三角函数及解三角形练习题

1、三角函数及解三角形练习题一解答题（共16小题）1在中， 346，431，求 c的大小2已知 3 =8，且 0 （）求 ；（）求函数 f（x）=6（x ）在 0， 上的值域3已知是函数 f（x）=2221 的一个零点（）求实数 a 的值；（）求 f（x）的单调递增区间4已知函数 f（x）（2）2x（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）若函数 g（x）对任意 xr，有 g（x） （） ，求函数 g（x）在 ，上的值域5已知函数 f（x）=2 2x（ 0）的最小正周期为 （1）求 的值；（2）求 f（x）的单调递增区间6已知函数 f（x）（ ） （ 0， ）的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最

2、高点的距离为 （）求 和 的值；（）若 f（）=（ ） ，求（ +）的值7已知向量=（， ） ， =（3，） ，x 0， （1）若 ，求 x 的值；（2）记 f（x）=，求 f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值8已知函数的部分图象如图所示（1）求函数 f（x）的解析式；（2）在中，角 a，b，c的对边分别是 a，b，c，若（2ac） ，求的取值范围9函数 f（x）=2（ ） （ 0，0 ）的部分图象如图所示， m 为最高点，该图象与 y 轴交于点 f（0，） ，与 x 轴交于点 b，c，且的面积为 （）求函数 f（x）的解析式；（）若 f（ ）=，求 2的值10已知函数（）求 f（x）的

3、最大值及相应的x 值；（）设函数，如图，点 p，m，n 分别是函数（x）图象的零值点、最高点和最低点，求的值11设函数 f（x） （x ） （x ） ，其中 0 3，已知 f（）=0（）求 ；（）将函数（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数（ x）的图象，求 g（x）在 ， 上的最小值12在中，角 a，b，c的对边分别为 a，b，c，已知 2（）（）证明： 2c；（）求的最小值13如图， a、b、c、d为平面四边形的四个内角（）证明：；（）若 180 ，6，3，4，5，求的值14已知函数 f（x）2x2x（）求 f（x）的最小周期和最

4、小值；（）将函数 f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数 g（x）的图象当 x时，求 g（x）的值域15已知函数 f（x） （x）2x（i）求 f（x）的最小正周期和最大值；（）讨论 f（x）在， 上的单调性16已知函数 f（x） （3） （1）求 f（x）的单调递增区间；（2）若 是第二象限角， f（）（ +）2 ，求 的值17设 f（x）=2（ x）（）2（）求 f（x）的单调递增区间；（）把（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数（ x）的图象，求 g（）的值18已知函数 f（x） （x） （x）

5、，g（x）=22（）若 是第一象限角，且f（ ）=，求 g（ ）的值；（）求使 f（x）g（x）成立的 x 的取值集合19已知向量=（m，2x） ， =（2x，n） ，函数f（x）= ? ，且（ x）的图象过点（，）和点（，2） （）求 m，n 的值；（）将（ x）的图象向左平移 （0 ）个单位后得到函数（ x）的图象，若（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求（ x）的单调递增区间三角函数及解三角形练习题参考答案与试题解析一解答题（共16小题）1 （2017?遂宁模拟）在中， 346，431，求 c的大小【分析】 对已知式平方，化简，求出（）=，确定的值，利用三角形的内角和求

6、出 c的大小【解答】 解：两边平方（34）2=36 得 921622436 （43）2=1 得 16292241 +得： （9292a）+（162162b）+242437 即 9+16+24（）=37 所以（） = ，所以或者若，则331，则 431 这是不可能的所以因为 180所以【点评】 本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查计算能力，是基础题2 （2017?浙江模拟）已知 3 =8，且 0 （）求 ；（）求函数 f（x）=6（x ）在 0， 上的值域【分析】 （）利用同角三角函数的基本关系求得的值（）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得函数在 0

7、， 上的值域【解答】 解： （）3=3=8，且 0 ， 0，为锐角=8，求得 = ，或 =3（舍去） ，=，综上可得， = （）函数 f（x）=6（x ）=6?（? ?）=22421+223（22x）=3（2x ） ，在 0， 上，2x ， ，f（x）在此区间上先增后减，当 2x=0 时，函数 f（x）取得最大值为 3，当 2x=时，函数 f（x）取得最小值为 3（ ）=3=1 ，故函数在 0， 上的值域为 1，3 【点评】 本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的定义域和值域，属于基础题3 （2017?海淀区一模）已知是函数 f（x）=2221 的一个零点（）求实数 a 的值；（）求 f（x）的

8、单调递增区间【分析】 （）利用函数的零点的定义，求得实数a 的值（） 利用三角恒等变化化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f （x）的单调递增区间【解答】 解： （）由题意可知，即，即，解得（）由（）可得，函数的递增区间为，kz由，kz，得，kz，所以， f（x）的单调递增区间为，kz【点评】 本题主要考查函数的零点的定义，三角恒等变换、正弦函数的单调性，属于中档题4 （2017?衡阳三模）已知函数f（x）（2）2x（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）若函数 g（x）对任意 xr，有 g（x） （） ，求函数 g（x）在 ，上的值域【分析】 （1）利用两角和的正弦函数公式及二倍角

9、公式化简函数f（x） ，再由周期公式计算得答案；（2）由已知条件求出g（x）（2）+，当 x ， 时，则 2，由正弦函数的值域进一步求出函数g（x）在 ， 上的值域【解答】 解： （1）f（x）（2）2x=222x2212，f（x）的最小正周期；（2）函数 g（x）对任意 xr ，有 g（x） （） ，g（x）2（）（2）+，当 x ， 时，则 2，则（2）1，即g（x），解得g（x）1综上所述，函数 g（x）在 ， 上的值域为： ，1 【点评】本题考查了三角函数的周期性及其求法，考查了函数值域的求法， 是中档题5 （2016?北京）已知函数f（x）=2 2x（ 0）的最小正周期为 （1）求

10、的值；（2）求 f（x）的单调递增区间【分析】 （1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得的值；（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x 的取值范围得 f（x）的单调递增区间【解答】 解： （1）f（x）=22x22由，得 =1 ；（2）由（ 1）得， f（x）=再由，得f（x）的单调递增区间为 （kz） 【点评】 本题考查（ ）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题6 （2014?重庆）已知函数 f（x）（ ） （ 0， ）的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 （）求 和 的值；（）若 f（）=（ ） ，求（ +）的值【分析】 （）由题意可得函数f

11、（x）的最小正周期为 求得 =2 再根据图象关于直线对称，结合 可得 的值（）由条件求得（ ）=再根据 的范围求得（ ）的值，再根据（ +） （ ）+ ，利用两角和的正弦公式计算求得结果【解答】解： （）由题意可得函数 f（x）的最小正周期为 ，= ，=2 再根据图象关于直线对称，可得2+ +，kz结合 可得 =（）f（）=（ ） ，（ ）=，（ ）=再根据 0 ，（ ），（ +） （ ）+ （ ）（ ）【点评】 本题主要考查由函数（ ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题7 （2017?江苏）已知向量=（， ） ，=（3，） ，x 0， （1）若 ，求 x 的值；

12、（2）记 f（x）=，求 f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值【分析】 （1）根据向量的平行即可得到，问题得以解决，（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】 解： （1） =（， ） ， =（3，） ， ，3，x 0， ，（2）f（x）32（）=2（） ，x 0， ， ，1（），当 0 时，f（x）有最大值，最大值3，当时，f（x）有最小值，最小值 2【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题8 （2017?锦州一模）已知函数的部分图象如图所示（1）求函数 f（x）的解析式；（2）在中，角 a，b，c的对边分别是

13、 a，b，c，若（2ac） ，求的取值范围【分析】 （1）根据图象求出 a， 和 ，即可求函数 f（x）的解析式；（2）利用正弦定理化简，求出b，根据三角内角定理可得a 的范围，利用函数解析式之间的关系即可得到结论【解答】 解： （1）由图象知 1，=2 ，f（x） （2 ）图象过（） ，将点代入解析式得，故得函数（2）由（ 2ac） ，根据正弦定理，得：（2）2（） ，2a（0， ） ，0，即，即那么：，故得【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键同时考查了正弦定理的运用化简 利用三角函数的有界限求范围，属于中档题9 （2017?丽水模拟）函数 f（

14、x）=2（ ） （ 0，0 ）的部分图象如图所示， m 为最高点，该图象与y 轴交于点 f（0，） ，与 x 轴交于点 b，c，且的面积为 （）求函数 f（x）的解析式；（）若 f（ ）=，求 2的值【分析】 （）依题意，由 s2可求得其周期2=，解得 =1 ，再由f（0）=2=，可求得 ，从而可求函数 f（x）的解析式；（）由 f（ ）=2=，可求得 ，再利用二倍角的余弦即可求得2的值【解答】 解： （）因为 s2 ，所以周期 2=，解得 =1 ，由 f（0）=2=，得 =，因为 0 ，所以 =，所以 f（x）=2（） ；（）由 f（ ）=2=，得 =，所以 2=1 22= 【点评】 本题考

15、查由（ ）的部分图象确定其解析式，求得与 是关键，考查二倍角的余弦公式的应用，属于中档题10 （2017?延庆县一模）已知函数（）求 f（x）的最大值及相应的x 值；（）设函数，如图，点 p，m，n 分别是函数（x）图象的零值点、最高点和最低点，求的值【分析】 （）化简函数（ x）为正弦型函数，利用正弦函数的图象与性质求出它的最大值以及此时对应的x 值；（）化简函数 g（x） ，过 d作x 轴于 d，根据三角函数的对称性求出90 ，再求的值【解答】 解： （）函数22x2x （1 分）=； （3 分）f（x）的最大值为 f（x）1， （4 分）此时， （5 分）解得； （6 分）（）函数 2（

16、x）+ （） ， （7 分）过 d 作x 轴于 d，如图所示；1，90 ， （9 分）计算，22， （11 分） （13 分）【点评】 本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了三角函数的计算问题，是综合题11 （2017?山东）设函数f（x） （x） （x ） ，其中 0 3，已知 f（）=0（）求 ；（）将函数（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数（ x）的图象，求 g（x）在 ， 上的最小值【分析】 （）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）=0求出 的值；（）写出 f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解

17、析式，求出 x ， 时 g（x）的最小值【解答】 解： （）函数 f（x） （x ） （x ）（x ）x x（x ） ，又 f（）（ ）=0， ，kz，解得 =62 ，又 0 3，=2 ；（）由（ ）知， f（x）（2x） ，将函数（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），得到函数（x）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到（）的图象，函数（ x）（x） ；当 x ， 时，x ， ，（x） ，1 ，当时，g（x）取得最小值是=【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题12（2016?山东）在中，角 a， b， c的对边分别为 a， b， c，

18、 已知 2 （）（）证明： 2c；（）求的最小值【 分 析 】（ ） 由 切 化 弦 公 式， 带 入并整理可得2（） ，这样根据两角和的正弦公式即可得到 2，从而根据正弦定理便可得出2c；（）根据 2c，两边平方便可得出a22+24c2，从而得出 a22=4c22，并由不等式a222 得出 c2，也就得到了，这样由余弦定理便可得出，从而得出的范围，进而便可得出的最小值【解答】 解： （）证明：由得：；两边同乘以得， 2（） ；2（） ；即 2（1） ；根据正弦定理，；，带入（ 1）得：；2c；（）2c；（）222+24c2；a22=4c22，且 4c24，当且仅当时取等号；又 a，b0；由余

19、弦定理，=；的最小值为【点评】 考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为 ，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式a222 的应用，不等式的性质13 （2015?四川）如图， a、b、c、d 为平面四边形的四个内角（）证明：；（）若 180 ，6，3，4，5，求的值【分析】 （）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可（）通过 180 ，得 180 a，180 b，利用（ ）化简，连结，在中，利用余弦定理求出，连结，求出，然后求解即可【解答】 证明： （）等式成立（ ） 由180， 得180 a ， 180 b ， 由 （ ） 可 知 ：，连结，在中，有2222?，6，3，4，5

20、，在中，有2222?，所以222?222?，则：于是，连结，同理可得：，于是所以【点评】本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理简单的三角恒等变换，考查函数与方程的思想，转化与化归思想的应用14 （2015?重庆）已知函数 f（x）2x2x（）求 f（x）的最小周期和最小值；（）将函数 f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数 g（x）的图象当 x时，求 g（x）的值域【分析】 （） 由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f （x） （2x），从而可求最小周期和最小值；（）由函数（ ）的图象变换可得 g（x） （x），由 x， 时，可得 x的范围，即可求得g（x）的值域【解答】 解： （）f（x）2x22x（12x） （2x），f（x）的最小周期 ，最小值为： 1=（）由条件可知： g（x） （x）当 x， 时，有 x， ，从而（ x）的值域为 ，1 ，那么（ x）的值域为： ， ，故 g（x）在区间 ， 上的值域是 ， 【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数（ ）的图象变换，属于基本知识的考查15 （2015?重庆）已知函数 f（x） （x）2x（i）求 f（x）的最小正周期和最大值；（）