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文档简介
1、第十节函数与方程1结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数2根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解知识梳理一、函数的零点1定义:一般的,如果函数yf(x)在_,即 f(a)0,则_叫做这个函数的零点2函数的零点存在性定理:若函数yf(x)在闭区间a,b上的图象是_,并且在_,即_,则函数yf(x)在_,即相应的方程f(x)0在区间(a,b)内至少有一个实数根3函数的零点具有下列性质:当它_(不是偶次零点)时函数值_,相邻两个零点之间的所有函数值保持同号二、二分法1定义:对于区间a,b上图象连续不断的,且f(a)· f(b)&l
2、t;0 的函数yf(x),通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,从而得到零点近似值的方法,叫做二分法2用二分法求函数零点的近似值的步骤第一步:_第二步:_第三步:_(1)若_,则x1就是函数f(x)的零点;(2)若_,则令bx1;(3)若_,则令ax1.第四步:判断是否达到精确度,即若_,则得到零点近似值a(或b)否则,重复第二、三、四步注意:(1)在二分法求方程解的步骤中,初始区间可以选的不同,不影响最终计算结果,所选的初始区间的长度尽可能短,但也要便于计算;2 / 6(2)二分法的条件f(a)·f(b)<0表明用二分法求函数的近似零点都是指
3、变号零点三、一元二次方程根的分布问题关键是抓住方程ax2bxc0(a0)的根所在区间端点的函数值的符号、判别式及对称轴的位置这三点来考虑二次方程f(x)ax2bxc0的实根分布及条件:(1)方程f(x)0的两根中一根比r大,另一根比r小a·f(r)<0;(2)二次方程f(x)0的两根都大于r (3)二次方程f(x)0在区间(p,q)内有两根(4)二次方程f(x)0在区间(p,q)内只有一根f(p)·f(q)<0或f(p)0或f(q)0,检验另一根在(p,q)内成立一、1.实数a处的值等于零a2.连续不间断的区间端点的函数值符号相反f(a)·f(b)&l
4、t;0区间(a,b)内至少有一个零点3.通过零点变号二、2.确定区间a,b,验证f(a)·f(b)<0,给定精确度求区间 (a,b)的中点x1计算f(x1)(1)f(x1)0(2)f(a)·f(x1)< 0(3)f(x1)·f(b)<0|ab|<基础自测1根据表中的数据,可以判定方程exx20的一个根所在的区间为()x10123ex0.3712.727.3920.09x212345A.(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)解析:设f(x)ex(x2),则由题设知f(1)0.280,f(2)3.390,故有一个根在区间(1,2)内答案
5、:C2(2013·河北名师俱乐部一模)下列函数中,在(1,1)上有零点且单调递增的是()Aylog2(x2)By2x1Cyx2Dyx2解析:在(1,1)上递增的函数只有ylog2(x2)和y2x1,又ylog2(x2)的零点为x1,y2x1的零点为x0.故选B.答案:B3如果函数f(x)x2mxm2的一个零点是0,则另一个零点是_解析:依题意知:m2.f(x)x22x.方程x22x0的另一个根为2,即函数f(x)的另一个零点是2.答案:24方程x22ax40的两根均大于1,则实数a的取值范围是_解析:(法一)利用韦达定理设方程x22ax40的两根为x1,x2,则解得2a.(法二)利用
6、二次函数图象的特征设f(x)x22ax4,则解得2a.答案: 1(2012·湖北卷)函数f(x)xcos x2在区间0,4上的零点个数为()A4 B5C6 D7解析:由f(x)0,得x0或cos x20,即x2k,kZ.又x0,4,k0,1,2,3,4.共有6个解故选C.答案:C2(2013·天津卷)函数f(x)2x|log0.5 x|1的零点个数为()A1 B2C3 D4解析:2x|log0.5x|10|log0.5x|log0.5x|x,画这两个函数的图象,由图可知选项B正确答案:B1(2012·东北三省四市教研协作体调研)若a2,则函数f(x)x3ax21在(0,2)内零点的个数为()A3 B2 C1 D0解析:f(x)x22ax,由a2可知,f(x)在x(0,2)恒为负,即f(x)在(0,2)内单调递减又f(0)10,f(2)4a10,f(x)在(0,2)只有一个零点故选C.答案:C2(2013·湛江一模)函数f(x)|x2|ln x在定义域内零点的个数为()A0 B1 C2 D3解析:由题意,函数f(x)的定义域为(0,);由函数零点的定义,f(x)在(0,)内的零点即是方程|
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