第二章 轴向拉伸和压缩

1、主讲教师主讲教师 ：郭慧珍：郭慧珍四川大学锦城学院2021年11月25日星期四1轴向拉伸与压缩的概念轴向拉伸与压缩的概念受力特征：外力合力的作用线与杆件的轴线重合变形特征：单纯的轴向伸长或缩短PPPP2 内力、截面法、轴力及轴力图内力、截面法、轴力及轴力图1、内力的概念内力：内力：外力作用外力作用下，构件内部同一截面两侧存在下，构件内部同一截面两侧存在的相互作用力。（也可理解为外力作用下引起的的相互作用力。（也可理解为外力作用下引起的“附加内力附加内力” ” ）内力的计算方法：内力的计算方法： 截面法：截面法：内力的特征：内力的特征： （1）随外力的变化而变化。）随外力的变化而变化。（2）成对

2、出现。）成对出现。FF、一分为二；1、取一弃一；2NFNF、平衡求解。3FFN2 2、轴力轴力及其求法及其求法截面法截面法轴力：轴力：轴向拉压杆的轴向拉压杆的内力内力。用符号。用符号 表示表示轴力的正负号规则轴力的正负号规则同一截面位置，其左、右两侧内力分量必须具有相同的正负号。NFNFNF拉力（背离截面背离截面）为正NFNFNF压力（指向截面）为负一直杆受力如图示,试求1-1和2-2截面上的轴力。20KN20KN40KN112220KN20KN1NF01NF20KN20KN40KN112NFkNFN402求图示直杆1-1和2-2截面上的轴力FF2F2F1122F2F22F课堂练习：10KN1

3、0KN6KN6KN332211FF2112333 3、轴力图、轴力图FAB113F22C2F4KN9KN3KN2KN4KN5KN2KNF2F轴力与截面位置关系的图线称为轴力图轴力与截面位置关系的图线称为轴力图. .F2FF2F2F作轴力图作轴力图 图示砖柱，高h=3.5m，横截面面积A=370370mm2，砖砌体的容重=18KN/m3。柱顶受有轴向压力F=50KN，试做此砖柱的轴力图。y3.5Fnn AyG FFNy0NyFAyF yAyFFNy46. 250 5058.6A=10mm2A=100mm210KN10KN100KN100KN哪个杆先破坏?4 4 应力应力. .拉拉( (压压) )

4、杆内的应力杆内的应力1、应力的概念F1FnF3F2应力就是应力就是某一截某一截面面上上某一某一点点处，处，内力分布的集度内力分布的集度 应力在数量上以单位面积上的内力表示，其大小与应力在数量上以单位面积上的内力表示，其大小与内力大小以及点的位置有关。内力大小以及点的位置有关。dAdFAFNNA0lim dAdFAFQQA0lim 应力的国际单位为应力的国际单位为N/mN/m2 2 （帕斯卡（帕斯卡）1N/m2=1Pa1MPa=106Pa1N/mm21GPa=109Pa 应力在数量上以单位面积应力在数量上以单位面积上的内力表示，其大小与内力上的内力表示，其大小与内力大小以及点的位置有关。大小以及

5、点的位置有关。p M o2、应力的特征：、应力的特征：o（1）明白哪个截面哪个点）明白哪个截面哪个点o（2）应力是矢量（拉为正，压为负）应力是矢量（拉为正，压为负）（顺时针方向剪应力为正，反之为负）（顺时针方向剪应力为正，反之为负）p M 3、拉(压)杆横截面上的应力AdAdAFAAN AFN 平面假设静力关系dAdFAFNNA0lim 变形前后始终为平面变形前后始终为平面PP正应力FN轴力A横截面面积的符号与FN轴力符号相同AFN 思考题思考题AFN 公式的适用条件：公式的适用条件：（1）等直杆）等直杆 （2）均匀材料）均匀材料 （3）轴线加载）轴线加载1、下图所示杆件，正应力计算公式是否适

6、用？、下图所示杆件，正应力计算公式是否适用？ 试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上的正应力.已知横截面面积A=2103mm220KN20KN40KN40KN33221120kN40kNMPa1011 022 MPa2033 图示支架，AB杆为圆截面杆，d=30mm， BC杆为正方形截面杆，其边长a=60mm， P=10KN，试求AB杆和BC杆横截面上的 正应力。FNABFNBCMPaAFABNABAB3 .28 MPaAFBCNBCBC8 . 4 FFNAB030sinNBCNABFF030cosCdABFa030试求图示结构AB杆横截面上的正应力。已知F=30KN，A=400mm2F

7、DBCAaaaFNAB02aFaFABNFFNAB2MPaAFNAB150 0CM计算图示结构BC和CD杆横截面上的正应力值。已知CD杆为28的圆钢，BC杆为22的圆钢。20kN18kNDEC30OBA4m4m1mFNBC以AB杆为研究对像0Am05189NABFkNFNBC10以CDE为研究对像FNCD0Em04208830sin0NBCNCDFFkNFNCD40BCNBCBCAF CDNCDCDAF 2、在图示受力构件中，由力的可传性原理，将力、在图示受力构件中，由力的可传性原理，将力P由位置由位置B移到移到C，则，则_ _。A. 固定端固定端A的约束反力不变；的约束反力不变；B. 杆件的

8、内力相同，变形不同；杆件的内力相同，变形不同；C. 杆件的变形相同，内力不同；杆件的变形相同，内力不同；D. 杆件杆件AC段的内力和变形均保持不变；段的内力和变形均保持不变； 答：答：A、D（2 2）在画轴力图之前，在画轴力图之前，不能沿杆件轴线方向不能沿杆件轴线方向使用力的使用力的平移定理平移定理。（1 1）对于这种有锥度的杆件，当对于这种有锥度的杆件，当锥度锥度15时，近似用公时，近似用公式式 与弹性力学精确求解相比误差在与弹性力学精确求解相比误差在5%5%以内。以内。AFN （3）对于等直杆对于等直杆， 当有多段轴力时，最大轴力所对应当有多段轴力时，最大轴力所对应 的截面的截面危险截面。

9、危险截面。注意：注意：coscos0AFANpaa20coscos p2sin2sin0 p全应力：全应力：正应力：正应力：切应力：切应力：1. 公式推导公式推导（采用截面法）（采用截面法）FFKKFNpp4 4 、拉(压)杆斜截面上的应力与杆轴线不垂直的截面与杆轴线不垂直的截面2、讨论上述公式、讨论上述公式 从上可知 、 均是 的函数，所以斜截面的方位不同，截面上的应力也不同。 0当 时，斜截面k-k成为横截面。 达最大值， 同时 达最小值 0max0min045达到最大值， 当 时，2/0max当 表明在平行于杆件 090时， 00轴线的纵向截面上无任何应力。20coscos p2sin2

10、sin0 p29轴力最大的截面一定是危险截面，对吗？轴力最大的截面一定是危险截面，对吗？对于轴向拉压的等直杆件，对于轴向拉压的等直杆件，危险截面上的正应力危险截面上的正应力最大工作应力，最大工作应力，其计算公式应为：其计算公式应为：maxmaxAFN轴向拉压的杆件强度由最大轴力控制，还是由最大应力控制？轴向拉压的杆件强度由最大轴力控制，还是由最大应力控制？2.3 2.3 拉压杆的强度、安全系数及许用应力拉压杆的强度、安全系数及许用应力 对于等直杆对于等直杆， 当有多段轴力时，最大轴力所对应当有多段轴力时，最大轴力所对应 的截面的截面危险截面。危险截面。 一横截面为正方形的轻型材料柱分为上下两段

11、，上段一横截面为正方形的轻型材料柱分为上下两段，上段面积面积240240，下段面积，下段面积490490，其高度和受力情况如图，其高度和受力情况如图，已知已知P=50KN，试求荷载引起的最大工作应力。，试求荷载引起的最大工作应力。(不计自重）不计自重） 举例举例2.9解：解：（一）作轴力图如图所示（一）作轴力图如图所示（二）由于此柱为变截面杆，上段轴力小，截面积也小，下（二）由于此柱为变截面杆，上段轴力小，截面积也小，下段轴力大，截面积也大，故两段横截面上的正应力都必须求段轴力大，截面积也大，故两段横截面上的正应力都必须求出，从而确定最大的正应力。出，从而确定最大的正应力。2112402405

12、01mmKNAFN26/1087. 0mN（压应力）（压应力）2222490490150mmKNAFN26/1062. 0mN（压应力）（压应力） 由上述结果可见，此柱的最大工作应力在柱的上段，其由上述结果可见，此柱的最大工作应力在柱的上段，其值为值为0.87MPa, 是压应力。是压应力。 目录目录1. 1. 拉压杆的强度条件拉压杆的强度条件n ：许用应力u 强度条件 AFN max的统称或强度极限即屈服极限极限应力bsu1恒大于安全系数nmaxmaxAFN强度计算的三类问题强度计算的三类问题 ：(1)(1)、强度校核、强度校核 AFN max(2)2)、截面设计、截面设计 maxNFA(3)

13、(3)、确定许用荷载、确定许用荷载 AFNmax拉压杆的强度条件拉压杆的强度条件maxmaxAFN图示三角形托架，图示三角形托架，ACAC为刚性杆，为刚性杆，BDBD为斜撑杆，荷载为斜撑杆，荷载F F可沿可沿水平梁移动。为使斜撑杆水平梁移动。为使斜撑杆重量为最轻重量为最轻，问斜撑杆与梁之，问斜撑杆与梁之间夹角应取何值？已知杆的许用应力为间夹角应取何值？已知杆的许用应力为 lhADBFC设F的作用线到A点的距离为xx取ABC杆为研究对象FNBD0Am0sin hctgFFxNBD coshFxFNBDLx cosmaxhFLFNBDBD杆： NBDBDFA coshFLBDBDBDLAV sin

14、coshhFL 2sin2FL045 minV必须注意重量最轻的内涵：必须注意重量最轻的内涵：体积最小体积最小2.4 拉（压）杆的变形.胡克定律杆件在轴向拉压时： 沿轴线方向产生伸长或缩短纵向变形 横向尺寸也相应地发生改变横向变形L1L1、纵向变形LL LLL1 纵向线应变:绝对变形量纵向线应变 (无量纲) L1L实验表明：在材料的线弹性范围内，L与外力F和杆长L成正比，与横截面面积A成反比。胡克定律在材料的线弹性范围内，正应力与线应变呈正比关系。在材料的线弹性范围内，正应力与线应变呈正比关系。EALFLN ：抗拉（压）刚度EAAFN 注意：注意：当拉（压）杆有两个以上的外力作用时，需要当拉（

15、压）杆有两个以上的外力作用时，需要先画先画轴力图轴力图，然后，然后分段计算分段计算各段的各段的变形变形，各段变形的代数和即，各段变形的代数和即为杆的总伸长量。为杆的总伸长量。iiiNiEALFLALLEA E注意：在计算注意：在计算LL时，时，L L长长度内，度内，F FN N,E,A,E,A均为常数。均为常数。E为弹性模量，单位是aGP333b2、横向变形横向线应变b=b1b 泊松比泊松比（无量纲，其数值随材料而异，实验测定）（无量纲，其数值随材料而异，实验测定）b1 bb 和和 的符号恒相反的符号恒相反4o练习：练习：o抗拉刚度为抗拉刚度为EA的拉杆的拉杆AB，其尺寸及受力情况如图示，在弹

16、性范围，其尺寸及受力情况如图示，在弹性范围内，试问下面内，试问下面2个算式是否正确？若不正确，写出其正确的表达式。个算式是否正确？若不正确，写出其正确的表达式。A. 杆的总伸长是：杆的总伸长是：B. 杆的总应变是：杆的总应变是：B错误错误。例：图示直杆，其抗拉刚度为EA，试求杆件的轴向变形L，B点的位移B和C点的位移CFBCALLFEAFLLABB EAFLBC + +轴向拉压杆件变形的计算公式、轴向拉压杆件变形的计算公式、EALFLNmaxmaxAFNEAFN2812.5 拉（压）杆的刚度1、轴向拉压刚度条件、轴向拉压刚度条件 lEALFlN 2、公式应用、公式应用（1）刚度较核：）刚度较核

17、：( (计算计算l ) ) lEALFlN （2）计算许用荷载：）计算许用荷载： ( (计算计算F FN N ) ) lEAlFN （3）确定截面面积：）确定截面面积： ( (计算计算A A ) ) lElFAN 例例2.12：如下图求杆件：如下图求杆件AB、CD及及BC中点的应力中点的应力与与D点的位移点的位移.已知：杆件截面积已知：杆件截面积A1=400mmA1=400mm2 2,A2=200mm,A2=200mm2 2解：作轴力图解：作轴力图-2020+-20KN20KN/m1m2m1m112ABCD15例例2.132.13：如下图曲杆受力：如下图曲杆受力F=6KNF=6KN，所有材料的

18、弹性模量，所有材料的弹性模量E=70GPaE=70GPa，许用应力许用应力 =70MPa=70MPa，AB=400mm,CD=600mmAB=400mm,CD=600mm，BC=100mmBC=100mm，其中，其中ABAB杆件许用伸长量杆件许用伸长量 l l=0.65mm=0.65mm，试确定，试确定ABAB杆件的截面面积。杆件的截面面积。ABCDF F解：如图受力分析解：如图受力分析BCDBCD：可知：可知ABAB为拉杆。为拉杆。600100FFABKNFAB36 70100036AAFNABAB 65. 07000040036000lAEALFlN最后确定截面最后确定截面面积面积A A3

19、、桁架节点的位移计算：、桁架节点的位移计算： ACFB12AFNACFNAB如何求如何求A点的位移？点的位移？小变形放大图小变形放大图与位移的求法：与位移的求法：C怎样画小变形放大图？怎样画小变形放大图？变形图严格画法，图中弧线；变形图严格画法，图中弧线；求各杆的变形量求各杆的变形量Li ，如图；，如图；变形图近似画法，图中弧之切线。变形图近似画法，图中弧之切线。小变形放大图与位移的求法：小变形放大图与位移的求法：ABCL1L2P1L2LCC1C2切记：变形图要与杆件的受力相一致。切记：变形图要与杆件的受力相一致。图示的杆系是由两根圆截面钢杆铰接而成。已知300，杆长L2m，杆的直径d=25m

20、m，材料的弹性模量E2.1105MPa，设在结点A处悬挂一重物F100kN，试求结点A的位移A。 ACFB12A 0XFNACFNAB0sinsin NABNACFF 0Y0coscosFFFNABNAC cos2FFFNABNAC cos2EAFLEALFLLNACACAB AACLABLAAAA cosACL 2cos2EAFL06265330cos1025410101.22210100 mm3.116图所示结构，刚性横梁AB由斜杆CD吊在水平位置上，斜杆CD的抗拉刚度为EA，B点处受荷载F作用，试求B点的位移B。ADFBaL/2L/2CNCDFC1CB1112CCBBB 1CC cosC

21、C cosCDL0AmCDFLLF cos21 cos2FFNCDEALFLCDNCDCD 2cos2EAaF331cos4cos222EAFaEAFaCCB311、定义、定义: 在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量，称在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量，称为变形能或应变能。为变形能或应变能。补充：轴向拉伸或压缩时的变形能补充：轴向拉伸或压缩时的变形能2、变形能的计算、变形能的计算FFW21（外力做的功）（外力做的功）iiiNiiiiNiNiAELFAELFFU2212（杆件的应变能）（杆件的应变能）iiiNiFAELFFUW2注意：注意： 是沿力作用是沿力作用线产生的位移线产生的位移F

22、此方法一般用于轴力易求的杆件结构中此方法一般用于轴力易求的杆件结构中. .否则只能用作图法求解否则只能用作图法求解. .32如图所示结构，如图所示结构， F F已知，已知，ABAB是一刚性横梁是一刚性横梁, ,不计自重不计自重.1 .1、2 2号杆的抗拉刚度均为号杆的抗拉刚度均为EAEA。试求。试求1 1、2 2两杆的轴力。两杆的轴力。ADFB450aaaC12F1FF2FC382.6 拉压超静定问题拉压超静定问题1、静定与超静定的概念：、静定与超静定的概念：（1）静定问题）静定问题 仅利用静力学平衡方程就可求解出全部未知力的问题称仅利用静力学平衡方程就可求解出全部未知力的问题称为为静定问题静

23、定问题。相应的结构称。相应的结构称静定结构静定结构。（2）超静定问题）超静定问题 仅利用静力学平衡方程无法确定全部未知力的问题称仅利用静力学平衡方程无法确定全部未知力的问题称为为超静定问题超静定问题或或静不定问题静不定问题。相应的结构称。相应的结构称超静定结构超静定结构或或静不定结构静不定结构。FDBAC试判断图示结构是静定的还试判断图示结构是静定的还是超静定的？若是超静定，是超静定的？若是超静定，则为几次超静定？则为几次超静定？FPDBACEA2、简单静不定问题的解法：、简单静不定问题的解法： 如图：如图：（1）解除多余约束，用未知力）解除多余约束，用未知力代替，建立静力学平衡方程代替，建立

24、静力学平衡方程FRRBA（2）寻找几何条件建立方程）寻找几何条件建立方程0BCAC（3）画轴力图，继续求解）画轴力图，继续求解)，R(AERAE)RF(B222BBC111BAC引起的轴力为压力为负解出 (1)(3)(2)12FAB11AE22AEC12FC11AE22AEBBRARB+F+RB（5）联立方程，即可求解未知力）联立方程，即可求解未知力122211122B122211211AAEAEAFERAEAEAFER解题关键点：找几何方程，建立变形协调条件。解题关键点：找几何方程，建立变形协调条件。例2.17：求解图示静不定结构各杆受力02:021321aNaNoMPNNNFAy解：解：1

25、）静力学平衡方程）静力学平衡方程2）几何方程）几何方程2312 )(21312lll123LaaFAB刚体刚体F2311N2N3NEALNEALNEALN23126/53/6/321PNPNPN3 3、拉压杆件超静定问题：、拉压杆件超静定问题：34例题2、18：如图所示结构中，1，2杆抗拉刚度 为E1A1，3杆抗拉刚度为E3A3，求各 杆内力?解：解：1）取）取A结点研究，作受力图如图所示结点研究，作受力图如图所示210NNFx（1）一次超静定问题A123FLF1N2N3N2）建立静力学平衡方程）建立静力学平衡方程PNNNFy321cos)(0（2）3）寻找几何方程）寻找几何方程cos313333333311111111cosAELNAELNAELNAELNA321123LA（3）（4）coscos:333111AELNAELN得（5）联立（3）、（4）PNNNFy321cos)(0210NNFxF1N2N3N联立所有方程即可求得未知力如下联立所有方程即可求得未知力如下333113211331cos21coscos2AEAEPNAEAEP