湖北省武汉市武昌区2021届高三年级1月份质量检测数学试题(含答案解析)

1、武昌区2021届高三年级1月质量检测2021.1注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号填写在答题卡上。2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。1.已知集合J = x|x2-3x-4<0, B = x2x>S9 那么集合ACB =A. (3,-k»)B1,+oo)C.3,4D

2、(3,4高三数学试卷第5页（共5页）2-已知i是虚数单位'复则复数云在复平面内对应的点位于3.A.第一象限B 第二象限已矢口 tana = 2,则1 + cos2asin2aA.2B.-C 第三象限C.-2D第四象限D.-丄24.甲、乙、丙.丁四位同学组成的数学学习小组进行了一次小组竞赛，共测试了 5道题，每位 同学各题得分情况如下表学第1题第2题第3题第4题第5题甲101010200乙101051510丙1010151510T010102020下列说法正确的是A. 甲的平均得分比丙的平均得分高B. 乙的得分极差比丁的得分极差大C. 对于这4位同学，因为第4题的平均得分比第2题的平均得

3、分高，所以第4题相关知识一定 比第2题相关知识掌握好D. 对于这4位同学，第3题得分的方差比第5题得分的方差小5.物理学规定音量大小的单位是分贝（dB）,对于一个强度为/的声波，其音量的大小"可由如下公式计算：7 = i01gy （其中厶是人耳能听到声音的最低声波强度）.我们人类生活在一个充20满声音的世界中，人们通过声音交换信息.交流情感，人正常谈话的音塑介于40dB与60dB之间飞机起飞时的音位约为120dB,则120dB声音的声波强度厶是40dB肖音的声波强度厶的A.3倍B.2倍C.106倍D.10*借4&已知a = 2亍.2 12> = 4匚 <?=255

4、,则A*C< CTB.c<a<bC.a <b<cD.b<a<c7.学校举行羽毛球混合双打比赛.每队由一男一女两名运动员组成.某班级从3名男生仏.Ai9九和4名女生耳，场，凤中各随机选出两名.把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则勺和3两人组成一队参加比赛的概率为8.已知三棱锥P-ABC的各个顶点都在球Q的表面上.円丄底面MC,曲丄人B = 6、4C = 8 D是线段AB±.一点,且Q = 2a.过点D作球。的截面，若所得截面圆面积的垠大值与最 小值之差为2571,则球。的表面积为A.1287CB. 13271CJ44nD.156h

5、-选择麻 本题共4小题'每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分.有选错的得0分。9右图是函数p = co§（6ir + 0）的部分图彖.则cos（an） =A. sin(2x+B.cos(-2x+j)C. cos(2x +D,sin(2jc 十誓)1O己矢Ua>o9 A>0,且a +则D.log2a+-log2A -211. 已知咄线C的方程为丄二=（左£R）,贝ij 9_k fc-1A. 当k = 5时，曲线C是半径为2的圆B. 当时，曲线C为双曲线，英渐近线方程为y = ±|jtC

6、存在实数*.使得曲线C是离心率为运的双曲线D是“曲线C为焦点在X轴上的椭圆”的必要不充分条件12. 如图所示，在凸四边形ABCD中，对边BC, /£>的延长线交于点E,对边AB 9 DC的延长线交于点F, BC = 2C£,ED = pDAAB = 3BF (2, “>0),则B®盲D学二EBEA 9Echu meng刍養）,下广三丈，袤四*31 AEB = -EFt EA44C丄+丄的最大值为12 “三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 二项式（2x-i=-）6的展开式中，常数项为.（用数字作答）14已知过抛物线的焦点F 且斜率为巧

7、的直线与抛物线交于上，B两点.则15. 九章算术是古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊欧儿里得的几何原本并称现代数学的两大源泉.九章算术卷五记载：“今右刍輕（音:丈.上袤二丈，无广，高一丈间积几何？ ”译文：今有如图 所示的屋脊状楔体PQ-ABCD,下底面ABCD是矩形，假设 屋脊没有歪斜，即PQ中点R在底面ABCD I：的投影为矩形 ABCD 的中心点 O, PQ/AB,力 3 = 4, JD = 3, PQ = 2、 OR = （长度单位：丈）.则楔体PQ-ABCD的体积为（体积单位：立方丈）ex716. 设函数/（x） = -r（x + 21nx + -）恰有两个极值点，则实数/

8、的取值范围为XX四.解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。17. （10 分）在 2a-b = 2ccosB , S = #（/+/-疋）， >/3sin（ A + B） = + 2sin2 这三个条件中任选 一个，补充在下面的横线处，然后解答问题.在MBC中，角4, B , C的对边分别为a, b, c,设MBC的面积为S,已知.（1）求角C的值；（2）若b = 4,点Q在边上，8 为厶CB的平分线，ACDB的面积为出3,求a的值.3注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. (12 分)已知an是等差数列，同=2 , a3 = 6.求0”

9、的通项公式；(2)设 bn =1(72/-100|,求数列 ©的前 10 项和 7；。.19. (12 分)在四棱锥P-ABCD中，侧面P4D丄底面4BCD,底面ABCD为直角梯形，BC AD , ZADC = 90°, BC = CD = AD = t PA = PD, E , F 分别为 AD, PC 的中点.(1) 求证：P4 平面BEF ；(2) 若PC与所成角为45°,求二面角F BE 4的余弦值.20. (12 分)设P是椭圆C:手 +看= l(a>b>0)上异于长轴顶点4，局的任意点，过P作C的切线与 分别过4，仏的切线交于坊，场两点.已

10、知1441=4,椭圆c的离心率为占.(1) 求椭圆C的方程；(2) 以802为直径的圆是否过兀轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不 过定点，说明理由.21. (12 分)公元1651年，法国一位著名的统计学家徳梅赫(De mere)向另一位著名的数学家帕斯卡 (B.Pascal)提请了一个问题，帕斯卡和费马(Fermat)讨论了这个问题，后来惠更斯(C.Huygens)也加入 了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界垠优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名赌徒约定谁先贏k (k>fkeN9)局，谁便贏得全部赌注Q元.每局甲贏的概率为 p(Ovpvl)，乙贏的概率为

11、1-P，且每局赔博相互独立.在甲贏了局,乙贏了皿<灯局时，赌博意外终止.赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先贏k局 则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自贏得全部赌注的概率之比和：Pc 分配赌注.(1) 规定如果出现无人先贏k局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各 自贏得全部赌注的槪率之比R卩:&分配赔注.若a = 243, k=4, m = 2, n = l, p = |,则甲应 分得多少赌注？(2) 记那件X为“赌博继续进行下去乙贏得全部赌注”，试求当k=A, m = 2t力=1时赌博继 续进行下去甲赢得全部赌注的概

12、率f(p)t并判断当p-时，事件/是否为小概率事件，并说明4理由.规定：若随机事件发生的概率小于0. 05,则称该随机事件为小概率爭件.22. (12 分)已知函数/(x) = xlnr -yX2 + (a- l)x (a e R).(1) 讨论函数_Xx)的极值点的个数：(2) 若函数/(x)有两个极值点召，x2,证明：/(召)+ /(可)>23高三数学试卷第#页(共5页)武昌区2021届高三年级1月质量检测数学参考答案及评分细则一、选择题:题号12345678答案DABDDDCB二、选择题:题号91（）1112答案CDABCDABDABD三、填空题：1 ee13.6014. -15.

13、516. （一,一）1）（一 + 8）2 3 47 4四、解答题：17（10分）解：（1）若选：2ccosB = 2b-a,则由正弦定理得2sin Ccos B = 2sin （3 + C）-sin B ,即 2 sin B cos C - sin B = 0 ,: sin B H 0 :. cosC =,则 C = . （4 分）23若选：4$ =盯（62十/一（2）,则4*basinC = 加cosC,化简得tanC = V3, -c = p （4分）（4分）若选：巧sin（力+ ） = 2sin号+1 ,则有VJsinC = 1 -cosC +1» 化简得列弋严所以心在 MBC

14、 中 > Sbc = Smcd + $皿0 1所以，丄C3 Cj9-sin30° + -CJ CDsin30。=丄CFCsin60。2 2 2=> ax CD + CD =、/3a 4又 S*CD = 43a2?4由，= => a = 2或（舍）a + 4 33a = 2（10分）a, = 2 a = 2解：（1）设等差数列%的公差为d,由条件得£ '_，解得 宀°3 =再 + 2 = 6a =2（4分）（2）由可知-=|2"-100冋100-2l<n<62-100,7 510故乞白勺前10项和7；。= <10

15、0 2|）+100-20十十（100-2齐）十（27 100十十（2” 一100（8分）3高三数学参考答案及评分细则 第#页（共6页）19. （12 分）解：（1）证明：连接MC交恥于O,并连接EC, FO,fi（8分）:.PS/平面 BEF （4 分）（2）方法一：（综合法由BCDE为正方形可得EC = 41BC = VI. 由初CE为平行四边形可得EC/AB.ZPCE为PC与4B所成角，即ZPCE = 45" PA = PD E为加冲点： PE丄&0 侧面PAD丄底面ABCD,侧面PADc底面ABCD = AD, PE u平面PAD , PE 丄平面/BCD, PE 丄

16、EC, PE = EC = y/i 取PD中点M，连血，胚4.v WiPAD 丄面川5CQ,且面P/Dc 面ABCD = AD, BE 丄/Q BE丄平面PAD . :. AMEA为F-BE-A的平面角.x%: EM =yAE = tAM = 2 2:.coszLMEA =所以二面角F BE A的余弦值为方法二（空间向量法）建议给分标准：建系正确，设（求）点的坐标正确，2分；利用线面角求出线段长正确，2分;求法向量正确，2分：求余弦并给出结论正确，2分20. （12 分1441= 2a = 4解：(1)由题可知 c 1，解得a = 2,c = l,由a2=b2+c2得沪=3,e .a 2椭圆C

17、的方程为+ -=1.43（4分）当 X = 2 时，甲以 4:1 赢，所以 p（X = 2）=高三数学参考答案及评分细则第3页（共6页）（2）设P（x0,y0）,由于P是异于长轴顶点£,為的任意一点，故切线斜率存在.r y = kx + b设过P的椭圆的切线为y = kx+b,联立方程 V2 ，F -= 1143得(3 + 4k2)x2 + Skbx + 4/>2 -12 = 0 , A = (Skb)2 - 4(3+4k2)(4b2 -12) = 0 ,儿饥我3xr 3结合2,解得过P点的切线方程为尸一3+三亍+芋=14必儿I 43由于分别过4，笛的切线分别为x = -2,x

18、 = 2,解得坊，民的坐标为色（_2，上丑）4（2,匕如）2儿2yQ虹轴上取点则亦,嘗）亦"2 + ,守）,所以亦亦=严_4 +逆二学=尸_14儿（12 分）当2±1时，产0所以，以色场为直径的圆过兀轴上的定点为片（-1,0）,坊（1,0）21. （12 分）解：（1）设赌博再继续进行X局甲贏得全部赌注，则最后一局必然甲贏. 由题意知，最多再进行4局，甲乙必然有人赢得全部赌注.当 X = 3 时，甲以 4：2 贏，所以 XAr=3）=C-xa-） 电; 亠 33327当X = 4时,甲以4： 3赢,所以附=4）=磅）七2x| =务.所以，甲赢的槪率为£+刍十刍二单

19、9 27 27279Q所以，甲应分得的赌注为243x- = 216元.（6分（2）设赌博继续进行X局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢.当 X = 3 时，乙以以 4 ：2 贏，P（X = 3）=（1 -p）5 ；当 X = 4 时，乙以以 4： 3 赢，p（X = 3）= C>（1 -P）3 = 3?0 -P/ J所以，乙赢得全部赌注的概率为+于是甲贏得全部赌注的概率/3）= 1-a+3p）a-p）3求导，f (p) =-3(1 -p)，-d+3p)3(1-卩)'(一D二 12p (1 一p)2.3 3因为4p<i,所以r（P）>o,所以/（）在p“=i）上单调递增

20、，4 4于是2.I 256故乙贏的概率为= 0.0508>0.05,故事件力不是小概率事件.（12分）2562562431322. (12 分)11 -X解：(1) /"(x) = lnx- + a , /"(*) =1 =x x当 xe (0,1)时，/"(x)>0, /'(x)单调递增：当 “(1,+s)时，fx) < 0 . /'(x)单调递减. .当x = l 时，/'(x)有极大值，/'(l) = a-l.”1 Z V y/1f y fl|=+a<09当aMl时,f()<Q, /./(x)在(

21、0,+8)上单调递减,此时/(对无极值： 当a>lB寸.八l) = a-l>0.心)J易证，x>l 时，ex >2x .所以，«>1, /(ea) = 2a-e"<0,故存在xpx2,满足Ov丄a+lI < X)< 1 < x2 < ea ,/©) = f(x2) = 0 当xw（O心）时，/（X）单调递减，当xe（xl9x2）时，/（X）单调递增,./（x）在x二旺处有极小值.在x = x2处有极大值.高三数学参考答案及评分细则 第4页（共6页）当xw (x2,+a>)时,/(x)单调递减.综上所

22、述，当*1时，/(力没有极值点；当a>l时，/(X)有2个极值点.(6分)(2)由(1)可知当且仅当a >1时/(Q有极小值兀和极大值氐，0<xl<l<x2In*】一曲 +a = 0In x2 x2 + a = 0先证：x +x2> 2得 lnX 一X、= nx2 -x2, 即 一一"-= 1 nx2 - lnx)_2(-I)下证丄口_<仝工L,即证inE> (以下略) 血2-1凹2召 旦+1所以1=冷_石V 士色，所以斗+勺>2In x2 - In X2因为 0 VXV1VX2，+ x2 > 2 ,所以 x2>2-x >x(因为xe(x|5x2)时，/(x)单调递增，所以/(兀)>/(2-比), 所以/(xJ + /(X2)>/(xJ + /(2-曲)再证：/(X) + fx1)>2a-3 设g(x) = /(x