最值问题的求解策略

1、最值问题的求解策略策略-：三角函数最值问题求解归-化对三角函数最值问题的求解，一般策略就是归一化.所谓归一化，就是将所求三角函数 化为同一三角函数，如y二asin(3x+»)模型的三角函数等，再利用相关知识，如三角函 数的有界性等求其最值.例1(2011年高考北京理科卷第15题)已知函数f (x) =4cos xsin (x+) -1.(i )求f (x)的最小正周期；(ii)求f (x)在区间上的最大值和最小值.难度系数0. 95解(i )由题意得因为3二2,所以故f (x)的最小正周期为(ii)因为于是，当即x时，f (x)取得最大值2；当即时，f (x)取得最小值-1. 故函数

2、f (x)在区间上的最大值和最小值分别为2和t.小结本题主要考查两角和差的正弦公式，二倍角的余弦公式，三角函数的最小正周期、 最大值与最小值等知识.求解本题的关键是将函数f (x)的解析式“化一”，即化为y二asin (3x+e)的形式.策略二：解析几何最值问题求解数形化数化为形，形化为数，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结 合，进而可以有效地解决问题.在求解解析儿何最值问题时，我们常常可以根据题目中的条 件与结论蕴含的特定的几何特征及几何意义等，来建立数与形的联系，通过数形的巧妙转化 来寻找思路、解决问题.例2(2012年高考江苏卷第12题)在平面直角坐标系xoy中，圆

3、c的方程为x2+y2-8x+15二0,若直线y二kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆c 有公共点，则k的最大值是难度系数0. 45解 由题意得圆c的方程为(x4) 2+y2=l,圆心为(4, 0), r=l,直线的方程为kx-y-2=0. 由直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆c有公共点，可得 圆c到直线的距离小于或等于2,即，整理得3k2-4kw0,解得故k的最大值是小结本题主 要考查圆的方程、圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、点到直线的距离以及二次不等 式等相关知识，意在考查考生综合运用知识解决问题的能力，特别是推理能力与运算能力.

4、解答这类解析儿何最值问题，一要熟悉解析儿何的相关概念和运算的儿何意义，通过把待解 问题中的有关条件转化为几何图形，等价重建待解问题中的最值内涵，以期望迅速找到数形 化的最佳结合点；二要学会善于观察、善于发现、善于转化，进而迅速寻求解题的突破口， 使问题求解变得简单易行.策略三：立体儿何最值问题求解代数化立体儿何最值问题不仅与儿何图形的性质相关联，还常常与最值的主体变量有关，由此 我们可以此建立起主体变量的相关关系，将立体几何最值问题转化为代数问题(即代数化) 进行求解.例3 （2012年高考湖北理科a卷第19题）如图1, zacb=45° , bc二3,过动点a作ad 丄bc,垂足d

5、在线段bc上且异于点b,连接ab,沿ad将aabd折起，使zbdc-900 （如图 2所示）.（i ）当bd的长为多少时，三棱锥abcd的体积最大？（ii）当三棱锥a-bcd的体积最大时，设点e, m分别为棱bc, ac的中点，试在棱cd 上确定一点n,使得en丄bm,并求en与平面bmn所成角的大小.难度系数0. 65解（i ）在如图1所示的zabc中，设bd=x （0< x<3）,则cd=3-x.由ad丄bc, zacb二45° ,可知zadc为等腰直角三角形，所以ad二cd二3-x.由折起前ad丄bc,可知折起后（如图2） ad丄dc, ad丄bd,且bdqdc二d

6、,所以ad丄平 面 bcd.又zbdc=90° ,所以于是当且仅当2x=3-x,即x=l时，等号成立.故当x=l,即bd=1吋，三棱锥abcd的体积最大.（ii）解答过程省略.小结本题考查立体几何线面的基本关系，考查如何取到最值，同时考查直线与平面所 成角的知识.求解本题的关键一点是将这类动态最值问题转化为目标函数的代数问题，最终 利用代数方法求目标函数的最值.策略四：数列最值问题求解不等化数列最值问题常常是最大项、最小项或和的最大值、最小值问题，因此求解这类最值问 题的策略就是“等”与“不等”的转化问题，只要处理好这一转化，问题就可以迎刃而解.例4 （2012年高考四川理科卷第20

7、题）已知数列an的前n项和为sn,且a2an=s2+sn 对一切正整数n都成立.（i ）求al, a2的值.（ii）设al>0,数列的前n项和为tn.当n为何值时，tn最大？并求出tn的最大值.难度系数0. 50解（i）根据题意，取n=l,得a2al二s2+s1二2al+a2.取 n=2,得 a22=2al+2a2.-，得 £ （a2-al） =a2.若a2 = 0,由可知al二0；若a2h0,由可知a2-al=l.由，可得当n>2时，有，所以数列bn是以为公差且单调递减的等差数列.又且当n28时，所以当n=7时，tn取得最大值，且tn的最大值为小结 本题主要从三 个层面对考生进行考查：一是知识层面，考查等差数列、対数等基础知识；二是能力层面， 考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力；三是数学思想，考查方程思想、分 类与整合思想、化归与转化思想等.李道路，中学数学高级教师，中国数学奥林匹克一级教练员，中国教育学会数