图像的DFT和DCT变换

1、图像的DFT和DCT变换报告人报告人：胡青：胡青1智能信息处理研究所智能信息处理研究所主要内容uDFT变换lDFT变换定义lDFT变换的性质lDFT在频域滤波中的应用uDCT变换l一维、二维定义l性质l实例(JPEG压缩)2智能信息处理研究所智能信息处理研究所参考书目 数字图像处理（第二版）冈萨雷斯 数字图像处理（matlab版）冈萨雷斯3智能信息处理研究所智能信息处理研究所傅里叶变换 为什么要在频率域研究图像1. 可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通;2. 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质;3. 可以在频率域指定

2、滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导;4智能信息处理研究所智能信息处理研究所傅里叶变换5智能信息处理研究所智能信息处理研究所傅里叶变换 二维连续傅里叶变换及反变换 连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v)定义为 反变换为：6智能信息处理研究所智能信息处理研究所傅里叶变换 一维离散傅里叶变换(DFT)及反变换 离散函数f(x)(x=0,1,2,.,N-1)的傅里叶变换F(u)定义为傅里叶反变换为：7智能信息处理研究所智能信息处理研究所傅里叶变换8F=F=UfUf正交正交变换变换智能信息处理研究所智能信息处理研究所傅里叶变换 从欧拉公式9智能信息处理研究所智能信息

3、处理研究所傅里叶变换傅里叶变换的极坐标表示功率谱为幅度或频率谱为相角或相位谱为10智能信息处理研究所智能信息处理研究所傅里叶变换 二维离散傅里叶变换及反变换 图像尺寸为MN的函数f(x,y)的DFT为 反DFT为：11智能信息处理研究所智能信息处理研究所傅里叶变换 二维DFT的极坐标表示 幅度或频率谱为 R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部相角或相位谱为相角或相位谱为功率谱功率谱12智能信息处理研究所智能信息处理研究所图像DFT变换性质1. 傅里叶变换对的平移性质 以表示函数和其傅里叶变换的对应性13智能信息处理研究所智能信息处理研究所图像DFT变换性质 2. 尺度变换（缩

4、放） 给定2个标量a和b，可以证明对傅里叶变换下列2个公式成立14智能信息处理研究所智能信息处理研究所图像DFT变换性质 3. 旋转性 引入极坐标将f(x,y)和F(u,v)转换为。将它们带入傅里叶变换对得到15智能信息处理研究所智能信息处理研究所图像DFT变换性质16智能信息处理研究所智能信息处理研究所图像DFT变换性质 4. 周期性和共轭对称性 上述公式表明a) 尽管F(u,v)对无穷多个u和v的值重复出现，但只需根据在任一个周期里的N个值就可以从F(u,v)得到f(x,y)b) 只需一个周期里的变换就可将F(u,v)在频域里完全确定c) 同样的结论对f(x,y)在空域也成立17智能信息处

5、理研究所智能信息处理研究所图像DFT变换性质18智能信息处理研究所智能信息处理研究所图像DFT变换性质19智能信息处理研究所智能信息处理研究所周期性和共轭对称性举例20智能信息处理研究所智能信息处理研究所图像DFT变换性质 5. 分离性 F(x,v)是沿着f(x,y)的一行所进行的傅里叶变换。当x=0,1,M-1，沿着f(x,y)的所有行计算傅里叶变换。21智能信息处理研究所智能信息处理研究所图像DFT变换性质 6. 平均值说明：如果f(x,y)是一幅图像，在原点的傅里叶变换即等于图像的平均灰度级22智能信息处理研究所智能信息处理研究所图像DFT变换性质 7. 卷积理论 大小为MN的两个函数f

6、(x,y)和h(x,y)的离散卷积23智能信息处理研究所智能信息处理研究所图像DFT变换性质 8. 相关性理论 大小为MN的两个函数f(x,y)和h(x,y)的相关性定义为24相关定理相关定理智能信息处理研究所智能信息处理研究所图像DFT变换性质 自相关理论注：复数和它的复共轭的乘积是复数模的平方25智能信息处理研究所智能信息处理研究所图像DFT变换性质26智能信息处理研究所智能信息处理研究所图像DFT变换性质卷积和相关性理论总结u卷积是空间域过滤和频率域过滤之间的纽带u相关的重要应用在于匹配：确定是否有感兴趣的物体区域uf(x,y)是原始图像,h(x,y)作为感兴趣的物体或区域（模板）如果匹

7、配，两个函数的相关值会在h找到f中相应点的位置上达到最大27智能信息处理研究所智能信息处理研究所图像DFT变换频域滤波28智能信息处理研究所智能信息处理研究所图像DFT变换频域滤波 频率域滤波的基本步骤思想：通过滤波器函数以某种方式来修改图像变换，然后通过取结果的反变换来获得处理后的输出图像29智能信息处理研究所智能信息处理研究所图像DFT变换频域滤波 一些基本的滤波器：如何作用于图像？ 陷波滤波器30智能信息处理研究所智能信息处理研究所图像DFT变换频域滤波 陷波滤波器l 设置F(0,0)=0(结果图像的平均值为零),而保留其它傅里叶变换的频率成分不变l 除了原点处有凹陷外，其它均是常量函数

8、l 由于图像平均值为0而产生整体平均灰度级的降低l 用于识别由特定的、局部化频域成分引起的空间图像效果31智能信息处理研究所智能信息处理研究所图像DFT变换频域滤波32智能信息处理研究所智能信息处理研究所任何问题任何问题？33离散余弦变换离散余弦变换（DCT） 问题问题的提出的提出：DFT一个最大问题是：它它的参数都是复数，在数据的的参数都是复数，在数据的描述上描述上相当于实数相当于实数的两倍。为此，我们的两倍。为此，我们希望有希望有一一种能够达到种能够达到相同相同功能但数据量功能但数据量又不大又不大的变的变换。换。34离散余弦变换离散余弦变换（DCT） 由傅里叶变换性质当f(x)或f(x,y

9、)为实的偶函数时，傅里叶变换域中得到实的偶函数考察一维离散傅立叶变换当f(x)或f(x,y)为偶函数时，傅里叶变换的计算公式虚部为零，只有余弦项余弦变换是简化傅立叶变换的一种方法35离散余弦变换离散余弦变换（DCT） 一维离散余弦变换定义通常归一化表示为：36离散余弦变换离散余弦变换（DCT） 一维离散余弦反变换定义37离散余弦变换离散余弦变换（DCT） 二维离散余弦变换定义38离散余弦变换离散余弦变换（DCT） 离散余弦变换离散余弦变换的矩阵算法的矩阵算法一维离散余弦变换：CfF 正变换：FCfT反变换：二维离散余弦变换：TCfCF 正变换：FCCfT反变换：C为离散余弦变换矩阵，CT为C的

10、转置矩阵39NNNNNNNNNNNNNNC2) 12)(12(cos2) 1(3cos2) 1(cos2) 12(cos23cos2cos2121212离散余弦变换离散余弦变换（DCT） NNNNNNNNNNNNNNC2) 12)(12(cos2) 1(3cos2) 1(cos2) 12(cos23cos2cos2121212变换矩阵C为：43cos4cos2121C当N=2时，变换矩阵C为：821cos815cos89cos83cos47cos45cos43cos4cos87cos85cos83cos8cos2121212121C当N=4时，变换矩阵C为：40离散余弦变换离散余弦变换（DCT） (3). 举例图像经DCT后, 能量集中于频率平面的左上角。DCT用于图像数据压缩。41离散余弦变换离散余弦变换（DCT） 离散余弦变换的矩阵算法举例：已知：0000011001100000),(yxf用矩阵算法求其DCT。fCCvuFT),(02. 012. 003. 017. 012. 059. 018. 088. 003. 018. 005. 026. 017. 088. 026. 032. 1由此例可看出：DCT将能量集中于频率平面的左上角。27. 065. 065. 027. 05 . 05 . 05 . 05 . 065. 027. 027. 065. 05 .