I内切于ABC，切点分别为D、E、F，ABC的三边长为BC=a，AC=b，AB=c,I的半径为r,则有：（1）BIC=90°+A；（2）SABC=(a+b+c)r；（3）AE=AF=（b+c-a），BD=BF=（c+a-b），CD=CE=（a+b-c）.类似性问题

14、3.如图，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC、CD、DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长为（ ）A.4 B.5 C.6 D.不能确定解析：连接OC，OD（在图中作出），由切线长定理可知ADO=CDO，由ABCD可得AOD=CDO，所以ADO=AOD，所以AO=AD，同理可得BO=BC，所以AB=AO+BO=AD+BC=5.学生独立完成，教师指定学生讲解.第二课时教学路径师：同学们回顾一下三角形内切圆的定义和性质.师：我们接下来继续看一道与三角形内切圆有关的例题.初步性问题探究类型之二 与三角形内切圆有关的问题例 4 如图，在ABC中，A=60°,AC=8,

15、AB=10,O与边AB、AC相切，若O与边AB相切的切点为E. （1）求O的面积y与EA的长x之间的函数关系式；解析：连接OE,OA（在图中作出）,求O的面积y与EA的长x之间的函数关系式，实际上就是求O的半径与直角三角形AEO的直角边EA之间的关系.答案：解：（1）如图,连接AO，OE，则AEEO.AB、AC都与O相切，EAO=30°.设OE=r,则OA=2r，由勾股定理得AE2+OE2=OA2，即x2+r2=（2r）2，解得r=.y=EO2=.（2）当O与ABC三边都相切时，求O的面积；解析：过点C作CDAB（在图中作出）,在RtACD中求出CD的长，在RtBCD中求出BC的长；

16、（下一步）根据SABC=AB·CD=（AB+AC+BC）r求出r的值，然后利用圆的面积公式求圆的面积.答案：如图,过点C作CDAB于点D，则AD=4，BD=6，CD=4，BC=2.设ABC内切圆的半径为r，SABC=AB·CD=（AB+AC+BC）r,r=3-,O的面积为（3-）2=（34-6）.（3）若O在变化过程中都是落在ABC内（含相切）时，写出x的取值范围. 解析：当O是ABC的内切圆时x的值最大.答案：当O与ABC三边都相切时，O半径最大，AE最大.由（1）知r=,此时x=r=×（3-）=9-,x的取值范围是0< x 9-.1.教师指定学生读题并讲

17、解第（1）问.2.学生独立完成第（1）问解答.3.学生小组画出图形并讨论如何求圆的面积.4.教师指定小组汇报，其他小组指正并补充.5.教师讲解第（2）（3）问，学生规范解答. 类似性问题4. 如图，在RtABC中，C=90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆恰好与斜边相切于点D，与BC交于另一点E.（1）求证：AOCAOD；（2）若BE=1，BD=3，求O的半径及图中阴影部分的面积S.解析：（1）根据切线长定理可得AC=AD，又AO=AO，OC=OD，所以AOCAOD；（下一步）设圆的半径为r，则OD=r，OB=OE+BE=1+r，在RtOBD中根据勾股定理列方程求r

18、；（下一步）在RtABC中，AB=AD+BD=AC+BD=AC+3，BC=BE+CE=1+2r，利用勾股定理可求出AC的长；（下一步）用ABC的面积减去圆面积的一半即可求出阴影部分的面积.学生独立完成，教师指定学生讲解.答案：【类似性问题】1. D2. B3. B4.（1）证明:AB切O于点D，ADO=C=90°.OC=OD，OA=OA,RtAOCRtAOD.（2）解:设O的半径为r,在RtODB中，由勾股定理得OD2+BD2=OB2,即r²+3²=(r+1)²，解得r=4.由（1）有AC=AD.在RtABC中,BC=2r+BE=9，AB=AD+BD=A

19、C+3,AC²+9²=（AC+3）²，解得AC=12,S=AC·BC-r²=×12×9-×4²=54-8.手册答案1.A 【解析】BOC=90°+A=90°+×80°=130°.2.A 【解析】连接OH，则OH=CF，OGH=CGF，RtOHGRtCFG,同理得RtOHPRtAEP，则S矩形OFDE=S五边形PGFDE+SGFC+SPEA=SACD=S矩形ABCD，故S矩形OFDES矩形ABCD=12.3.B 【解析】由切线的性质可得OEA=OFA=90&

20、#176;.由B=50°，C=60°，得A=70°，EOF=110°，EDF=55°.4.A 【解析】设圆的半径为R，则A1B1=2Rcos30°=R，AB=2R，所以原式=.5. 【解析】设BC切O于D，连接OB、OD.SO=r²=9，r=3，即OD=3.在RtOBD中易求得BD=,BC=2BD=，ABC的周长为3BC=.6.【解析】连接OD，OE，设AC=m，BC=n，则有mn=2S，m²+n²=c²，=,解得r=.7. 【解析】连接OD，OE，OA.O与AC、AB边都相切，ODAC，OEAB.PC=4，AC=8，AB=10,BC=6，AP=4，SABP=12.又SABP=SABO+SAPO=AP·