理论力学竞赛辅导

1、力学竞赛辅导（动力学部分）试题范围（基本部分）(1) 掌握建立质点的运动微分方程的方法。了解两类动力学基本问题的求解方法。(2) 掌握刚体转动惯量的计算。了解刚体惯性积和惯性主轴的概念。(3) 能熟练计算质点系与刚体的动量、动量矩和动能；并能熟练计算力的冲量（矩），力的功和势能。(4) 掌握动力学普遍定理(包括动量定理、质心运动定理、对固定点和质心的动量矩定理、动能定理)及相应的守恒定理，并会综合应用。(5) 掌握建立刚体平面运动动力学方程的方法。了解其两类动力学基本问题的求解方法。(6) 掌握达朗贝尔惯性力的概念，掌握平面运动刚体达朗贝尔惯性力系的简化。掌握质点系达朗贝尔原理(动静法) ，并

2、会综合应用。了解定轴转动刚体静平衡与动平衡的概念。试题范围（专题部分）(一) 虚位移原理掌握虚位移、虚功的概念；掌握质点系的自由度、广义坐标的概念；会应用质点系虚位移原理。(二二) 碰撞问题碰撞问题(1) 掌握碰撞问题的特征及其简化条件。掌握恢复因数概念掌握碰撞问题的特征及其简化条件。掌握恢复因数概念(2) 会求解两物体对心碰撞以及定轴转动刚体和平面运动刚会求解两物体对心碰撞以及定轴转动刚体和平面运动刚体的碰撞问题。体的碰撞问题。基本概念基本概念质心速度质心速度如图如图11-2所示的四杆机构中，各均质杆质量均为，所示的四杆机构中，各均质杆质量均为，杆与杆长度均为。图示瞬时，杆角速度为，且与杆杆

3、与杆长度均为。图示瞬时，杆角速度为，且与杆平行。试求此时系统的动量。平行。试求此时系统的动量。(P210)21lvmlmvpx211杆杆O1A：杆杆AB：lvvA3lmmvpx33杆杆O2B：2212lvvAmlmvpx222mlppppxxxx2321系统动量：系统动量：此瞬时系统的质量相对直线对称分布，系统的质心与杆的质心重此瞬时系统的质量相对直线对称分布，系统的质心与杆的质心重合。此时系统的动量是否等于总质量与点的速度乘积合。此时系统的动量是否等于总质量与点的速度乘积（即（即 ）？为什么？）？为什么？mlmvpx333刚体系中各刚体动量应对同刚体系中各刚体动量应对同一惯性参考系计算一惯性

4、参考系计算!计算图示系统的动量计算图示系统的动量基本概念基本概念动量动量2r2e1ppppsin2e2rxppp22yxppp12cosyePPP冲量21ttdtIF基本概念基本概念冲量冲量如图如图a所示，质量为所示，质量为m的质点做匀速圆锥摆运动，的质点做匀速圆锥摆运动，计算张力计算张力F在半周期内的冲量。在半周期内的冲量。注意：注意：I是恒与力是恒与力F相一致的矢量。相一致的矢量。对否？对否？矢量等式只有向同一坐标轴投影才对！上两式左右两边对应不同的坐标系。矢量等式只有向同一坐标轴投影才对！上两式左右两边对应不同的坐标系。 eiiiiimmIvv12eRIpp12babpFvvvIImmm

5、222)R(2vGmvIbF）（dtFmvmvttn211n2ndtFmvmvtt2112柯尼西定理 rcTMvT221基本概念基本概念动能动能已知长为已知长为l,质量为质量为m的匀质杆的匀质杆AB、BC在在B点刚性点刚性连接后成直角尺，放置在光滑水平面上。在连接后成直角尺，放置在光滑水平面上。在A端作端作用一与用一与AB垂直的水平冲量垂直的水平冲量I后，计算直角杆的动能。后，计算直角杆的动能。ABCI动量定理动量定理动量矩定理动量矩定理柯尼西定理柯尼西定理10ccmmvvI10()ecccccJJMIrcTMvT2212215937, , , 212540cCIIIJmLTmmLmva）图中

6、轮子在）图中轮子在FT作用下纯滚动作用下纯滚动S距离；距离；b）图中轮子由细绳缠绕下滑）图中轮子由细绳缠绕下滑S距离。距离。求：求： FT 做的功。做的功。方法方法1：根据元功的定义：根据元功的定义图图a）：图图b）：方法方法2：根据力系等效，将：根据力系等效，将FT平移至轮心，平移至轮心，附加一力偶附加一力偶图图a）：图图b）：基本概念基本概念功功dtvFWAT0A0TFWCAv2sFWTFT2rsrFsFWTTFT0-rsrFsFWTTFT基本概念基本概念功功圆轮向前滑滚，摩擦力参与做功，此种情况下动能定理与动量圆轮向前滑滚，摩擦力参与做功，此种情况下动能定理与动量定理、动量矩定理可互换。

7、定理、动量矩定理可互换。圆轮受力如图圆轮受力如图mgfFsrvCWTT0根据根据) (212122ssFFsmvJsCC两边对两边对t求导求导)(rvFFvamvJCsCCCC比较系数比较系数sCsCFFmarFJ 设有绕固定轴设有绕固定轴Oz转动的刚体，在任意转动的刚体，在任意瞬时的角速度是瞬时的角速度是，角加速度是角加速度是 。取如图。取如图所示固定坐标系所示固定坐标系Oxyz。xFR、Mo为主动力系的主矢和主矩，为主动力系的主矢和主矩， Fgo、 M Mgogo惯性力系对点惯性力系对点O的主矢和主矩。的主矢和主矩。基本概念基本概念惯性积、惯性主轴惯性积、惯性主轴根据达朗贝尔定理，列出动态

8、平衡方程，有根据达朗贝尔定理，列出动态平衡方程，有, 0 xFR0goFFFFAxBxxx, 0yFR0goFFFFAyByyy, 0zFR0FFBzz, 0)(FxM()()0 xAyyByoxgoxMMMMFF, 0)(FyM()()0yAxyBxoygoyMMMMFF, 0)(FzM0ozgozMM由前五个式子即可求得定轴转动刚体轴承处的由前五个式子即可求得定轴转动刚体轴承处的反力反力。该反力由两部分组成：。该反力由两部分组成：一部分为主动力系所引起的一部分为主动力系所引起的静反力静反力；另一部分是由转动刚体的惯性力系所；另一部分是由转动刚体的惯性力系所引起的引起的附加反动力附加反动力。

9、与此对应，轴承所受的压力也可分为。与此对应，轴承所受的压力也可分为静压力静压力和和附加动附加动压力压力。解得解得 1AxyRxgoygoxFMF OBMFOBAB 1AyxRygoxgoyFMF OBMFOBAB 1BxyRxgoygoxFMF OAMFOAABRzBzFF 1ByxRygoxgoyFMF OAMFOAAB静平衡、动平衡？静平衡、动平衡？OxDatxy(b)anyrzD()goxiixFm a()goyiiyFm a0gozF22()iiiiiJJgoxiiyyzzxMm a zmyx z 22()iiiiiiiJJgoyxzxyzMm a zmxy z 2tiiii iJgo

10、zzzzMm a rm r sin cossincos2tnzzxrraaayx2cos sincossin2tnzzyrraaaxy20za22iiiiCCm xm ymxmy22iiiiCCm ym xmymxOxDatxy(b)anyrzD()goxiixFm a()goyiiyFm a0gozF22()iiiiiJJgoxiiyyzxzMm a zmyx z 22()iiiiiiiJJgoyxxzyzMm a zmxy z 2tiiii iJgozzzzMm a rm r 22()iiiiCCm xm ym xy22()iiiiCCm ym xm yxyziiiJm y z 刚体对y、

11、z轴的惯性积xziiiJm x z 刚体对x、z轴的惯性积刚体对通过某点的刚体对通过某点的z轴的惯性积轴的惯性积Jxz和和Jyz等于等于零，则此零，则此z轴称为该点的惯性主轴。通过刚轴称为该点的惯性主轴。通过刚体上任一点都有三根相互垂直的惯性主轴。体上任一点都有三根相互垂直的惯性主轴。过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴。过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴。注意：注意：（1）惯性力系的简化。惯性力系的简化。（2）达朗贝尔惯性力与科氏惯性力惯性力、）达朗贝尔惯性力与科氏惯性力惯性力、牵连惯性力的区别。牵连惯性力的区别。惯性积惯性积 cot , ADEaxxyxayb已知：薄三角板尺寸已知：薄三角板尺寸

12、a、b、 ，单位面积的质量为，单位面积的质量为r r。求求：Jxy（哈工大教（哈工大教材习题）材习题）解：由定义解：由定义图中图中AC、AB的直线方程为的直线方程为0 ()EDbxxyxJxy dxdyyxdx dyrr cotAxb其中其中积分后得积分后得222 (1)24tanxya bbJar基本概念基本概念转动惯量转动惯量转动惯量： 平行移轴定理 垂直轴定理 一个平面刚体薄一个平面刚体薄板对于垂直它的平面板对于垂直它的平面的轴的转动惯量，等的轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。的转动惯量之和。 212amJy212bm

13、Jx回转半径回转半径222xyrrr已知：三盘质量皆为已知：三盘质量皆为12kg，盘，盘A的质心的质心G沿沿z向偏离向偏离x轴轴5mm，今在，今在B、C盘上各加一质量为盘上各加一质量为1kg的平衡质量，使转子达到动平衡。的平衡质量，使转子达到动平衡。求：平衡质量在求：平衡质量在B、C盘上的的位置。（盘上的的位置。（哈工大ch16 ）解：解：A盘质心坐标盘质心坐标（320，0，5），），设平衡质量的坐标分别为设平衡质量的坐标分别为（200，z2，y2），（），（80，z3，y3）时可使转子动平衡，从而使转子满足：）时可使转子动平衡，从而使转子满足：0, 0, 0, 0ccxyxzyzJJ即即22

14、3 32 23 3223322330, 50, 200800,5 320200800.AAm ym ymm zm zm yy mmz mz m由此解出平衡质量的位置由此解出平衡质量的位置23230, 120, z60yyzmmmm xyiiiJm x y xziiiJm x z 可变形质点系动力学问题可变形质点系动力学问题一软链放在一光滑固定的半圆柱上，一软链放在一光滑固定的半圆柱上，如图如图a所示，今链从图示位置下滑，求：所示，今链从图示位置下滑，求：1）滑过）滑过 角时链的速度？角时链的速度？2）开始滑动时软链的加速度？）开始滑动时软链的加速度？解：由动能定理求速度与加速度，解：由动能定理

15、求速度与加速度，设软绳质量为设软绳质量为m，则单位长度质量为，则单位长度质量为2(2)mmrrr在下滑过程中，同一瞬时各点速度相同，且在下滑过程中，同一瞬时各点速度相同，且vr2121210, , W2cTTmvmg y由动能定理：由动能定理：2112WTTyc为初、末位置为初、末位置质心高度差质心高度差22012(1 sin )cos()2cryrrdrrm rr0初始：2222(1 sin )(2sin)crryr由动能定理：由动能定理：222(2sin)grv2(cos)ga求导：求导：0初始：2ga若盘可移动，问题如何求解？若盘可移动，问题如何求解？ 如图所示，盛满液体的水池侧壁上开有

16、不同高度的小孔，试证明从一半液体高度的小孔里流出的水射程最远。（理论力学刘又文）动力学普遍定理在流体中的应用动力学普遍定理在流体中的应用定常流动的动约束反力定常流动的动约束反力（定常流动：管道内每点压强、速度、密度等不随时间而变的流动）定常流动：管道内每点压强、速度、密度等不随时间而变的流动）时间间隔内动量的改变tpp -ppp ppppa b c dabcda b cdcdc daba ba b cd 2221 11pppcdc daba bA vt vAvt vrr 21pvvt单位时间内流经截面的质量单位时间内流经截面的质量,称为质量流量，定常流动质称为质量流量，定常流动质量流量为一常数

17、。量流量为一常数。动量定理在流体中的应用动量定理在流体中的应用21pdvvdt12pNPFFddt2112NPFFvv1221NPFFvv 静约束力静约束力附加动约束力附加动约束力定常流动时，管内流体在单位时间内流出动量与流入动量之差等于作用定常流动时，管内流体在单位时间内流出动量与流入动量之差等于作用于管内流体上的所有外力之矢量和。于管内流体上的所有外力之矢量和。流体流动欧拉定理流体流动欧拉定理定常流动中的能量方程（动能定理在流体中的应用）定常流动中的能量方程（动能定理在流体中的应用）在定常流动流体中任取一段流体，截面分别为1、2，截面面积分别为A1、A2，流体密度：r rt： 1-2位置

18、t+t：1-2位置流入：速度v1，压强p1流出：速度v2，压强p2理想流体，内摩擦力为零，在t内作用于流体的压力所作的功：1 11222()pWp v Ap v At流体不可压缩1122v A tv AtV 12()pWppV12()GWg V hhr重力功：重力功：222112121()()()2V vvppVg V hhrr根据动能定理根据动能定理221112221122pghvpghvrrrr212pghvrr 常数稳定流体的伯努力方程：在定常流动（稳定流体）中，沿同一流线的单位稳定流体的伯努力方程：在定常流动（稳定流体）中，沿同一流线的单位体积流体的动能、重力势能与该处的压强之和为常量

19、。体积流体的动能、重力势能与该处的压强之和为常量。桶壁有小孔，水从小孔流出的速度？桶壁有小孔，水从小孔流出的速度？20012pghpvrr2vgh2vgx设液面高度为设液面高度为h，考察离水面为，考察离水面为x深度处的小孔水流，初速度深度处的小孔水流，初速度为为 ，视为平抛运动，水平射程，视为平抛运动，水平射程4 ()svtx hxmax2hxsh当时， 如图所示，盛满液体的水池侧壁上开有不同高度的小孔，试证明从一半液体高度的小孔里流出的水射程最远。（理论力学刘又文）拉格朗日法（随体法）：取定质点系，着眼于流体质点，看该质点的运动情况。欧拉法（当地法）：取定控制界面，着眼于空间某个确定位置，看

20、流经该质点的流体质点速度矢量变化。能否采用欧拉法推导流体对管道的动压力？能否采用欧拉法推导流体对管道的动压力？例例： 图示起重机装置由半径为R，重量为P的均质鼓轮C及长度l=4R，重量P1=P 的均质梁AB组成，鼓轮安装在梁的中部，其上作用的驱动力矩为M，被提升的重物D重P1=P ，求物体D上升的加速度及支座A、B的约束反力。 (交大P229习题11-17)核心问题：驱动力矩为系统内力矩还是系统外力矩？核心问题：驱动力矩为系统内力矩还是系统外力矩？1）驱动力矩为外力矩：）驱动力矩为外力矩：FA=FB2）驱动力矩为内力矩（内部电机提供）：）驱动力矩为内力矩（内部电机提供）：FAFB问题：支座问题

21、：支座B处约束力可能为零否？处约束力可能为零否？根据本题的启示，设计一个力学小魔术：不依靠任何外力矩，根据本题的启示，设计一个力学小魔术：不依靠任何外力矩，倒立摆可在任何倾角处保持不动甚至能从倾斜状态竖立起来。倒立摆可在任何倾角处保持不动甚至能从倾斜状态竖立起来。魔术师的表演（魔术师的表演（25分）第六届初赛样题分）第六届初赛样题魔术师要表演一个节目。其中一个道具是边长为a的不透明立方体箱子，质量为M；另一个道具是长为L的均质刚性板AB，质量为2M，可绕光滑的A铰转动；最后一个道具是半径为R的刚性球，质量为3M，放在刚性的水平面上。魔术师首先把刚性板AB水平放置在圆球上，板和圆球都可以保持平衡

22、，且圆心O和接触点B的连线与垂线夹角为?。然后魔术师又把箱子固定在AB板的中间位置，系统仍可以保持平衡，如图3所示。 魔术师用魔棒轻轻向右推了一下圆球，竟然轻易地就把圆球推开了。更令人惊讶的是，当圆球离开AB板后，AB板及其箱子仍能在水平位置保持平衡。 （1）为什么在AB板上加很重的箱子不会把圆球挤压出去，而魔术师用很小的力却可以推开圆球？这其中涉及了什么力学内容？ （2）根据上述介绍，你能否求出AB板与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系？ （3）AB板只在A处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。魔术师让观众来检查，证明这时平板有且只有A点与地面接触，排除了看不见的支撑或悬挂等情况。你认为这可能吗？

23、请指出其中可能涉及的奥秘，并分析其中可能涉及的参数。 自锁，临界平衡自锁，临界平衡由于转子的转动与电流有关，而是常数，因此事先设计好电流的大小即可），这时撤去B处的约束不影响AB板的平衡。 在表演魔术时，可以让B点与圆球接触时不通电，而圆球离开时通电。 tantan(2)tan(2)goMJ12()02gBLMMgMF L12()2oMMgLJ0BF FBM1gFAYFAxMgM2g例例OA已知已知: 匀质圆盘匀质圆盘: 质量质量M, 半径半径R, 可绕水平轴可绕水平轴O在铅垂面内自由转动在铅垂面内自由转动; 甲壳虫甲壳虫A: 质量质量m=M/20,从最低点突然以不变的相对速率从最低点突然以不

24、变的相对速率 v 沿盘的边缘向上爬行沿盘的边缘向上爬行,设系统初始静止设系统初始静止,若想爬到最高点若想爬到最高点,甲壳虫的最小相对速率甲壳虫的最小相对速率 v 应为何值应为何值?OA:角速度甲壳虫的绝对转角甲壳虫的绝对圆盘的绝对角速度圆盘的绝对转角圆盘圆盘:定轴转动定轴转动甲壳虫甲壳虫:复合运动复合运动动能定理动能定理动量矩定理动量矩定理牛二定律牛二定律reareavvvvvvvRROAgmgMR以系统为研究对象以系统为研究对象,用动量矩描述系统的状态用动量矩描述系统的状态:MRvMRRvMRRMMRmRLOZ21201121202122222 sin201RMgFmi0sin11sin20

25、120112gRRMgMR (动量矩定理动量矩定理)ggRdgdRgddRcos211sin110sin11202OAv0021201020MRRvRM初瞬时初瞬时:(动量矩守恒动量矩守恒)Rv110Rv11100RvgR11101cos11220,时当Rgv25112解解:vRROA0v例例 已知已知: 小环小环 A 质量为质量为 m ，大环，大环 O 质量为质量为 M ，不计一切摩擦。系统放置在水平，不计一切摩擦。系统放置在水平面上，小环套在大环上，初始系统静止，位置如图。此时小环突然获得一面上，小环套在大环上，初始系统静止，位置如图。此时小环突然获得一 沿沿大环切线大环切线方向的初速度。

26、方向的初速度。试分析：试分析：（1）大环的运动；）大环的运动；（2）小环的运动；）小环的运动；（3）系统质心的运动；）系统质心的运动；（4）小环的受力。）小环的受力。NAOACNyx初步分析；初步分析；（1）大环受力分析：（）大环受力分析：（N 过大环质心）大环平动。过大环质心）大环平动。（2）小环为复合运动。（相对大环的圆周运动）小环为复合运动。（相对大环的圆周运动+大环牵连运动：平面曲线运动。）大环牵连运动：平面曲线运动。）（3）研系统，在水平面内不受外力，）研系统，在水平面内不受外力，动量守恒动量守恒：质心为匀速直线运动。质心为匀速直线运动。00vmMmvvmvmMCCCxy为惯性系为惯性系,21RmMMAClRmMmOCl大环质心大环质心 O ，小环质心，小环质心 A 均相对于系统质心均相对于系统质心 C 作圆周运动作圆周运动,且三心共线。且三心共线。Cv本题可抽象为：本题可抽象为：“直杆直杆OA绕系统质心作定轴转动绕系统质心作定轴转动”CvOACyx由于系统对质心的由于系统对质心的动量矩守恒动量矩守恒（在水平面内外力对质心之矩为零）（在水平面内外力对质心之矩为零）tRvRvmlMlvmlvmlmlMl00222102022221大环的绝对运动：大环的绝对运动：cos1sin11lltvOCO小环的绝对运动：小环的绝对运动：cossin212llltvACAOCAC