第2章随机变量与分布函数0

1、第第2 2章随机变量与分布函数章随机变量与分布函数2.12.1随机变随机变量及其分布量及其分布随机变量离散型随机变量及其分布列连续型随机变量2.22.2随机变量函数的分布随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布2.32.3二维随机变量的相关分布二维随机变量的相关分布二维随机变量的联合分布及性质二维离散型随机变量二维连续型随机变量条件分布2.42.4随机变量的独立性随机变量的独立性随机变量的独立性卷积公式极大极小值的分布【要点详解【要点详解】2.1随机变量与分布函数随机变量与分布函数1随机变量随机变量（1）定义设E为随机试验， 为其样本空间，若对任意 ，有唯一实数X（）

2、与之对应，则称X（）为随机变量。设X为一个随机变量，对任意实数x，事件“Xx”的概率是x的函数，记为F（x）=P(Xx），这个函数称为X的累积概率分布函数，简称分布函数。（2）分布函数的基本性质0F(x）1；F（x）是非减函数，即对任意x1x2xnx（n）则 ()lim( )0 xFF x ；()lim( )1xFF x ；(0)lim()nnxxF xF x【例题【例题2.1】设F1（x），F2（x）分别为随机变量X1，X2的分布函数，为使F（x）=aF1（x）-bF2（x）是某一随机变量的分布函数，a，b的可能取值为（）。A1，0.2B0.9，0.3C0.8，0.4D0.7，0.3E0.6

3、，0.5【答案【答案】D【解析【解析】由分布函数的性质知，所以。5个选项中，只有D项满足这个要求。【例题【例题2.2】随机变量X的分布函数为，则常数A与B分别为（）。ABCDE【答案【答案】B【解析【解析】因为 所以 12()()()1FFF 1ab( )arctanF xABx1,1 2AB1 2,1AB2,AB1,1AB1 2,ABlim( )0 lim( )122xxF xABF xAB，11,2AB。2离散型离散型随机变量及其分布列随机变量及其分布列（1）定义若随机变量X只取有限个可能值或至多可列个可能值x1，x2，xi，假如X取xi的概率为P（X=xi）=pi0，i=1，2，且满足如

4、下条件：则称pi为随机变量X的概率分布列（简称分布列）。离散型随机变量X的分布列也可用下表表示：说明：随机变量的分布列与随机变量的分布函数不是同一个概念，但它们可相互确定。离散型随机变量X的分布函数的计算公式：【例题【例题2.3】设离散型随机变量X的概率分布列如下所示。则常数a（）。A0.1B0.2C0.3D0.4E0.5【答案【答案】D【解析【解析】随机变量X取有限个值，X的概率分布满足 ，即0.30.1a0.2=1，解得a=0.4。11inp( )(),iixxF xP Xxpx 1ip （2）几种常见的离散型随机变量（0-1）分布设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布列是则称X服从以

5、p为参数的（0-1）分布或两点分布。（0-1）分布的分布列也可写成如下所示。 二项分布若令X为n重伯努利试验中成功的次数，则Bn,k=“n重伯努利试验中A出现k次”=“X=k”其中X的取值为0，1，2，n，X取各个值的概率为将随机变量X服从二项分布记为XB（n，p）。泊松分布设随机变量X 所有可能取的值为0 ，1，2，而取各个值的概率为：其中0是常数，则称X服从参数为的泊松分布，记为XP()。定理2-1（泊松定理）设0是一个常数，n是任意正整数，设npn=，则对于任一固定的非负整数k，有【例题【例题2.4】设X是参数为n=4和p=0.5的二项随机变量，则P（X2）为（）。A0.2125B0.3

6、125C0.6875D0.7875E0.8355【答案【答案】B【解析【解析】因为XB（4,0.5），所以【例题【例题2.5】有100栋住房在2002年1月1日购买了火灾保险，假定每栋房子在今后一年之内发生火灾的概率都相等，为0.05，如果各栋房子是否发生火灾是相互独立的，则在2002年内只有不超过两栋房子发生火灾的概率为（）。A0.05B0.07C0.09D0.12E0.13【答案【答案】D【解析【解析】解法：PP（没有房子发生火灾）P（恰有1栋房子发生火灾）P（恰有2栋房子发生火灾）解法：用Poisson逼近，=np=5，则041444(2)(0)(1)(0.5)(0.5)0.3125P

7、XP XP XCC010019912982100100100(0.95)(0.95) (0.05)(0.95) (0.05)0.12CCC2(1)18.50.121!2!Pee几何分布设X是一个无穷次伯努利试验序列中事件A首次发生时所需的试验次数，显然X为一个离散型随机变量，且可能的值为1，2，。由试验的独立性，即可知X的分布列为称概率分布列为上式的随机变量X服从几何分布。定理2-2（无记忆性）设X服从参数为p的几何分布，则其中s，t是任意非负整数。帕斯卡分布帕斯卡分布可用来描述在进行的一系列独立的伯努利试验过程中要求得到r次成功时所需”等待时间”的分布。令随机变量X表示第r次成功发生在第k次

8、试验，则其概率分布列为其中r为正整数，则称X服从帕斯卡分布。显然r=1时即为几何分布。帕斯卡分布是负二项分布的一个特例，对于一般的负二项分布，r不必为正整数。3连续型随机变量连续型随机变量（1）定义设f（x）是定义在整个实数轴上的一个函数，如果它满足如下两个条件： f（x）0（非负）； （f（x）与横轴所夹面积为1）；则称f（x）为概率密度函数，或密度函数，有时也简称为密度。连续型随机变量X的分布函数计算公式连续型随机变量X的分布函数和密度函数的关系（2）连续型随机变量X的分布函数F（x）的基本性质连续型随机变量X的分布函数F（x）是（，+）上的连续函数；连续型随机变量X仅取一点的概率为0，即

9、P（X=a）=0，于是P（aXb）=P（aXb）。( )1f x( )()( )xF xP Xxf t dt( ) ()( )( )xF xP Xxf t dtf x【例题【例题2.6】设连续型随机变量X的分布函数为，则X落在区间（0.3，0.7）内的概率等于（）。2008年春季真题A0.1341B0.3C0.4D0.5621E0.7778【答案【答案】C【解析【解析】由 ，得：A=1，故【例题【例题2.7】已知连续型随机变量X的密度函数为，且P1X1.5=（）。A0.625B0.4375C0.3125D0.1875E0.0625【答案【答案】E【解析【解析】由概率密度的性质及其定义，有：又

10、联立，解得a=0.5，b=1。从而所以20,0( ),011,1xF xAxxx11lim( )lim( )xxF xF x22(0.30.7)(0.7)(0.3)0.70.30.40PXFF02( )0axbxf x，其他20( )()221f x dxaxb dxab3211(13)( )()1.50.25Pxf x dxaxb dxab0.5102( )0 xxf x，其他1.51.5(1.5)( )( 0.51)0.0625P Xf x dxxdx（3）几种常见的连续型随机变量均匀分布对ab，如果X的密度是就称X服从区间（a，b）上的均匀分布，记做XU（a，b）。相应的分布函数为：【例

11、题【例题2.8】设随机变量X在2，5上服从均匀分布，现对X进行3次独立观测，则至少2次观测值大于3的概率等于（）。2008年春季真题A1/2B20/27C17/21D7/11E11/13【答案【答案】B【解析【解析】设Y为3次观测值中观测大于3的次数，由于 ，则，故所求概率为：5312(3)33P Xdx(3,2/3)YB2323212(2)(3)20/27333PP YP YC 指数分布对正常数，如果X的密度是就称X服从参数的指数分布，记做XExp（）。相应的分布函数为：定理2-3：设X服从参数的指数分布，则对任何s，t0，有【例题【例题2.9】某元件寿命X服从参数为（-1=1000）的指数

12、分布，求3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是（）。Ae-1Be-2Ce-3De-4Ee-5【答案【答案】C【解析【解析】由题意可知，元件寿命X服从指数分布：元件使用1000小时后，没有损坏的概率为：由于3个元件的使用寿命是相互独立的，所以在它们使用1000小时后，都没有损坏的概率为：110001,0 ( )100000 xexf xx ,110001000011(1000)1(1000)11000 xP XP Xedxe 3331 (1000)( )PP Xee正态分布设是常数，是正常数，如果X的密度是就称X服从参数为（，2）的正态分布，记做XN（，2）。当=0,2=1，XN（

13、0，1）时，称X服从标准正态分布。标准正态分布的密度函数为：正态密度函数式的性质：f（x）关于x=对称； 。对任何a0的y值，即得随机变量Y的可能取值。（2）定理2-4设已知随机变量X的分布函数为FX（x）和密度函数为fX（x），又设Y=g（X），其中函数g（）是严格单调函数，且导数g（）存在，则Y的密度函数为：其中h（y）是y=g（x）的反函数，h（y）是其导数。说明：应用定理2-4的关键在于写出反函数，找出反函数后，立即可写出随机变量函数的密度函数。( )( ( )|( )|YXfyfh yh y【例题【例题2.10】设XN（0,1），则Y=X2的概率密度为（）。A B CD E【答案【答

14、案】C【解析【解析】先求Y的分布函数FY（y）。由于Y=X20，故当y0时，FY（y）=0。当y0时有将FY（y）关于y求导数，即得Y的概率密度为由于XN（0,1），其概率密度为 ，所以Y=X2的概率密度为：210( )200yYeyfyy ，1 2210( )00yYyeyfyy ，1 2210( )200yYyeyfyy ，1 2210( )200yYyeyfyy ，21 2210( )200yYyeyfyy ，2( )()()YXXFyP YyP XyPyXyFyFy1()()02( )00XXYfyfyyyfyy ，221( )2xXfxex ，-1 2210( )200yYyeyfy

15、y ，2.3二维随机变量的相关分布二维随机变量的相关分布1二维随机变量的联合分布及性质二维随机变量的联合分布及性质（1）定义设（X，Y）是二维随机向量，x，y是两个任意实数，则称二元函数为（X，Y）的联合分布函数。事件Xx，Yy表示事件Xx与事件Yy的交。（2）定理2-5：联合分布函数的性质设（X，Y）是二维随机向量，x，y是两个任意实数，F（x，y）是（X，Y）的联合分布函数，则F（x，y）具有下列五个基本性质： ；F（x，y）对每个自变量都是单调非减的；对一切实数x和y，则有 F（，y）=F（x，）=0，F（+，+）=1F（x，y）对每个自变量都是右连续的；对一切实数x1x2，y10），则事件Y=yj的条件概率为：上式为随机变量Y关于随机变量X的条件分布。（2）二维连续型随机变量的条件分布在给定X=x的条件下，Y的分布密度函数为：在给定Y=y的条件下，X的分布密度函数为:【例题【例题2.14】设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 ，则已知X=x，Y的条件密度 为（）