高三复习第九讲离散型随机变量的均值、方差和正态分布

1、 第十章计数原理、概率、随机变量及分布列 高三备课组第十章计数原理、概率、随机变量及分布列第九讲离散型随机变量的均值、方差和正态分布【考纲速读吧】1理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念2能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题【要点集结号】1个重要作用均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平均水平的估计，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，常用于对随机变量稳定于均值情况的估计2种必会方法1若X服从两点分布，则E（X）p，D（X）p（1p）；XB（n，p），则E（X）np，D（X）np（1p）；若X服从超几何分布，则E（X）n2正态总体在某个区

2、间内取值的概率的求法：一要熟记P（<X），P（2<X2），P（3<X3）的值，二要充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为13项必须注意1在记忆D（aXb）a2D（X）时要注意：D（aXb）aD（X）b，D（aXb）aD（X）2求随机变量的期望与方差时，可首先分析是否服从二项分布，如果服从XB（n，p），那么用公式E（X）np，D（X）np（1p）求解，可大大减少计算量 注：E（X）np，D（X）np（1p）3在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x（0），而不是x0【课前自主导学】011 离散型随机变量的均值与方差（1）若离散型随机变量X的分布列为XP均值称E

3、（X）_为随机变量X的均值或_，它反映了离散型随机变量取值的_方差称D（X）_为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E（X）的_，其_为随机变量X的标准差（2）均值与方差的性质（1）E（aXb）_，（2）D（aXb）_（a，b为常数）（3）两点分布与二项分布的均值、方差 均值方差变量X服从两点分布E（X）_D（X）_XB（n，p）E（X）_D（X）_想一想随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？填一填已知随机变量的分布列为123P05xy若E（），则D（）_2正态分布（1）正态曲线的性质曲线位于x轴_，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线_对称；曲线在_处达到峰

4、值；曲线与x轴之间的面积为_；当一定时，曲线随着_的变化而沿x轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由确定_，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；_，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示（2）正态分布的三个常用数据：P（<X）_；P（2<X2）_；P（3<X3）_想一想，在正态分布中的实际意义是什么？填一填设随机变量服从正态分布N（0,1），若P（>1）p，则P（1<<0）_【自我校对】1x1p1x2p2xipixnpn数学期望平均水平平均偏离程度算术平方根aE(X)ba2D(X)pp(1p)npnp(1p)想一想：提示：随机变量的均值、方差

5、是一个常数样本的均值、方差是一个变量随着样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差填一填：提示：由分布列性质，得xy05又E（），即2x3y，可得D()(1)2·(2)2·(3)2·.2上方xx1越小越大068260954409974想一想：提示：是正态分布的期望，是正态分布的标准差填一填：p提示：P（1<<0）P（1<<1）12P（>1）P（>1）p【核心要点研究】02【考点一】离散型随机变量的均值例12012·福建高考受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间

6、有关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x（年）0<x11<x2x>20<x2x>2轿车数量（辆）2345545每辆利润（万元）1231829将频率视为概率，解答下列问题：（1）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；（2）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；（3）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车若从经济效

7、益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由解析（1）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P（A）（2）依题意得，X1的分布列为X1123PX2的分布列为X21829P（3）由（2），得E（X1）1×2×3×286（万元），E（X2）18×29×279（万元）因为E（X1）>E（X2），所以应生产甲品牌轿车【师说点拨】1求离散型随机变量的均值关键是先求出随机变量的分布列，然后根据均值定义求解2若随机变量服从二项分布，即XB（n，p）可直接使用公式E（X）np求解，可不写出分布列3注意运用均值的线性运算性质即Yaxb

8、则E（Y）aE（X）b【变式探究】某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如表所示已知分3期付款的频率为02,4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为15万元；分4期或5期付款，其利润为2万元用表示经销一辆汽车的利润付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数4020a10b（1）求上表中的a，b值；（2）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率P（A）；（3）求的分布列及数学期望E（）解：（1）由，得又因为，所以（2）记分期付款的期数为，依题意，得P（1）04，P（2）0

9、2，P（3）02，P（4）01，P（5）01则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率为P(A)0.83C×0.2×(10.2)20.896.（3）由题意，可知只能取1,2,3,4,5而1时，1；2时，15；3时，15；4时，2；5时，2所以的可能取值为：1,15,2，其中P（1）P（1）04，P（15）P（2）P（3）04，P（2）P（4）P（5）010102，所以的分布列如下表所示：1152P040402故的数学期望E（）1×0415×042×0214（万元）【考点二】离散型随机变量的方差例22012·上海高考设

10、10x1<x2<x3<x4104，x5105.随机变量1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为02，随机变量2取值，的概率也均为02若记D1，D2分别为1，2的方差，则（）A D1>D2B D1D2C D1<D2D D1与D2的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关【审题视点】写出分布列，求得E（x），再代入方差公式求D（x） 解析P0202020202E(1)x1×0.2x2×0.2x3×0.2x4×0.2x5×0.20.2×(x1x2x3x4x5). 2P0.20.20.20.20.2E(2)

11、×0.2×0.2×0.2×0.2×0.20.2×(x1x2x3x4x5)E(1)E(2)，记作，D(1)0.2(x1)2(x2)2(x5)20.2xxx522(x1x2x5)0.2(xxx52)同理D(2)0.2()2()2()252()2<，<，222<xxx.D(1)>D(2) 答案A【师说点拨】D（X）表示随机变量X对E（X）的平均偏离程度，D（X）越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D（X）越小，X的取值越集中在E（X）附近，统计中常用来描述X的分散程度【变式探究】2012·课

12、标全国高考某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，nN）的函数解析式；（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由解：（1）当

13、n16时，y16×（105）80当n15时，y5n5（16n）10n80，得：y（nN）（2）X可取60,70,80P（X60）01，P（X70）02，P（X80）07X的分布列为X607080P010207E（X）60×0170×0280×0776D（X）162×0162×0242×0744购进17枝时，当天的利润为y（14×53×5）×01（15×52×5）×02（16×51×5）×01617×5×054764，

14、由764>76，应购进17枝【考点三】有关正态分布的问题例32011·湖北高考已知随机变量服从正态分布N（2，2），且P（<4）08，则P（0<<2）（）A06B04C03D02【审题视点】此正态曲线是关于x2的一个轴对称图形，根据其对称性求解概率解析由P（<4）08知P（>4）P（<0）02，故P（0<<2）03故选C答案C奇思妙想：本例条件不变，求P（0）的值解：P（0）P（4）1P（<4）02【师说点拨】关于正态总体在某个区间内取值的概率求法（1）熟记P（<X），P（2<X2），P（3<X3）的值；（

15、2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等P（X<a）1P（Xa），P（X<a）P（Xa）【变式探究】2012·课标全国高考某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000,502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_答案：解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A，B，C，显然P（A）P（B）P（C），该部件的使用寿命超过100

16、0的事件为（ABAB）C该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P×【课课精彩无限】03求解离散型随机变量的期望和方差的方法【选题·热考秀】2012·广东高考某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：40,50），50,60），60,70），70,80），80,90），90,100（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望规范解答（1）由题意，得10x1(0.006×30.010.054)×100.18，x0.018.（2）成绩

17、不低于80分的学生共有（00180006）×10×5012人，其中90分以上（含90分）的共有0006×10×503人，的可能值为0,1,2，P(0)，P(1)，P(2)，的分布列为012PE（）0×1×2×【备考·角度说】No1角度关键词：审题视角（1）抓住所有小矩形的面积和为1，列出方程即可算得x的值；（2）准确无误地找出的可能取值为0,1,2，确定事件类型，借助于排列组合的知识，计算出相应的概率，从而求得的期望No2角度关键词：技巧点拨（1）解决此类问题要注意以下几点：掌握好期望与方差的性质记住或理解一些特殊

18、分布的均值与方差， 如两点分布、二项分布等注意运算技巧，随机变量的均值与方差计算比较复杂，在运算时要注意一些运算技巧，如把问题归结为二项分布的期望与方差，运用期望与方差的性质简化运算，运算时注意一些项的合并（2）解决此类问题的基本步骤如下：第一步：确定随机变量的所有可能值第二步：求每一个可能值所对应的概率第三步：列出离散型随机变量的分布列第四步：求均值和方差第五步：反思回顾查看关键点、易错点和答题规范【经典演练提能】041设随机变量服从正态分布N（2,9），若P（>c1）P（<c1），则c（）A1B2C3D4答案：B解析：（c1）（c1）4，c2，选B项22013·沈阳模

19、拟设离散型随机变量的分布列为（）12bPa若E（），则3ab（）A6B5C4D3答案：C解析：由a1，解得a，所以E（）1×2×b×，解得b3，所以3ab432013·金版原创题一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员、2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的数学期望是（）ABCD答案：D解析：X的可能取值为0,1,2P(X0)，P(X1)，P(X2)，所以E（X）4有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D（X）_答案：解析：由题意知取到次品的概率为，XB（3，

20、）D（X）3××（1）52013·北京海淀区袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记为摸出两球中白球的个数，则的期望_，方差_答案：解析：由题知可取0,1,2，依题意，得P（0）×，P（1）××，P（2）×，则E（）0×1×2×，D（）（0）2×（1）2×（2）2×【限时规范特训】05（时间：45分钟分值：100分）一、选择题12013·大庆模拟设是服从二项分布B（n，p）的随机变量，又E（）15，D（），则n与p的值

21、为（）A60，B60，C50，D50，答案：B解析：由B（n，p），有E（）np15，D（）np（1p），p，n6022013·许昌模拟设随机变量XN（1,52），且P（X0）P（X>a2），则实数a的值为（）A4B6C8D 10答案：A解析：由正态分布的性质可知P（X0）P（X2），a22，a4，选A32013·安徽怀远在正态分布N（0，）中，数值落在（，1）（1，）内的概率为（）A0097B0046C003D00026答案：D解析：0，P（x<1或x>1）1P（1x1）1P（3x3）1099740002642013·扬州调研某校约有1000人

22、参加摸底考试，其数学考试成绩N（90，a2）（a>0，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（）A200B300C400D600答案：A解析：由题知，P（x110）×（1），则成绩不低于110分的学生人数约为1000×20052013·天津调研为了给2013年天津东亚运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动参选的志愿者回答三个问题，其中二个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设为回答正确的题数，则随机变量的数学期望E（）（）A1BCD2答案：解析：由题意

23、知，随机变量的可能取值为0,1,2,3，P（0）（）2×；P（1）××××××；P（2）××××××；P（3）××所以E（）1×2×3×62013·德阳模拟已知袋中装有6个白球、2个黑球，从中任取3个球，则取到白球个数的期望E（）（）A2BCD答案：D解析：取到的白球个数可能的取值为1,2,3所以P（1）；P（2）；P（3）因此取到白球个数的期望E（）2×3×二、填空题72013

24、3;玉林模拟马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表：x123P（x）？！？请小牛同学计算的数学期望尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案E（）_答案：2解析：设P（1）x，则P（2）12x，P（3）x，E（）1·x2·（12x）3·x28已知随机变量的分布列如下：101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E（），则D（）的值是_答案：解析：a，b，c成等差数列，2bac又abc1，E（）1×a1×cca，a，b，c，D（）（1）2×（0）2×（1）

25、2×92013·岳阳模拟一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分没有击中记0分，某人每次击中目标的概率为此人得分的数学期望与方差分别为_答案：20，解析：记此人三次射击击中目标次得分为分，则B（3，），10，E（）10E（）10×3×20， D（）100D（）100×3××三、解答题102013·运城模拟甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道

26、题的概率都是（1）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；（2）设甲答对题目的个数为，求的分布列及数学期望解：（1）设甲、乙闯关成功分别为事件A、B，则P（）， P（）（1）3C（1）2所以，甲、乙至少有一人闯关成功的概率是：1P（ ）1P（）P（）1×（2）由题意，知的可能取值是1、2P（1），P（2）（或P（2）则的分布列为：12PE（）1×2×112013·焦作质检学生在教师上第一节课时会对教师产生“优秀”或“一般”的第一印象，某个学生将“优秀”误认为“一般”的概率为，将“一般”误认为“优秀”的概率为有4个教师来学校应聘，其中3人“优秀”，1人“一般”，学校要求他们在该学生所在的班级各上了一节课（1）求该学生第一印象认为其中2人“优秀”，2人“一般”的概率；（2）求该学生第一印象认为“优秀”的人数X的分布列及期望解：（1）设“该学生第一印象认为其中2人优秀，2人一般”为事件A，则该学生第一印象认为2人“优秀”，2人“一般”有两种可能一是错误地把“优秀”的1人认为成“一般”，其他第一印象判定与实际一致；二是错误地把“优秀”的2人认为成“一般