数学建模之CT的图像重建PPT课件

1、3、1989：单方向连续旋转型CT机 螺旋式扫描CT 第五代CT机1、CT：Computer Tomography 计算机体层摄影，计算机断层成像2、1972：Allan M. Cormack (USA) Godfrey N. Hounsfield (UK) 1979:Nobel 奖一、简介：第1页/共25页二、基本原理和概念 X射线在穿过物质时其强度按指数形式衰减，因此X射线穿过均匀物质后的强度Iout 与入射强度Iin的关系为loutinIIe其中 为X射线在均匀物质中的传播距离 ， 为物质对X射线的衰减系数l第2页/共25页exp(d)outinLIIl因此对于不均匀物质，其出射强度和入

2、射强度的关系为lllinoutneeeII21X和入射强度的关系为的模块后，其出射强度，而衰减系数不同射线穿过一组长度相同当第3页/共25页 但如果用入射强度相同的射线穿过两个不同的模块时，其出射强度也可能相同，尽管两个物质的内部结构不同。水水该物质值某物质的1000CT人们关心的是各组织密度间的差异。此时就需要把整个模块分成若干小的 基本单元。这些小单元称为体素(Voxel)，我们要求的就是这些小单元的CT值，它反映了物质的密度。第4页/共25页CTCT值反映物质的密度，物质的值越高，物质的密度越高10000CT水水水水值010001000CT 水空气水值第5页/共25页三、三、CTCT的结

3、构与原理的结构与原理第6页/共25页平面平面CTCT的成像原理的成像原理第7页/共25页体素、矩阵和象素体素、矩阵和象素体体 素：将选定层面分成若干个体积相同的立方体素：将选定层面分成若干个体积相同的立方体数字矩阵：每个体素的数字矩阵：每个体素的X X线衰减系数排列成矩阵线衰减系数排列成矩阵像像 素：一幅素：一幅CTCT的图象由许多按矩阵排列的小单元组的图象由许多按矩阵排列的小单元组成，这些组成图象的基本单元称为像素成，这些组成图象的基本单元称为像素第8页/共25页在在CTCT中，用专门的计算机将收集到的原始数据经过复中，用专门的计算机将收集到的原始数据经过复查的运算而得到一个显示数据的矩阵，

4、由原始数据一查的运算而得到一个显示数据的矩阵，由原始数据一显示数据过程称为重建，显示数据过程称为重建，CTCT的本质就是重建图象，的本质就是重建图象， CTCT的重建图象克服了常规的重建图象克服了常规X X射线设备线积分测量的局射线设备线积分测量的局限性限性1917:1917:拉东（拉东（RadonRadon）变换）变换: :( )( , )dLP fF x ysLsL其中 为平面中的一条直线， 表示沿L的弧长第9页/共25页Q0QdF1F( )fP f L（q）（Q）q其中Q为平面中任意一点， （q）表示沿所有与点Q相距q（q0)的直线L的的平均值.第10页/共25页将待测物体的截面分成若干

5、个体素，每个体素为边长为 的正方形，设有一束射线的宽度为四、模型的建立X射线的强度以一定的速率被体素内的组织吸收而衰减，衰减速率正比于该体素的衰减系数jjXx记第 个体素的 射线密度为第11页/共25页线性方程个立束射线，我们就可以建如果有，则射线离开时的强度束第射线进入时的强度束第个体素，记束射线穿过连续如果第射线的强度个体素的离开第射线的强度个体素的进入第射线密度为个体素的定义第MMbxxxkixxXjikijj21XiXilnbXjXjln第12页/共25页1121212121 1221,9.91,0,(9.9)(9.10)NiikiikjikjjjikijiiiNNiNNikjjjxi

6、kjjjxxxbjjjjaa xa xa xbM将待检测的截面分成 个体素，并将它从 到 编号（如图）设第 束穿过 个体素，这些体素的编号为则设第 束穿过 个体素，这些体素的编号为则（）当令其他所以式可写为若总共有束射线， 个体素1,1, 2,.Nijjija xbiM，最后得到如下方程组第13页/共25页X1X2X3X4CTCT图像重建图像重建1234第14页/共25页这样CT图像重建的数学模型为：1,1, 2,.,NijjijNa xbiMAxbxRMN也就是线性方程组：这里因此这是有个方程， 个变量的线性方程组第15页/共25页X射线不一定沿平行于体素边穿过，因而对aij有如下三种修正。

7、(1) 981,0(2)99(3)9 10ijijiijijaijijlajijAaijA中心法（图）当第 束射线经过第 个体素中心时， 当第 束射线不经过第 个体素中心时中心线法（图）第 束射线的中心线经过第 个体素内的长度第 个体素的边长面积法（图）第 束射线位于第 个体素内的面积第 束射线若平行于体素边长时位于第 个体素内的面积第16页/共25页五、模型的求解 矩阵 有许多的元素是零，是大型稀疏矩阵，我们采用迭代法求解，有雅可比(Jacobi) 迭代法，高斯-赛德而(Guass-Seidel)迭代法,超松驰迭代法等。1、Jacobi 迭代法:NMijaA)(11()(1,2, ,0,1,

8、2,)kkiiijjj iiixba xin ka111()kkkAxbADLUxDLU xD bBxf 第17页/共25页2、Guass-Seidel 迭代法111111()(1,2, ,0,1,2,)inkkkiiijjijjjj iiixba xa xain k 11111()()kkkkkkAxbADLUDxLxUxbxDLxDLbGxf 第18页/共25页3、超松驰迭代法：11111()(1,2, ,0,1,2,)inkkkkiiiijjijjjj ixxba xa xin k 1()kkkkkkAxbCIAxCxbxbAxxr1()(1,2, ,0,1,2,)kkkiiiijjj

9、ixxba xin k第19页/共25页11111()(1,2, ,0,1,2,)inkkkkiiiijjijjjj ixxba xa xin k 1(1,2, )nijijjiiiiabxinaa考虑方程组：11111()(1,2, ,0,1,2,)inijijkkkkiiijjjj iiiiiiiaabxxxxaaain k 第20页/共25页11111()(1,2, ,0,1,2,)021:inijijkkkkiiijjjj iiiiiiiaabxxxxaaain kGauss Seidel 迭代公式第21页/共25页六、含有测量误差的处理1、无解的情形：12(1,2, )minnnijjijx Ra xb