微小专题5带电粒子在磁场中运动的临界极值与多解问题

1、微小专题5带电粒子在磁场中运动的临界极值与多解问题1. 如图所示,在边长为L的等边三角形ACD区域内,存在垂直于所在平面向里的匀强磁场.大量的质量为m、电荷量为q的带正电粒子以相同速度(速度大小未确定)沿垂直于CD的方向射入磁场,经磁场偏转后三条边均有粒子射出,其中垂直于AD边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0.不计粒子的重力及粒子间的相互作用.求:(1) 磁场的磁感应强度大小.(2) 要确保粒子能从CD边射出,射入的最大速度.(3) AC、AD边上可能有粒子射出的范围.2. (2016·扬州一模)现代物理经常用磁场来研究同位素粒子,在xOy坐标系内有垂直于平面向里的匀强磁场,磁感应

2、强度为B. 现有电荷量均为+q的a、b两粒子从坐标原点O以相同速率v同时射入磁场,a沿x轴正方向,b沿y轴正方向,a粒子质量为m,b粒子质量为2m. 不计粒子重力以及粒子间相互作用.(1) 求当a粒子第1次刚到达y轴时,b粒子到达的位置坐标.(2) a、b粒子是否会再次相遇?如能,请通过推导求出何时相遇;如不能,请简要说明理由.(3) 设两粒子在y轴上投影的距离为y,则y何时有最大值?并求出y的最大值. 3. (2016·海安中学)aa'、bb'、cc'为足够长的匀强磁场的分界线,相邻两分界线间距均为d,磁场方向如图所示,、区磁感应强度分别为B和2B,边界aa

3、'上有一粒子源P,平行于纸面向各个方向发射速率为的带正电粒子,Q为边界bb'上一点,PQ连线与磁场边界垂直,已知粒子质量为m,电荷量为q,不计粒子重力和粒子间相互作用力.求:(1) 沿PQ方向发射的粒子飞出区时经过bb'的位置.(2) 粒子第一次通过边界bb'的位置范围.(3) 进入区的粒子第一次在磁场区中运动的最长时间和最短时间.4. (2016·南通一模)控制带电粒子的运动在现代科学实验、生产生活、仪器电器等方面有广泛的应用.现有这样一个简化模型:如图所示,y轴左、右两边均存在方向垂直纸面向里的匀强磁场,右边磁场的磁感应强度始终为左边的2倍.在坐标

4、原点O处,一个电荷量为+q、质量为m的粒子a,在t=0时以大小为v0的初速度沿x轴正方向射出,另一与a相同的粒子b某时刻也从原点O以大小为v0的初速度沿x轴负方向射出.不计粒子重力及粒子间的相互作用,粒子相遇时互不影响.(1) 若a粒子能经过坐标为的P点,求y轴右边磁场的磁感应强度B1.(2) 为使粒子a、b能在y轴上Q(0,-l0)点相遇,求y轴右边磁场的磁感应强度的最小值B2.(3) 若y轴右边磁场的磁感应强度为B0,求粒子a、b在运动过程中可能相遇点的坐标值.微小专题5带电粒子在磁场中运动的临界极值与多解问题1. (1) (2) (3) 见解析【解析】 (1) 由洛伦兹力提供向心力有qv

5、B=m,T=,当粒子垂直于AD边射出时,根据几何关系有圆心角为60°,t0=T,解得B=.(2) 当轨迹圆与AC、AD都相切时,粒子能从CD边射出,半径最大,速度为最大值,此时r=sin60°=L,由qvB=m得r=,解得v=.(3) 由(2)知,当轨迹圆与AC相切时,从AC边射出的粒子距C最远.故有粒子射出的范围为CE段,xCE=cos60°=,当轨迹圆与AD边的交点F恰在圆心O正上方时,射出的粒子距D点最远.故有粒子射出的范围为DF段,xDF=.2. (1) 由qvB=m可知a粒子半径r1=,周期T1=,b粒子半径r2=2r1,周期T2=2T1,a粒子第1次刚

6、到达y轴历时t=,此时b粒子运动周,位置坐标为.(2) 由图可知,ab可能在O、P点再次相遇由T2=2T1,a、b粒子经过t=T2=在O点再次相遇,该过程粒子不可能在P点相遇,所以a、b粒子在t=(k=1、2、3、)时刻相遇.(3) 解法一:由第(1)问分析可知,当a粒子第二次到达其圆轨迹最高点时(即a粒子运动了T1),b粒子恰好在其圆轨迹的最低点,此时两粒子在y轴上投影的距离y最大.考虑圆周运动的周期性,此后a粒子每运动两周,b粒子运动一周,两粒子在y轴上投影的距离y再次最大,所以t=T1+n·2T1=时y最大,ymax=4r1=.解法二:由qvB=m可知:a粒子半径为r时,b粒子

7、的半径为2r,由T=可知:b的半径扫过角时,a的半径扫过2角,y=r-rcos2-2rsin=r-r(1-2sin2)-2rsin =2r(sin2-sin)=2r(sin-0.5)2-0.25,当sin =-1时,y有最大值4r,此时=2n+1.5,即2n+1.5=t=,得t=时y最大,ymax=4r=3. (1) (2-)d(2) 2d(3) 【解析】 (1) 由洛伦兹力充当向心力得qvB=,R=,把v=带入得,r1=2d,如图所示可得,sin =,=30°,PM=QN=2d-2d cos =2d-d=(2-)d,所以经过bb'的位置为Q下方(2-)d.(2) 当正电粒子

8、速度竖直向上进入磁场,距离Q点上方最远.由几何关系得cos 1=,1=60°,QH1=2dsin 1=d.当正电粒子进入后与bb'相切时,距离Q点下方最远由几何关系得cos 2=,2=60°,QH2=2dsin 2=d.所以有粒子通过的的范围长度为L=2d.(3) r2=d,T=,轨迹圆所对应的弦越长,在磁场中的时间越长.当轨迹圆的弦长为直径时,所对应的时间最长为tmax=,当轨迹圆的弦长为磁场的宽度时,从cc'飞出所对应的时间最短为tmin=,从bb'飞出所对应的时间最短为tmin=,所以最短时间为tmin=.4. (1) 设a粒子在y轴右侧运动的半径为R1,由几何关系有+=,由于B1qv0=m,解得B1=.甲(2) B2最小,说明Q点是a、b粒子在y轴上第一次相遇的点,由图乙可知,a、b粒子同时从O点出发,且粒子在y轴右侧运动的圆周运动半径R2=,又B2qv0=m,解得B2=.乙(3) 由图丙可见,只有在两轨迹相交或相切的那些点,才有相遇的可能性,所以有y轴上的相切点和y轴左侧的相交点.经分析可知,只要a、b粒子从O点出发的时间差满足一定的条件,这些相交或相切的点均能相遇.粒子在y轴右侧的运动半径r1=,粒子在y轴左侧的