正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明(共8页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法知识点总结及证明方法 王彦文 青铜峡一中 1 1掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 2 2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化的数学思想解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现 1 1正弦定理 (1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即 其中R是三角形外接圆的半径 (

2、2)正弦定理的其他形式： a 2RsinA，b ，c ； sinAa2R，sinB ， sinC ； abc_. 2 2余弦定理 (1)余弦定理： 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即 a2 ，b2 ， c2 . 若令C90，则c2 ，即为勾股定理 (2) 余 弦 定 理 的 变 形 ： cosA ，cosB ，cosC . 若C为锐角， 则 cosC0， 即a2b2_c2；若C为钝角，则 cosC0，即a2b2_c2.故由a2b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角 (3)正、 余弦定理的一个重要作用是实现边角_，余弦定理亦可以写成

3、 sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA，类似地，sin2B_；sin2C_.注意式中隐含条件ABC. 3 3解斜三角形的类型 (1)已知三角形的任意两个角与一边，用_定理只有一解 (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对 角 ， 用 _ 定 理 ， 可 能 有_如在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 absinA bsinAab 解的个数 (3)已知三边，用_定理有解时，只有一解 (4)已知两边及夹角，用_定理，必有一解 4 4三角形中的常用公式或变式 (1)三角形面积公式S _ 其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径 (2

4、)ABC，则A_， 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 A2 _ ， 从 而sinA_， cosA_，tanA_； sinA2_，cosA2_， tanA2 _.tanA tanB tanC_. (3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b_2sinB_2sinB2cosAC22cosAC2cosAC2tanA2tanC213. 【自查自纠】 1 1(1)asinAbsinBcsinC2R (2)2RsinB 2RsinC b2R c2R sinAsinBsinC 2 2(1)b2c22bccosA c2a22cacosB a2b22abcosC a2b2 (2)b2c2a22bc

5、 c2a2b22ca a2b2c22ab B是sinAsinB的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大， 反之也成立， 故是充要条件 故选 C C. . 在ABC中，已知b6，c10，B30，则解此三角形的结果有( ) A无解 B一解 C两解 D一解或两解 解：由正弦定理知sinCcsinBb56，又由cbcsinB知，C有两解也可依已知条件，画出ABC，由图知有两解故选 C C. . (2013陕西)设ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若bcosCccosBasinA, 则ABC

6、的形状为( ) A锐角三角形 B 直角三角形 C钝角三角形 D不确定 解：由已知和正弦定理可得 sinBcosCsinCcosB sinAsinA， 即 sin(BC) sinAsinA， 亦即 sinAsinAsinA.因为 0A，精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 所以 sinA1，所以A2.所以三角形为直角三角形故选 B B. . (2012陕西)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a2，B6，c23，则b_ 解：由余弦定理知b2a2c22accosB22()2 322223cos64，b2.故填2.2. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 若a

7、 2，b2， sinBcosB 2，则角A的大小为_ 解：sinBcosB2， 2sinB42， 即 sinB41. 又B(0，)，B42，B4. 根据正弦定理asinAbsinB，可得 sinAasinBb12. ab，AB.A6.故填6 6. . 类型一类型一 正弦定理的应用正弦定理的应用 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知AC90，ac2b，求C. 解：由ac2b及正弦定理可得 sinAsinC2sinB. 又由于AC90，B180(AC)，故 cosCsinCsinAsinC2sin(AC)2sin(902C)2sin2(45C) 2sin(45 C) 22 sin(4

8、5 C)cos(45C)， 即 cos(45C)12. 又0C90，45C60，C15. 【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关系，这是解此题的关键 (2012江西)在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A4，bsin4Ccsin4Ba. (1)求证：BC2； (2)若a2，求ABC的面积 解 ： (1) 证 明 ： 对bsin4Ccsin4Ba应 用 正 弦 定 理 得sinBsin4CsinCsin4BsinA， 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 即sinB22sinC22cosCsinC22sinB22cosB22， 整理得 sinBcosCsinCcos

9、B1，即 sin()BC1. 由于B，C0，34，BC2. (2)BCA34，又由(1)知BC2， B58，C8. a2，A4，由正弦定理知basinBsinA2sin58，casinCsinA2sin8. SABC12bcsinA122sin582sin822 2sin58sin82cos8sin822sin412. 类型二类型二 余弦定理的应用余弦定理的应用 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cosBcosCb2ac. (1)求B的大小； (2)若b13，ac4， 求ABC的面积 解：(1)由余弦定理知，cosBa2c2b22ac，cosCa2b2c22ab，将上式代入co

10、sBcosCb2ac得 a2c2b22ac2aba2b2c2b2ac， 整理得a2c2b2ac. cosBa2c2b22acac2ac12. B为三角形的内角，B23. (2)将b13，ac4，B23 代入b2a2c22accosB，得 13422ac2accos23，解得ac3. SABC12acsinB334. 【评析】根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用 若ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为( ) A.43 B843 C1 精选优质

11、文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 D.23 解：由余弦定理得c2a2b22abcosCa2b2ab，代入(ab)2c24 中得(ab)2(a2b2ab)4，即 3ab4，ab43.故选A A. . 类型三类型三 正、余弦定理的综合应用正、余弦定理的综合应用 (2013全国新课标)ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c， 已知abcosCcsinB. (1)求B； (2)若b2，求ABC面积的最大值 解：(1)由已知及正弦定理得 sinAsinBcosCsinCsinB. 又A(BC)，故 sinA sin(BC) sinBcosCcosBsinC. 由，和C(0，)得 sinBcos

12、B. 又B(0，)，所以B4. (2)ABC的面积S12acsinB24ac. 由 已 知 及 余 弦 定 理 得 4 a2c22accos4. 又a2c22ac，故ac422， 当且仅当ac时，等号成立 因此ABC面积的最大值为21. 【评析】 (1)化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值 (2013山东)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cosB79. (1)求a，c的值； (2)求 sin(AB)的值 解：(1)由余弦定

13、理b2a2c22accosB， 得b2(ac)22ac(1cosB)，又ac6，b2， cosB79，所以ac9，解得a3，c3. (2)在ABC中，sinB1cos2B429， 由正弦定理得 sinAasinBb223. 因为ac，所以A为锐角， 所以 cosA1sin2A13. 因此 sin(AB)sinAcosBcosAsinB10227. 类型四类型四 判断三角形的形状判断三角形的形状 在三角形ABC中，若 tanAtanBa2b2，试判断三角形ABC的形状 解法一：由正弦定理，得a2b2sin2Asin2B， 所以tanAtanBsin2Asin2B， 所以sinAcosBcosAs

14、inBsin2Asin2B，即 sin2Asin2B. 所以 2A2B，或 2A2B，因此AB精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 或AB2，从而ABC是等腰三角形或直角三角形 解法二：由正弦定理，得a2b2sin2Asin2B，所以tanAtanBsin2Asin2B，所以cosBcosAsinAsinB，再由正、余弦定理，得a2c2b22acb2c2a22bcab，化简得(a2b2)(c2a2b2)0，即a2b2或c2a2b2. 从而ABC是等腰三角形或直角三角形 【评析】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关

15、系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握 (2012上海)在ABC中， 若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是( ) A锐角三角形 B 直角三角形 C钝角三角形 D不能确定 解：在ABC中，sin2Asin2Bsin2C，由正弦定理知a2b2c2.cosCa2b2c22ab0，即C为钝角，ABC为钝角三角形故选C C. . 类型五类型五 解三角形应用举例解三角形应用举例 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20 n mile 的A处，并以 30 n mile/

16、h 的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v n mile/h 的航行速度匀速行驶，经过t h与轮船相遇 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小， 则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h， 试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)， 使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由 解法一： (1)设相遇时小艇航行的距离为S n mile，则 S900t2400230t20cos（9030） 900t2600t400900t132300， 故当t13时，Smin103， 此时v10313303. 即小艇以 303 n mile/h

17、 的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小 (2)设小艇与轮船在B处相遇，则 v2t2400900t222030tcos(9030)， 故v2900600t400t2. 0AC，且对于线段AC上任意点P，有OPOCAC. 而小艇的最高航行速度只能达到 30 n mile/h， 故小艇与轮船不可能在A，C之间(包含C)的任意位置相遇 设COD(090)， 则在RtCOD中， CD103tan，OD103cos. 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t10103tan30和t103vcos，所以10103tan30103vcos. 由此可得，v153sin（30）. 又v30，故 sin(3

18、0)32，从而，3090. 由于30时，tan取得最小值，且最小值为33. 于是， 当30时，t10103tan30取得最小值，且最小值为23. 【评析】这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形本题用几何方

19、法求解也较简便 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 (2012武汉5月模拟)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西 60方向的B处，且与岛屿A相距 12 海里， 渔船乙以 10 海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上 (1)求渔船甲的速度； (2)求 sin的值 解：(1)依题意，BAC120，AB12，AC10220， 在ABC中， 由余弦定理知BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos120784，BC28. 所以渔船甲的速度为v28214(海里/小时) (2)在ABC中，AB12，BAC120，BC28， BCA， 由 正 弦 定 理 得ABsinBCsinBAC，即12sin28sin120，从而 sin12sin120283314. 1 1已知两边及其中